О формировании исследовательских умений у учащихся при изучении расположения корней квадратного уравнения

К. Останов,

к.п.н., доцент,

СамГУ,

г. Самарканд, Узбекистан

О ФОРМИРОВАНИИ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИХ УМЕНИЙ У УЧАЩИХСЯ ПРИ ИЗУЧЕНИИ РАСПОЛОЖЕНИЯ КОРНЕЙ КВАДРАТНОГО УРАВНЕНИЯ

Важное значение имеет в процессе исследовательских умений учащихся изучение и исследование корней квадратного уравнения в зависимости от коэффициентов уравнения[1].

Задача 1. Задача об определении количества корней квадратного уравнения или их существования на заданном полу бесконечном (луче) или выделение корней, принадлежащих лучу. Учащимся уже известно, что: для того, чтобы квадратный трехчлен имел двух положительных корней необходимо и достаточно должны выполняться одновременно условия:

На практике этот признак используется в следующем виде:

Этот признак вытекает из теоремы Виета :

Теперь найдем необходимые и достаточные условия, того, что корни трехчлена

Больше заданного числа (т.е. чтобы корни принадлежали интервалу .) Эта задача может быть решена приведением к предыдущей задаче. На самом деле, функция также будет квадратным трехчленом; его корнями будет , так как

это условие примет следующий вид:

Здесь - дискриминант трехчлена , так как от того, что трехчлены имеют одновременно корней или не имеют, неравенство равносильно неравенству .

Значит, выше приведенное необходимое и достаточное условие будет иметь следующий вид

Доказательство. Необходимость. Пусть трехчлен имеет корней большей, чем числа.

Тогда его дискриминант неотрицательный (потому что имеет корней) так как число меньшем ,чем не меньшего корня , то

и по теореме Виета . С этим необходимость теоремы полностью доказана (для ).

Достаточность. Пусть выполнены условия . Тогда трехчлен имеет корней и если эти корни будет различными, то из второго неравенства или число р больше большого корня, или число меньше меньшего корня , но в первом случае мы имели бы , т.е. .Это противоречит третьему неравенству. Значит, р меньше обоих корней, если корни совпадают, т.е. то , тогда неравенство 3 - , означает, что два корня больше числа р[2].

Задача 2. Какое необходимое и достаточное условие можно найти для того, чтобы квадратный трехчлен имел двух корней меньше заданного числа (корни необязательно должны быть разными). Решение этой задачи выражается следующими условиями

.

Рассмотренные выше две задачи дополняют следующая задача:

Задача 3. Как выразить необходимое и достаточное условие того, что трехчлен имел корней один из которого больше заданного числа и а другой меньше его?

Решение этой задачи состоит из условия Доказательство этого признака вытекает из переформулировки доказательства выше приведенного признака. Это свойство трехчлена означает, что заданное число расположены между двумя корнями, а этот признак известен: значение трехчлена в точке р должна быть противоположна знаку главного коэффициента трехчлена[3].

Таким образом, проведение исследований по нахождению необходимые и достаточных условия расположения корней трехчлен, в интервалах или или в интервалах , мы вынуждены использовать свойства квадратичной функции Теперь рассмотрим расположения корней трехчлена в открытом конечном интервале[4].

Вследствие этого можно составить следующую таблицу расположения корней трехчлена

Здесь + и – означает знаки выражений. Например, в первом случае корни не принадлежат интервалу (p,q) и расположены слева, т.е. они меньше чем заданного числа, то необходимо и достаточно выполнения условий

.

Во втором случае, р расположен между двумя корнями, число q больше большого корня, должно выполняться условия

Литература и примечания:

[1] Потапов М. К., Олехник С. Н., Нестеренко Ю. В. Конкурсные задачи по математике: Справочное пособие. – Изд. 3-е, стер. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. – 416с.

[2] Сахабиева ГА., Сахабиев В. А. Учебное пособие по математике. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. - 160 с.

[3] Ткачук В. В. Математика – абитуриенту. – 14-е изд., исправленное и дополненное. М.: МЦНМО, 2007. - 976 с.

[4] Голубев В.И. Решение сложных и нестандартных задач по математике. – М: ИЛЕКСА, 2007. – 252 с: ил.