Некоторые приемы быстрого умножения

муниципальное образовательное учреждение

средняя школа № 26

Тракторозаводского района г. Волгограда

Некоторые приемы быстрого умножения

МИРОЗНАЙ

секция

математика

Выполнила:

учащаяся 8А класса МОУ СШ № 26

Холявкина Диана Александровна

Учитель:

Старцева Татьяна Александровна

Волгоград 2017

СОДЕРЖАНИЕ

Введение.

Часть I. Исследование истории устного счета.

1. История арифметики в России.

1.2. Люди – феномены быстрого счёта.

1.3. Первая литература по способам быстрого счета.

1.4. Таблица умножения на пальцах.

Часть II. Эксперименты и анализ решения.

2.1.    Умножение на 11 числа, сумма цифр которого меньше 10.

2.2.    Умножение на 11 числа, сумма цифр которого 10 или больше 10.

2.3. Умножение на 11.

2.4.    Умножение на 11 (по Трахтенбергу).

2.5. Умножение на число 111, 1111 и т. д.

2.6.    Умножение на 101.

2.7.    Умножение на 1001.

Приложение 1.

Выводы.

Список использованной литературы.

Ну-ка в сторону карандаши!

Ни костяшек. Ни ручек. Ни мела.

"Устный счёт!" Мы творим это дело

Только силой ума и души.

Цифры сходятся где-то во тьме,

И глаза начинают светиться,

И кругом только умные лица.

Потому что считаем в уме!

            Валентин Берестов

Введение

У́стный счёт — математические вычисления, осуществляемые человеком без помощи дополнительных устройств (компьютер, калькулятор, счёты и т. п.) и приспособлений (ручка, карандаш, бумага и т. п.). В повседневной жизни человеку постоянно приходится выполнять различные вычисления. Вот почему в школе, на уроках математики, мы учимся выполнять действия над числами. Сейчас большую роль в нашей жизни играют электронные вычислительные машины. Работа этих машин обусловлена выполнением действий над числами по заданной программе. Чтобы управлять такими сложными механизмами, нужно знать математику. И хотя математика в наше время шагнула далеко вперёд в своём развитии, обойтись без вычислений невозможно. Облегчают расчёты разные способы и приёмы вычислений. Кроме того, быстрый счёт – настоящая гимнастика для ума, приучающая в самых сложных жизненных ситуациях находить в кратчайшее время хорошие и нестандартные решения. Производя математические вычисления в уме, человек пользуется, по сути, теми же правилами, что и при письменных вычислениях.

Тема работы: Некоторые приемы быстрого умножения.

Цель работы: Изучить методы и приёмы быстрого умножения и доказать необходимость умения быстрого счёта и эффективного использования этих приёмов на уроках математики и в различных жизненных ситуациях.

Задачи:

1.Изучить литературу.

2.Вывести формулы или правила быстрого умножения на некоторые числа.

3.Создать электронный образовательный ресурс для дальнейшего использования на уроках математики.

Объект исследования: методы и приемы быстрого умножения.

Предмет исследования: математика.

Гипотеза: предположим, что обойтись без знания техники быстрого умножения все-таки возможно в каких-то «особых» случаях.

Методы исследования:

1. Анализ различной литературы.

2.Анализ периодических источников.

3.Эксперимент.

Актуальность опыта: состоит в том, что раздел школьной математики не имеет возможности расширить представление о технике быстрого умножения, представить информацию о применении быстрого умножения в окружающем нас мире, поэтому эти знания могут пригодиться в дальнейшей математической деятельности.

Результат работы:

1.Собраны исторические факты возникновения и развития быстрого умножения.

2. Выведены формулы или правила быстрого умножения на некоторые числа.

3.Создан образовательный ресурс.

1. История арифметики в России

XI веком датируются математические задачи из юридического сборника «Русская Правда» — первый дошедший до нас математический документ Древней Руси, содержащий задачи о приплоде скота, количестве зерна и сена, собираемого с определённой площади. Дальнейшее развитие науки было остановлено монголо-татарским нашествием конце XVI века появилась «Книга, рекома по гречески Арифметика, по-немецки Алгорисма, а по-русски — Цифирная счетная мудрость», которая, по мнению Карамзина, и была первой русской арифметикой.Считается, что арабские цифры были введены в России после первого заграничного путешествия Петра I, когда он в 1698 году привёз из Лондона морских офицеров. Одним из офицеров был Фергарсон, который, как полагают, ввёл в России арабские цифры. Но на самом деле они пришли в Россию задолго до Петра, в 1647 году в Москве по указу царя Алексея Михайловича был напечатан русский воинский устав, в котором использовались арабские цифры. Книги же, напечатанные на русском языке за пределами России, содержали арабские цифры с начала XVI века. При этом в тексте использовалась славянская нумерация, а для вычислений — арабская.В 1682 году в Москве была напечатана первая книга математического содержания «Считание удобное, которым всякий человек купующий или продающий зело удобно изыскати может, число всякие вещи», которая содержала таблицы умножения до 100 и использовала славянскую нумерацию. Второе издание этой книги, выпущенное в 1714 году в Петербурге, было напечатано гражданским шрифтом и арабскими цифрами. В 1699 году в Амстердаме вышла книга «Краткое и полезное руковедение в аритметыку, или во обучение и познание всякого счёту в сочетании всяких вещей» — первый учебник арифметики на русском языке. Книга была составлена Ильёй Фёдоровичем Копиевичем (или Копиевским) по заказу архангельских купцов. Она не удовлетворила заказчиков и распространения не получила.

В России первый учебник арифметики Леонтия Магницкого был напечатан в 1703 году. В «Арифметике» Магницкого, вслед за остальной Европой, используется счёт по числу пальцев на руках: числа от 1 до 9 названы «перстами», нуль — «низачто», десятки — «составами», а остальные числа — «сочинениями».

1.2. Люди – феномен быстрого счёта.

Феномен особых способностей в устном счёте встречается с давних пор. Как известно, ими обладали многие ученые, в частности Андре Ампер и Карл Гаусс. Однако, умение быстро считать было присуще и многим людям, чья профессия была далека от математики и науки в целом.До второй половины XX века на эстраде были популярны выступления специалистов в устном счёте. Иногда они устраивали показательные соревнования между собой. Известными российскими «суперсчетчиками» являются Арон Чиквашвили, Давид Гольдштейн, Юрий Горный, зарубежными – Борислав Гаджански, Вильям Клайн, Томас Фулер и другие. Хотя некоторые специалисты уверяли, что дело во врожденных способностях, другие аргументировано доказывали обратное: «дело не только и не столько в каких-то исключительных «феноменальных» способностях, а в знании некоторых математических законов, позволяющих быстро производить вычисления» и охотно раскрывали эти законы. Истина как обычно, оказалась на некоей «золотой середине» сочетания природных способностей и грамотного, трудолюбивого их пробуждения, взращивания и использования. Те, кто следуя Трофиму Лысенко уповают исключительно на волю и напористость, со всеми уже хорошо известными способами и приемами устного счёта обычно при всех стараниях не поднимаются выше очень и очень средних достижений. Более того, настойчивые попытки «хорошенько нагрузить» мозг такими занятиями как устный счёт, шахматы вслепую и т.п. легко могут привести к перенапряжению и заметному падению умственной работоспособности, памяти и самочувствия (а в наиболее тяжелых случаях – и к шизофрении). С другой стороны и одаренные люди при беспорядочном использовании своих талантов в такой области как устный счёт быстро «перегорают» и перестают быть в состоянии длительно и устойчиво показывать яркие достижения. Один из примеров удачного сочетания обоих условий (природной одаренности и большой грамотной работы над собой) показал наш соотечественник, уроженец Алтайского края Юрий Горный. Пожалуй, единственная научно обоснованная и достаточно подробно разработанная система резкого повышения быстроты устного счёта создана была в годы второй мировой войны цюрихским профессором математики Я. Трахтенбергом.  Она известна под названием «Система быстрого счёта». История ее создания необычная. В 1941г. гитлеровцы бросили Трахтенберга в концлагерь. Чтобы уцелеть в нечеловеческих условиях и сохранить нормальной свою психику, Трахтенберг начал разрабатывать принципы ускоренного счета. За четыре страшных года пребывания в концлагере профессору удалось создать стройную систему ускоренного обучения детей и взрослых основам быстрого счёта. Уже с самого начала результаты были самые отрадные. Учащиеся радовались вновь приобретенным навыкам и с воодушевлением двигались вперед. Если раньше их отталкивала монотонность, то сейчас их привлекало разнообразие приёмов. Шаг за шагом, благодаря достигнутым ими успехам, рос интерес к занятиям. После войны Трахтенберг создал и возглавил Цюрихский математический институт, получивший мировую известность. Также разработкой приёмов быстрого счёта занимались другие ученые: Яков Исидорович Перельман, Георгий Берман и другие.

Яков Трахтенберг 1888-1953г,

1.3. Первая литература по способам счёта.

В книге В. Беллюстина « Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики» (1914) изложено 27 способов умножения, причем автор замечает: «весьма возможно, что есть и еще (способы), скрытые в тайниках книгохранилищ, разбросанные в многочисленных, главным образом рукописных сборниках».Наш современный способ умножения описан там под названием «шахматного». Был так же и очень интересный, точный, лёгкий, но громоздкий способ «галерой» или «лодкой», названный так в силу того, что при делении чисел этим способом получается фигура, похожая на лодку или галеру. У нас такой способ употреблялся до середины XVIII века. («Арифметика» – старинный русский учебник математики, которую Ломоносов назвал «вратами своей учености») пользуется исключительно способом «галеры», не употребляя, впрочем, этого названия.Упоминаются такие способы, как «загибанием», «решеткой», «задом наперед», «ромбом», «треугольником» и многие другие. Многие такие приемы для умножения чисел долгие и требуют обязательной проверки. Интересно, что и наш способ умножения не является совершенным, можно придумать еще более быстрые и еще более надежные.

1.4. Таблица умножения на «пальцах».

Рассмотрим примеры умножения чисел, получившие наибольшее описание в литературе.

Таблица умножения – те необходимые в жизни каждого человека знания, которые требуется элементарно заучить, что на первых школьных порах даётся совсем не элементарно. Это потом уже с легкостью мага мы «щелкаем» примеры на умножение: 2·3, 3·5, 4·6 и т.д., но со временем все чаще забываемся на множителях ближе 6,7,8,9, особенно если счетной практики давно не ведали, отчего отдаемся во власть калькулятора или надеемся на свежесть знаний друга. Однако, овладев одной незамысловатой техникой «ручного» умножения, мы можем запросто отказаться от услуг калькулятора. Уточнение: речь идет о школьной таблице умножения, т.е. для чисел от 2 до 9, умножаемых на числа от 1 до 10.

Умножение на 6,7,8.

Поверните кисти ладонями к себе и присвойте каждому пальцу цифры от 6 и до 10 начиная с мизинца.

Теперь попробуем умножить, например, 7х8. Для этого соедините палец №7 на левой руке с пальцем №8 на правой.

А теперь считаем пальцы: количество пальцев под соединенными – это десятки.

А пальцы левой руки, оставшиеся сверху, умножаем на пальцы правой – это и будут наши единицы (3х2=6). Итоге равен 56.

Иногда бывает так, что при умножении “единиц” результат получается больше 9. В таких случаях нужно плюсовать оба результата в столбик.

Например, 7х6. В этом случае получается, что “единицы” равны 12 (3х4). В десятки равны 3.

3 (десятки)
+
12 (единицы)
________
42

Умножение на 9.

Снова поверните кисти ладонями к себе, но теперь нумерация пальцев будет идти по порядку с лева на право, то есть от 1 до 10.

Теперь умножаем, например, 2х9. Все то, что идет до пальца №2 – это десятки (то есть 1 в этом случае). А все то, что остается после пальца №2 – единицы (то есть 8). В итоге получаем 18.

Еще пример: нужно вычислить 9·9=? По ходу дела скажем, что в качестве «счетной машинки» не обязательно могут выступать пальцы рук. Возьмите к примеру 10 клеточек в тетради. Зачеркиваем 9-ю клеточку. Слева осталось 8 клеточек, справа – 1 клеточка. Значит 9·9=81. Все очень просто.

Умножение для числа 8 – 8·1, 8·2 … 8·10 – действия здесь похожи на умножение для числа 9 за некоторыми изменениями. Во-первых, поскольку числу 8 не хватает уже двойки до круглого числа 10, нам необходимо каждый раз загибать сразу два пальца – с номером х и следующий палец с номером х+1. Во-вторых, тотчас же после загнутых пальцев мы должны загнуть еще столько пальцев, сколько осталось не загнутых пальцев слева. В-третьих, это напрямую работает при умножении на число от 1 до 5, а при умножении на число от 6 до 10 нужно отнять от числа х пятерку и выполнить расчёт как для числа от 1 до 5., а к ответу затем добавить число 40, потому что иначе придется выполнять переход через десяток, что не совсем удобно «на пальцах», хотя в принципе это не так сложно. Вообще надо заметить, что умножение для чисел ниже 9 тем неудобнее выполнять «на пальцах», чем ниже число расположено от 9.

Теперь рассмотрим пример умножения для числа 8. Допустим, хотим умножить 8 на 3. Загибаем палец с номером 3 и за ним палец с номером 4 (3+1). Слева у нас осталось 2 незагнутых пальца, значит нам необходимо загнуть еще 2 пальца после пальца с номером 4 (это будут пальцы с номерами 5, 6 и 7). Осталось 2 пальца не загнуто слева и 4 пальца – справа. Следовательно, 8·3=24.

Еще пример: вычислить 8·8=?  Как было сказано выше, при умножении на число от 6 до 10 нужно отнять от числа х пятерку, выполнить расчет с новым число х-5, а затем добавить к ответу число 40. У нас х=8, значит загибаем палец с номером 3 (8-5=3) и следующий палец с номером 4 (3+1). Слева два пальца остались не загнуты, значит загибаем еще два пальца (с номером 5,6). Получаем: слева 2 пальца не загнуты и справа – 4 пальца, что обозначает число 24. Но к этому числу нужно еще добавить 40: 24+40=64. В итоге 8·8=64.

Приведу примеры умножения чисел, получившие наибольшее описание в литературе.

Часть II.

2.1 Умножение на 11 числа, сумма цифр которого не превышает 10.

Чтобы умножить на 11 число, сумма цифр которого 10 или меньше 10, надо мысленно раздвинуть цифры этого числа, поставить между ними сумму этих цифр, а затем к первой цифре прибавить 1, а вторую и последнюю (третью) цифру оставить без изменения.

62х11=6(6+2)2=682;

45х11=4(4+5)5=495;

2.2 Умножение на 11 числа, сумма цифр которого больше 10.

Чтобы умножить на 11 число, сумма цифр которого 10 или больше 10, надо мысленно раздвинуть цифры этого числа, поставить между ними сумму этих цифр, а затем к первой цифре прибавить 1, а вторую и последнюю (третью) цифру оставить без изменения.

68х11=6(6+8)8=6(14)8=748;

96х11=9(9+6)6=9(15)6=1056;

2.3. Умножение на одиннадцать, число нужно умножить на 10 и прибавить то число, которое мы умножаем.

Пример:  110 * 11 = 110 * (10+1) = 110 * 10 + 110 * 1= 1100 + 110= 1210

Ответ: 1210

Пример: 123 * 11 = 123 * (10+1) = 123 * 10 + 123 * 1= 1230 + 123= 1353

Ответ: 1353.

2.4 Умножение на одиннадцать (по Трахтенбергу).

Разберем на примере: 623 умножить на 11.

Ответ пишется под 623 по одной цифре справа налево, как указано в правилах.

Первое правило. Напишите последнюю цифру числа 623 в качестве правой цифры результата

623*11

3

Второе правило. Каждая последующая цифра числа 623 складывается со своим правым соседом и записывается в результат.3+2 будет 5. Перед тройкой записываем результат 6.

623*11

53

Применим правило еще раз: 6+2 будет 8. Записываем и эту цифру в результате:

623*11

853

Третье правило. Первая цифра числа 633, то есть 6, становится левой цифрой результата:

633*11

6853

Ответ: 6853.

2.5. Умножение на число 111, 1111 и т. д., зная правила умножения двузначного числа на число 11.

Если сумма цифр первого множителя меньше 10, надо мысленно раздвинуть цифры этого числа на 2, 3 и т.д. шага, сложить цифры и записать соответствующее количество раз их сумму между раздвинутыми цифрами. Количество шагов всегда меньше количества единиц на 1.

Пример:

24х111=2(2+4) (2+4)4=2664 (количество шагов - 2)

24х1111=2(2+4)(2+4)(2+4)4=26664 (количество шагов - 3)

При умножении числа 72 на 111111 цифры 7 и 2 надо раздвинуть на 5 шагов. Эти вычисления можно легко произвести в уме.

72 х 111111 = 7999992 (количество шагов – 5)

Если единиц во втором множителе 7, то шагов будет на один меньше, т.е. 6.

Если единиц 8, то шагов будет 7 и т.д.

61 х 11111111 = 677777771

Эти вычисления можно легко произвести в уме.

Умножение двузначного числа на 111, 1111, 1111 и т.д., сумма цифр которого равна или больше 10.

Немного сложнее выполнить устное умножение, если сумма цифр первого множителя равна 10 или более 10.

Примеры:

48 х 111 = 4 (4+8) (4+8) = 4 (12) (12) 8 = (4+1) (2+1) 28 = 5328.

В этом случае к первой цифре нужно прибавить 1. получим 5.

Далее 2 + 1 = 3. А последние цифры 2 и 8 оставляем без изменения.

56 х 11111 = 5 (5+6) (5+6) (5+6) (5+6) 6 = 5 (11) (11) (11) (11) 6 = 622216

67 х 1111 = 6 (6+7)…7 = 6 (13)…7 = 74437

2.6. Умножение двузначного числа на 101.

Пожалуй, самое простое правило: припишите ваше число к самому себе. Умножение закончено. Пример:

57 * 101 = 5757 57 5757                94 * 101 = 9494

быстрый счёт умножение число    59 * 101 = 5959

2.7. Умножение трёхзначного числа на 1001.

Пожалуй, самое простое правило: припишите ваше число к самому себе. Умножение закончено. Пример:

573 * 1001 = 573573 573 573573                942 * 101 = 95142

быстрый счёт умножение число    596 * 101 = 596596

Заключение:

В ходе проделанной работы мы увидели:

1. Быстрый счёт это уже не тайна за семью печатями, а научно разработанная система.

2.Раз есть система, значит её можно изучать, ей можно следовать, ею можно овладевать.

3. Все рассмотренные мною методы устного умножения говорят о многолетнем интересе ученых, и простых людей к игре с цифрами.

4.Используя некоторые из этих методов на уроках или дома, можно развить скорость вычислений, привить интерес к математике, добиться успехов в изучении всех школьных предметов.

5. Создан образовательный ресурс для дальнейшего его применения на уроках математики и внеурочное время.

Итак:

Цель нашей работы достигнута: я научилась умножать без помощи дополнительных устройств. Узнала о некоторых способах и приемах быстрого умножения на некоторые числа и их использовании в окружающем мире. Благодаря всей проделанной работе удалось расширить свой кругозор и словарный запас. Оказывается, без теоретических знаний и кропотливого человеческого труда заметить и разглядеть всю красоту окружающего нас мира чисел во всем его многообразии нельзя.

В результате исследовательской работы я убедилась в том, что без знаний приемов быстрого умножения невозможно обойтись. Знание этих приемов придает гармонию, красоту и равновесие всему окружению. Таким образом, гипотеза, выдвинутая нами, свое подтверждение не нашла.

Список литературы:

1.Берман Г. Н. Приемы счёта, изд. 6-е, М.: Физматгиз, 1959.

2.Гольдштейн Д. Н. Курс упрощённых вычислений. М.: Гос. учебно-пед. изд., 1931.

3.Гольдштейн Д. Н. Техника быстрых вычислений. М.: Учпедгиз, 1948.

Катлер Э. Мак-Шейн Р. Система быстрого счёта по Трахтенбергу. -- М.: Учпедгиз.- 1967. 150с.