Неевклидовы геометрии и развитие математики в XIX веке

РЕФЕРАТ

по истории математики

Создание неевклидовой геометрии и развитие математики в XIX в.

Подготовила: Васильева Алёна Валерьевна

Г. Рязань

Содержание

Введение 3

История создания и содержание геометрии Лобачевского 4

Попытки доказательства пятого постулата Евклида 4

Гаусс и неевклидова геометрия 5

Открытие Лобачевским неевклидовой геометрии 6

Янош Бояи и неевклидова геометрия 8

Основные идеи, изложенные Лобачевским 9

Непротиворечивость геометрии Лобачевского 12

Основные направления обоснования неевклидовых геометрий в XIX в. 14

Развитие математики в XIX в. 15

Заключение 21

Список литературы 22

Дискуссии в математике XIX в. были связаны в основном с развитием геометрии, а именно с истолкованием неевклидовых геометрий. В области математического анализа также возникли принципиальные трудности, но до конца XIX в. они казались легко устранимыми и некоторые из них, действительно, были устранены. Неевклидовы геометрии были фактом совсем другого рода. Вопрос о природе математического знания возник в связи с ними снова и не менее остро, чем в предыдущем столетии, в связи с обоснованием исчисления бесконечно малых.

2 февраля 1826 г. профессор Казанского университета Н. И. Лобачевский представил ученому совету физико-математического факультета доклад с изложением основ новой геометрии. Главная идея его состояла в том, что аксиома Евклида о параллельных независима от других аксиом евклидовой геометрии (невыводима из них) и, следовательно, возможно построить другую геометрию, столь же непротиворечивую, как и евклидова, если в евклидовой геометрии заменить аксиому о параллельных на противоположное утверждение. В последующие годы Лобачевский всесторонне разработал теорию новой геометрии и указал ряд ее приложений в области математического анализа. Одновременно с Лобачевским те же идеи был развиты молодым венгерским математиком Яношем Бояи.

Значение неевклидовых геометрий состоит прежде всего в том, что их построение и доказательство непротиворечивости представляет собой окончательное решение проблемы о параллельных, занимавшей математиков в течение двух тысячелетий. В дальнейшем эти геометрии нашли самые разнообразные применения в задачах самой математики и в теоретической физике. Но не этому собственно математическому значению неевклидовы геометрии обязаны своей известностью. Они явились не только крупным событием в развитии математики XIX в., но вместе с тем фактом, противоречащим всем сложившимся к тому времени представлениям о природе математического знания. Подобно тому, как открытие несоизмеримых величин поставило под удар пифагорейскую картину мира, основанную на понятии целого числа и целочисленного отношения, открытие Лобачевского и Бояи привело математиков к коренному пересмотру представлений о собственной науке, о ее функции в системе знания, о методах построения и обоснования математических теорий. Можно сказать без преувеличения, что современное понимание математики выросло из попыток осмыслить факт неевклидовых геометрий.

Попытки доказательства пятого постулата Евклида

Наиболее систематическое изложение геометрия впервые получила в обширном творении Евклида «Начала», текст которого дошел до нашего времени. Этот труд Евклида рассматривался как самое безупречное дедуктивное изложение системы геометрии, и задачей многочисленных комментаторов на протяжении двух тысячелетий являлось внесение пояснений или некоторых усовершенствований.

Особое внимание комментаторов привлёк пятый постулат. Напомним его формулировку:

«две прямые, пересекающиеся с третьей прямой и образующие с ней внутренние односторонние углы, составляющие в сумме меньше 2d при продолжении пересекаются в точке, лежащей с той стороны, где расположены эти углы».

Он не был так очевиден, как другие аксиомы и постулаты, к тому же многие теоремы Евклида (например, в равнобедренном треугольнике углы при основании равны) выражают гораздо более простые факты, чем пятый постулат .Поэтому стали возникать попытки доказать его как теорему на основании остальных аксиом.

Такие попытки предприняли математики: Посидоний, Прокл, ал-Джаухари, Сабит ибн Корра, Ибн аль-Хайсам, Омар Хайям, Насирэдин ат-Туси, Шамсад-Динас-Самарканди, Леви бен Гершон, Клавиус, Саккери (1667-1733), Ламберт (1728-1777), Лежандр(1752-1833). Однако в своих доказательствах они незаметно для себя использовали утверждения, эквивалентные пятому постулату Евклида. Таким путем шли Д., И. Г. и А.М. Некоторые математики пытались доказать пятый постулат методом от противного. Они приходили к утверждениям, чудовищно противоречащим нашей геометрической интуиции, но логического противоречия не получалось.

Многовековые попытки доказательства пятого постулата Евклида привели в конце концов к появлению новой геометрии, отличающейся от евклидовой тем, что в ней V постулат не выполняется. Эта геометрия теперь называется неевклидовой, а в России носит имя Лобачевского, который впервые опубликовал работу с ее изложением.

Гаусс и неевклидова геометрия

Первым, кто допустил возможность существования неевклидовой геометрии, в которой пятый постулат заменяется его отрицанием, был великий немецкий ученый Карл Фридрих Гаусс, прозванный королем математиков. То, что Гаусс владел идеями неевклидовой геометрии, было обнаружено лишь после смерти ученого, когда стали изучать его архивы. Гаусс еще с 90-х годов XVIII в. занимался теорией параллельных линий. Гениальный Гаусс свои взгляды по этому вопросу не публиковал, они сохранились только в его черновых записках и в

немногих письмам к друзьям. Гаусс, к мнениям которого все прислушивались, не рискнул публиковать свои результаты по неевклидовой геометрии, опасаясь быть непонятым и втянутым в полемику. В 1818 г. в письме к австрийскому астроному Герлингу (1788-1864) он писал: «Я радуюсь, что вы имеете мужество высказаться так, как если бы Вы признавали ложность нашей теории параллельных, а вместе с тем и всей нашей геометрии. Но осы, гнездо которых Вы потревожите, полетят Вам на голову»; по-видимому, под «потревоженными осами» Гаусс имел в виду сторонников традиционных взглядов на геометрию, а также априоризма математических понятий.

Открытие Лобачевским неевклидовой геометрии

ХIХ век принес решение загадки пятого постулата. Слава открытия неевклидовой геометрии принадлежит нашему соотечественнику, профессору Казанского университета Николаю Ивановичу Лобачевскому (1792 - 1856 г.г.), пришедшему к этому открытию независимо от Гаусса.

Первые попытки Лобачевского доказать пятый постулат относятся к 1823 году. Как и его предшественники, Лобачевский исходя из отрицания пятого постулата доказал много десятков теорем, не

обнаруживая логических противоречий. К 1826 году он пришел к убеждению в том, что V постулат не зависит от остальных аксиом геометрии Евклида. И тогда ему пришла в голову догадка о непротиворечивости геометрии, в которой пятый постулат заменен его отрицанием (аксиомой Лобачевского), при этом сохранены все положения, не связанные с пятым постулатом (составляющие абсолютную геометрию), а заменены те, которые связаны с ним (составляющие геометрию собственно Евклида).

Лобачевский сделал на заседании факультета казанского университета 11(23) февраля 1826 г. доклад «Сжатое изложение начал геометрии со строгим доказательством теоремы о параллельных», в котором были изложены начала открытой им «воображаемой геометрии», как он называл систему, позднее получившую название неевклидовой геометрии.

Доклад 1826г. вошел в состав первой публикации Лобачевского по неевклидовой геометрии – статьи «О началах геометрии», напечатанной в журнале Казанского университета «Казанский вестник» в 1829-1830 гг. Дальнейшему развитию и приложениям открытой им геометрии были посвящены мемуары «Воображаемая геометрия», «Применение воображаемой геометрии к некоторым интегралам» и «Новые начала геометрии с полной теорией параллельных», опубликованные в «Ученых записках» соответственно в 1835, 1836 и 1835-1838 гг. Переработанный текст «Воображаемой геометрии» появился во французском переводе в Берлине, там же в 1840 г. вышли отдельной книгой на немецком языке «Геометрические исследования по теории параллельных линий» Лобачевского. Наконец, в 1855 и 1856 гг. он издал в Казани на русском и французском языках «Пангеометрию».

Однако идеи Лобачевского были настолько революционными и до того опередили свой век, что не могли быть понятыми даже крупными математиками того времени. Поэтому новая геометрия не была признана современниками, была встречена с полным равнодушием и даже с иронией. Ее многие считали сплошной фантазией, а ее автора чудаком или даже невеждой. И лишь Гаусс, разумеется, поняв его с полуслова, оценил этот научный подвиг русского ученого в письмах к ученикам и добился избрания Н.И. Лобачевского (1842 г.) членом-корреспондентом Гёттинского королевского научного общества, бывшего по существу Академией наук ганноверского королевства.. Но публичной поддержки новой геометрии Гаусс не оказал, в печати с оценкой новой геометрической системы Гаусс не выступил.

Одинокий Лобачевский не отказался от своих идей. Он твердо был убежден в логической правильности своей геометрии. Но убежденность не заменяет доказательства непротиворечивости. Чтобы получить такое доказательство, надо было построить модель. И Лобачевский это хорошо понимал и пытался найти ее. Он предпринимал астрономические наблюдения и производил измерения углов космических треугольников, стороны которых измерялись расстояниями от земли до небесных тел, в надежде установить, равна ли сумма углов треугольника 2d или меньше 2d. Однако измерения не могли дать определенного результата в силу их приближенного характера. Лобачевский всю жизнь искал оправдания своей геометрии в механике и астрономии и не переставал верить, что торжество его идей неминуемо. В 1855 году умирает Гаусс. В том же году Лобачевский, которого постоянное умственное напряжение и тяжелые переживания, перенесенные в борьбе за признание своих идей довели до потери зрения, диктует последнее свое произведение «Пангеометрию». Лобачевский умер в 1856 году непризнанным, почти забытым.

Янош Бояи и неевклидова геометрия

Независимо от Лобачевского и Гаусса к открытию неевклидовой геометрии пришел венгерский математик Янош Бояи (1802-1860), сын известного математика Фаркаша Бояи.

Фаркаш Бояи, всю жизнь работавший над теорией параллельных, считал, что решение этой проблемы выше сил человеческих, и хотел оградить сына от недуг и разочарований. В одном из писем Фаркаш Бояи в 1820 году писал Яношу: «Я прошел весь беспросветный мрак этой ночи

и всякий светоч, всякую радость жизни в ней похоронил... Ты не должен пытаться одолеть теорию параллельных линий... Она может лишить тебя всего твоего времени, здоровья, покоя, всего счастья твоей жизни...». Но Янош Бояи не внял предостережениям отца.

Когда Я. Бояи пришел к тем же идеям, что Лобачевский и Гаусс, отец не понял его, однако предложил напечатать краткое изложение его открытия в виде приложения к своему руководству по математике, вышедшему в 1832г. Полное название труда Я. Бояи – «Приложение, содержащее науку о пространстве, абсолютно истинную, не зависящую от истинности или ложности V постулата Евклида» и его обычно коротко называют просто «Аппендикс».

Открытие Я. Бояи не было признано при его жизни; Гаусс, которому Ф. Бояи послал «Аппендикс», понял его, но никак не способствовал признанию открытия Я. Бояи.

В мемуаре «О началах геометрии» (1829) Лобачевский прежде всего воспроизвел свой доклад 1826г.

Он определяет основные понятия геометрии, не зависящие от V постулата, и заметив, что сумма углов прямолинейного треугольника не может быть , как это имеет место у сферических треугольников, Лобачевский заявляет: «Мы видели, что сумма углов прямолинейного треугольника не может быть . Остается предполагать эту сумму или . То и другое может быть принято без всякого противоречия впоследствии, от чего и происходят две Геометрии: одна, употребительная доныне по своей простоте, соглашается со всеми измерениями на самом деле; другая, воображаемая, более общая и потому затруднительная в своих вычислениях, допускает возможность зависимости линий от углов».

Лобачевский указывает, что в «воображаемой геометрии» сумма углов треугольника всегда и две прямые могут не пересекаться в случае, когда они образуют с секущей углы, в сумме меньшие . Параллельные прямые определяются как такие, которые не пересекаются, но могут быть получены предельным переходом из пересекающихся. Через каждую точку плоскости проходят две прямые, параллельные данной прямой, лежащей в этой плоскости; эти прямые делят пучок прямых, проходящих через данную точку, на четыре области, в двух из которых проходят прямые, пересекающие данную прямую, а в двух – прямые, которые не пересекают эту прямую и не могут быть получены предельным переходом из пересекающихся – такие прямые называются расходящимися; параллельные прямые разграничивают пресекающие прямые от расходящихся (на рис. условно изображены прямые и , проведенные через точку А параллельно прямой , прямые и , проведенные через точку А и пресекающие прямую , и прямые и , расходящиеся с прямой ). Угол между прямой, проведенной через точку А параллельно прямой , и перпендикуляром, опущенным из А на , Лобачевский называет «углом параллельности» и показывает, что функция , выражающая зависимость этого угла от длины а перпендикуляра, может быть (в современных обозначениях) записана в виде

=2arctg, (1)
где q – некоторая постоянная. При а0 угол параллельности всегда острый, причем он стремится к при , постоянная же q может служить на плоскости Лобачевского абсолютной единицей длины, аналогичной абсолютной единицей длины, аналогичной единице угла в евклидовом пространстве. Лобачевский устанавливает также, что расходящиеся прямые обладают общим перпендикуляром и удаляются друг от друга по обе стороны от него, а две параллельные прямые приближаются друг к другу и расстояния точек одной из них от другой стремится к 0 при неограниченном удалении этих точек. Сумма углов треугольника в геометрии Лобачевского всегда меньше , и если - «угловой дефект» треугольника, то есть разность между и суммой его углов, то площадь треугольника S равна

, (2)
где q – та же постоянная, что и в формуле (1).

Круг при стремлении его радиуса к бесконечности переходит в системе Лобачевского не в прямую, а в особого рода кривую «предельного круга» - в настоящее время такие кривые называют орициклами. Сфера при тех же обстоятельствах переходит не в плоскость, а в кривую поверхность, которую Лобачевский назвал «предельной сферой», а в настоящее время именуют орисферой. Лобачевский отмечает, что на орисфере имеет место евклидова геометрия, причем роль прямых на ней играют орициклы. Это позволяет Лобачевскому, опираясь на евклидову тригонометрию на орисфере, вывести тригонометрию на плоскости в его геометрической системе. Название «воображаемая геометрия» подчеркивает, что эта геометрия относится к евклидовой, «употребительной», по терминологии Лобачевского, как мнимые числа, «воображаемые», по его терминологии, к действительным.

Лобачевский сразу же поставил вопрос об экспериментальной проверке того, какая геометрия имеет место в реальном мире – «употребительная» или «воображаемая», для чего он решил измерить сумму углов треугольника, образованного двумя диаметрально противоположными положениями Земли на ее орбите и Сириусом и считая один из углов этого треугольника прямым, а другой – равным углу параллельности, Лобачевский нашел, что эта сумма отличается от на разность, меньшую ошибки угломерных инструментов в его время. «После того, - пишет Лобачевский, - можно вообразить, сколько эта разность, на которой основана наша теория параллельных, оправдывает точность всех вычислений обыкновенной геометрии и дозволяет принятые начала рассматривать как бы строго доказанными».

Это объясняет, что под «строгим доказательством теоремы о параллельных» в докладе 1826 г. Лобачевский понимал невозможность установить экспериментальным путем, какая из двух геометрий имеет место в реальном мире, откуда вытекает, что на практике можно пользоваться «употребительной геометрией», не рискуя впасть в ошибку.

Наиболее полно изложена система Лобачевского в его «Новых началах с полной теорией параллельных» (1835-1838). Изложение геометрии у Лобачевского основывается на чисто топологических свойствах прикосновения и сечения, конгруэнтность тел и равенство отрезков определяются по существу с помощью движения.

В позднейших работах Лобачевский ввел координаты и вычислил из геометрических соображений целый ряд новых определенных интегралов, которым он специально посвятил работу «Применение воображаемой геометрии к некоторым интегралам» (Учен. зап. Казан. ун-та, 1836), многие из которых были включены в дальнейшие справочники.

Непротиворечивость геометрии Лобачевского

Выведя уже в своей первой работе «О началах геометрии» формулы тригонометрии своей новой системы, Лобачевский заметил, что «эти уравнения переменяются в… (уравнения) сферической Тригонометрии, как скоро вместо боков a, b, c ставим в , , , но в обыкновенной Геометрии и сферической Тригонометрии везде входят одни содержания (т. е. отношения) линий: следовательно, обыкновенная Геометрия, Тригонометрия и эта новая геометрия всегда будут согласованы между собой». Это означает, что если мы запишем теорему косинусов, теорему синусов и двойственную теорему косинусов сферической тригонометрии для сферы радиуса r в виде

то формулы тригонометрии Лобачевского можно записать в том же виде, заменив стороны a, b, c треугольника произведениями ai, bi, ci; так как умножение сторон a, b, c на i равносильно умножению на i радиуса сферы, то, полагая r=qi и воспользовавшись известными соотношениями

cos(ix) = ch x, sin(ix) = i sh x,

мы можем переписать соответственные формулы тригонометрии Лобачевского в виде

,

Сам Лобачевский пользовался не функциями ch x и sh x, а комбинациями введенной им функции с тригонометрическими функциями; постоянная q в этих формулах – та же, что и в формулах (1) и (2).

Фактически Лобачевский доказал непротиворечивость своей системы тем, что ввел как на плоскости, так и в пространстве координаты и таким образом построил арифметическую модель плоскости и пространства Лобачевского. Однако сам Лобачевский видел свидетельство непротиворечивости открытой им геометрии в указанной связи формул его тригонометрии с формулами сферической тригонометрии. Этот вывод Лобачевского неправомерен. В своем мемуаре он доказал, что формулы сферической тригонометрии вытекают из его геометрии, между тем, чтобы утверждать, что из непротиворечивости тригонометрических формул вытекает непротиворечивость геометрии Лобачевского, надо было бы доказать, что все предложения последней можно вывести из ее тригонометрических формул и «абсолютной геометрии» - предложений, не зависящих от пятого постулата. Лобачевский попытался провести такое доказательство, но в его рассуждения вкралась ошибка.

Основные направления обоснования неевклидовых геометрий в XIX в.

В 1854 г. Б. Риман выдвинул концепцию n-мерных геометрических многообразий — чрезвычайно общее понимание пространства, в котором геометрия Лобачевского - Бояи заняла определенное место как трехмерная геометрия с отрицательной кривизной. Тем самым эта геометрия становится узаконенной, необходимой частью математики при ее систематическом развитии.

Непротиворечивость системы аксиом доказывается представлением модели, в которой реализуются данные аксиомы.

В 1868 г. Е. Бельтрами, занимаясь геометрией кривых поверхностей, нашел поверхность с отрицательной кривизной (псевдосферу), внутренняя геометрия которой ока­залась совпадающей с планиметрией Лобачевско­го. Основной вопрос относительно геометрии Лобачевского - Бояи — вопрос о ее внутренней непротиворечивости — был в значительной мере разрешен.

Через два года (1870 г.) немецкий математик Феликс Клейн (1849 - 1925 г.г.) предлагает другую модель плоскости Лобачевского. Клейн берет некоторый круг К и рассматривает такие проективные преобразования плоскости, которые отображают круг К на себя. В модели Клейна выполняются и все остальные аксиомы геометрии Лобачевского. В частности, для любой «прямой» (то есть хорды круга К) и любой точки А этой «прямой» существует «движение», переводящее ее в другую заданную прямую с отмеченной на ней точкой А.

Ещё одну модель геометрии Лобачевского предложил французский математик Анри Пуанкаре (1854 - 1912 г.г.). Он также рассматривает внутренность круга К, «прямыми» он считает дуги окружностей, которые в точках пересечения с границей круга К касаются радиусов.

В начале XIX в. в истолковании математики имелось два диаметрально противоположных воззрения на сущность математики и, вместе с тем, оп­ределенное единство в методологических требованиях: от математических истин требовали не только их строгой доказуемости, но еще и обязательной наглядности, непосредственной данности сознанию, интуитивной ясности того или иного рода.

Однако, внутренние потребности математики, необходимость решения конкретных задач заста­вили математиков ввести в обиход такие образы, как иррациональные и комплексные числа, кото­рые уже не были интуитивно ясными во всех свойствах и не допускали наглядной эмпирической интерпретации, адекватной этим свойствам. В XVII—XVIII вв. прилагалось много усилий для того, чтобы сделать эти образы обычными, найти для них некоторое непосредственное оправдание в опыте или геометрических представлениях. Лобачевский назвал свою геометрию воображаемой по той же причине, по какой комплексные числа, несмотря на их широкое использование, назывались мнимыми. В духе своего времени Лобачевский также рассматривал геометрию прежде всего как опытную науку, как дисциплину, обоснование которой должно быть найдено в опыте, а именно в правильности наших измерений. В соответствии с этим воз­зрением он пытался доказать справедливость своей новой геометрии посредством измерений, а именно через подсчет углов астрономических треугольни­ков. С той же целью Гаусс занимался точным из­мерением больших треугольников в процессе ра­боты по обмеру земель ганноверского королевства. Эти измерения, как известно, не подтвердили гипотезы о неевклидовости реального пространства: отклонение суммы углов треугольников от 180° всегда оказывалось в пределах допустимых ошибок измерений. Как сейчас установлено, если наше пространство и является неевклидовым в смысле общей теории относительности, то современные средства измерений недостаточны для того, чтобы зафиксировать этот факт в каких-либо непосредственных измерениях. Таким образом, отрицатель­ный результат опытов Лобачевского и Гаусса был предрешен. Но суть дела не в этом. Суть в том, что сама идея оправдания математического объ­екта через опыт была ошибочной. Попытки Гаус­са и Лобачевского показывают, что первооткрыва­тели новой сферы математики и, в определенном смысле, нового стиля математического мышления сами еще всецело находились под влиянием тра­диционного эмпирического воззрения на математи­ку и были далеки от понимания действительного значения своих новых идей.

Лобачевский, как можно заключить из некото­рых его высказываний, испытывал некоторые ко­лебания в вопросе о путях оправдания новой гео­метрии. Так, он пишет в статье «О началах геометрии»: «Очень вероятно, что эвклидовы положения одни только истинные, хотя и останутся навсегда недоказанными. Как бы то ни было, новая геометрия, основание которой здесь уже положено, если и не существует в природе, тем не менее может существовать в нашем воображении и, оставаясь без употребления для измерений в самом деле, открывает новое обширное поле для взаимного применения геометрии и аналитики» (Лобачевский Н. И. Полн. Собр. Соч., т. 1-5, с. 209). Здесь Лобачевский, как мы видим, делает основной акцент на внутриматематической ценности своей геометрии и в вопросе ее оправдания занимает позицию, близкую к взглядам Лейбница и Карно. Однако в начале XIX в., как мы сейчас понимаем, не существовало объективных предпосылок для того, чтобы перейти от этих правильных догадок к принципиально новому взгляду на сущность математических объектов и способов их оправдания.

Большой вклад в правильное понимание неевклидовых геометрий внес выдающийся французский математик А. Пуанкаре. Если бы Гаусс или Лобачевский нашли, что сумма углов у некоторых реальных треугольников меньше 180°, то это по мнению Пуанкаре, не свидетельствовало бы о ложности евклидовой геометрии, но говорило бы лишь о том, что световые лучи не подчиняются ее аксиомам. Пуанкаре развивает взгляд на аксиомы как на утверждения, в становлении которых известную роль играет опыт, но которые формируются по соображениям простоты и удобства. Пуанкаре признает основной тезис эмпиризма, а именно — если бы не было твердых тел в природе, то геометрия не существовала бы. Вместе с тем, по его мнению, геометрия все-таки не наука о твердых телах: она изучает не твердые тела, а идеальные представления о них, и эти идеальные представления уже не подвергаются контролю опыта, независимы от него в своей структуре. В отличие от Гельмгольца, Ф. Клейна и других ученых, у Пуанкаре на первом месте стоит специфика математики как науки, ее отличие от физики. Пуанкаре в принципе наметил выход из основного затруднения в философии математики XIX в.

Основная идея, необходимая для современного понимания математики, возникла в контексте работ Дедекинда, Кантора и Гильберта, которые стремились на логической основе уточнить исходные понятия геометрии и других математических наук. Надо сказать, что эти работы также в значительной мере были обусловлены появлением неевклидовых геометрий и других абстрактных образов, оперирование которыми предъявило повышенные требования к логике обоснования математических утверждений. У Гильберта прослеживается идея о том, что с какими бы интуитивными образами математика ни была связана генетически, она функционирует по отношению к опытному знанию исключительно как формальная система, как определенная знаковая модель, для эффективности которой существенна лишь ее внутренняя непротиворечивость. Такой взгляд на функцию и структуру математической теории дает возможность дополнить критику Пуанкаре более удовлетворительной позитивной концепцией, в рамках которой находит полное оправдание и факт неевклидовых геометрий.

С понятием формальной системы или формальной структуры иногда связывают представление только об особом внутреннем устройстве математической теории. Фактически, однако, это понятие представляет собой центральный момент современного понимания математики вообще, понимания ее происхождения, функции и т. д.

С тем, чтобы отметить прогресс философии математики, который наметился к началу XX века, перечислим в рамках этой общей концепции некоторые утверждения о математике.

1. Математика не есть опытная наука, изучающая определенные свойства действительности, наряду с механикой, физикой, химией и т. д. Мате­матика находится не рядом с опытными науками, как считал Аристотель и многие после него, а над опытными науками, представляя собой определенную надстройку над ними. Математика в общем является набором формальных (знаковых) моделей для теоретического знания и таким образом связана с опытом не непосредственно, а через другие науки.

2. Математика выступает по отношению к эмпирическому знанию как особого рода язык, способ трансформации эмпирических высказываний, установления связи между ними. Для этой цели математическая теория должна быть непротиворечивой, но не обязательно интуитивно ясной или имеющей опытное происхождение. В математике в принципе допустимы любые непротиворечивые структуры, которые эффективны в прикладном отношении или важны для внутреннего обоснования математической науки. Неевклидова геометрия менее законна, чем евклидова или какие-либо другие мыслимые математические структуры. Математика, в отличие от других наук, имеет право на создание чистых форм, т. е. образов, не имеющих какой-либо эмпирической интерпретации, но лишь в интенции на некоторую внутреннюю задачу. (Лобачевский, как мы уже говорили, допускал такое чисто функциональное оправдание своей геометрии, но оно не казалось ему достаточным из-за его в целом эмпирического взгляда на природу геометрических истин).

3. Математические утверждения необходимы (неопровержимы на опыте) вследствие внутренней логической определенности понятий. Эмпирический закон, к примеру, закон, утверждающий, что все газы расширяются при нагревании по закону V₀(l+at), где V₀ — исходный объем, t — темпе­ратура, а a — коэффициент расширения, может быть опровергнут только потому, что мы имеем внешнее, эмпирическое определение газа, независимое от самого закона. Если же газом назвать всякое вещество, которое расширяется в соответствии с данным законом, то закон, очевидно, будет неопровержим, ибо все, что ему не соответствует, не будет газом по определению. Утверждение 2 + 2=4, как и любое другое математическое утверждение, неопровержимо просто потому, что символы, его составляющие, не имеют внешних определений, независимых от самого утверждения. Математические понятия, даже если они генетически связаны с опытом, представляют собой не просто абстракции и даже не просто идеализации, но конструкции, т. е. понятия, свойства которых полностью определены включающей их системой формальных связей.

4. Математическая теория сама по себе не истинна, не ложна, она приобретает это свойство только после интерпретации в определенной сфере опытных представлений. Убеждение пифагорейцев и некоторых более поздних философов-рационалистов (Декарт, Лейбниц, Фреге) в особой достоверности математического знания является не более чем мистификацией логической структуры математических теорий, необходимости их внутренних связей.

5. Единство математики обеспечивается исключительно методом, но не предметом исследования. Сфера возможного приложения математики в принципе бесконечна: математик может говорить обо всем, что поддается формулировке на точном оперативном языке, что может быть изучено в своей логической форме в отвлечении от конкретного содержания. Это значит, в частности, что различие между геометрией и арифметикой по их близости к опыту, которому традиционно придавалось столь много внимания, в действительности является несущественным, по крайней мере в плане обоснования. Обоснование любой математической теории есть доказательство ее непротиворечивости, и оно может опираться только на ее формальную структуру, а не на ассоциации, которые мы привыкли связывать с ее понятиями.

Эти положения фиксируют основные моменты так называемого формалистского или структуралистского понимания математики, которое оформилось к концу XIX в. и которое делает акцент на логических особенностях и особых функциях математического знания. Этими положениями в значительной мере определяется современное, так сказать, «рабочее» понимание математики, которое мы можем встретить в методологических работах самих математиков и физиков, в предисловиях к учебникам и т. д. Математика определяется и как наука о необходимых заключениях (Б. Пирс в книге: Кутюра Л. Философские принципы математики., Спб., 1913, с. 183)), и как иерархия формальных структур (Н. Бурбаки Очерки по истории математики, М., 1963, с. 255), и как строгий язык, созданный для перехода от одних опытных суждений к другим (Бор Н. Атомная физика и человеческое познание, М., 1961, с. 96), и как особого рода идеальная техника науки, относительно которой можно говорить об эффективности, но нельзя говорить об истинности и ложности (Александров А. Д. Диалектика и математика. Сибирский математический журнал, 1970, №2), и как наука о знаковых моделях (Илиев Л Математика как наука о моделях., УМН, 1971, т. 27, вып. 2). Высказывается также взгляд на математику как на символический миф, который, как и обычный миф, будучи вымыслом, помогает тем не менее человеку разобраться в ситуациях реального мира (Bochner S. He role of mathematics in the rise of science., Princeton, 1966). Несмотря на некоторые нюансы, все эти определения выражают одно и то же, а именно взгляд на математику как на логически организованную систему понятий, для существования которой важна лишь ее дедуктивная, трансформирующая функция.

Возникновение такого взгляда на математику было прежде всего расширением предмета математики, признанием de jure математических образов, не связанных с опытом и интуицией. Отбрасывается всякая натурфилософия: математик не должен ломать голову над тем, что стоит, к примеру, за бесконечно малой в реальности, ибо дело не в созерцании и не в содержательном описании бесконечности, но лишь в формальных определениях, в оперативной силе понятия.

Развитие новых представлений о природе математики завершилось в первых двух десятилетиях нашего века. Уже в самом начале XX в. центр тяжести в философии математики смещается к проблемам логического обоснования. И это обусловлено не только интересом к новым проблемам, но и тем обстоятельством, что вопрос о природе неевклидовых геометрий постепенно перестает быть загадкой. Несмотря на различия в понимании своей науки, проявившиеся в отношении путей поиска ее логических оснований, математики начала XX века не оспаривают того, что логическая непротиворечивость есть необходимое и достаточное условие существования математической теории как таковой. Неевклидовы геометрии, а также и другие «монстры» математического мира, открытые позднее, превращаются с этой точки зрения в обычные рядовые объекты математики, ничуть не более странные, чем дробные или отрицательные числа. Тем самым завершается один из самых глубоких переворотов в философии математики, в представлениях о природе математического знания. Философское значение неевклидовых геометрий состоит в том, что их открытие явилось исходным пунктом и основным стимулом этого переворота.

Открытие в науке, как бы оно ни было велико, само по себе не является вкладом в философию. Однако существуют открытия, которые влекут за собой изменения в философии науки, в понимании ее предмета, методов, связи с другими науками. Неевклидовы геометрии — пример одного из таких открытий, чрезвычайно редких в истории науки. До построения неевклидовых геометрий к таким сдвигам в математике, имевшим философское значение, можно отнести только три события, а именно появление самой идеи математики как дедуктивной науки, открытие несоизмеримых величин и открытие дифференциального исчисле­ния в XVII в. В наше время таким событием явился отказ от основных программ обоснования математики (прежде всего под влиянием логических исследований К. Геделя), последствия которого для философии математики пока еще окончательно не осмыслены.

Среди аксиом Евклида была аксиома о параллельности прямых, а точнее, пятый постулат о параллельных линиях: «если две прямые образуют с третьей по одну ее сторону внутренние углы, сумма которых меньше развернутого угла, то такие прямые пересекаются при достаточном продолжении с одной стороны».

В современной формулировке она говорит о существовании «не более одной прямой, проходящей через данную точку вне данной прямой и параллельной этой данной прямой».

Сложность формулировки пятого постулата породила мысль о возможной зависимости его от других постулатов, и потому возникали попытки вывести его из остальных предпосылок геометрии. Все попытки заканчивались неудачей. Были попытки доказательства от противного: прийти к противоречию, предполагая верным отрицание постулата. Однако и этот путь был безуспешным.

Оказалось то, что пятый постулат не зависит от предыдущих, а значит, его можно заменить на ему эквивалентный. И в начале XIX века, почти одновременно сразу у нескольких математиков: у К. Гаусса в Германии, у Я. Бояи в Венгрии и у Н. Лобачевского в России, возникла мысль о существовании геометрии, в которой верна аксиома, заменяющая пятый постулат: «на плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, проходят, по крайней мере, две прямые, не пересекающие данную».

В силу приоритета Н. Лобачевского, который первым выступил с этой идеей в 1826, и его вклада в развитие новой, отличной от евклидовой геометрии последняя была названа в его честь «геометрией Лобачевского».

Аксиоматика планиметрии Лобачевского отличается от аксиоматики планиметрии Евклида лишь одной аксиомой: аксиома параллельности заменяется на ее отрицание – аксиому параллельности Лобачевского:

«Найдутся такая прямая a и такая не лежащая на ней точка A, что через A проходят по крайней мере две прямые, не пересекающие a».

Непротиворечивость системы аксиом доказывается представлением модели, в которой реализуются данные аксиомы.

Выделяют три различные модели геометрии Лобачевского:

1) Модель Пуанкаре,

2) Модель Клейна,

3) Отображение геометрии Лобачевского на псевдосфере (интерпретация Бельтрами).

В XIX в. с появлением неевклидовой геометрии наблюдался кризис оснований математики. Он поставил вопрос о точности математики, безупречности ее основных понятий. Речь идет о статусе математической науки, правомерности построения ее объектов, возможности их существования и критериях истинности утверждений о них. Подобные вопросы, конечно, возникали лишь в частных, не глобальных проявлениях.

1. Глейзер. Г.И. История математики в школе IX – X классы. Пособие для учителей.- М., «Просвещение» 1983

2. Глейзер Г.И. История школьной геометрии. Справочник по математике.- М.: «Просвещение»

3. Даан Дальмедино А., Пейффер И. Пути и лабиринты. Очерки по истории математики. Перевод с французского.- М.: «Мир», 1986

4. Лаптев Б.Л. Лобачевский Н.И. и его геометрия. Пособие для учащихся.- М.: «Просвещение» 1976

5. Математика XIX века.- М.: «Наука», 1981

6. Силин А.В., Шмакова Н.А. Открываем неевклидову геометрию. Книга для внеклассного чтения учащихся 9 - 10 классов средней школы.- М.: «Просвещение» 1988

7. Юшкевич А.П., История математики в России.- М.: «Наука», 1968

8. Яглам И.М.. Принцип относительности Галилея и неевклидова геометрия.- М.: «Библиотека математического кружка»1963г.

25