Просмотр содержимого документа
«О некоторых нестандартных способах решения иррациональных уравнений»
О НЕКОТОРЫХ НЕСТАНДАРТНЫХ СПОСОБАХ РЕШЕНИЯ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Останов К.
1. Приведение к системе рациональных уравнений. При решении иррациональных уравнений с помощью преобразований необходимо использовать не только одну, а несколько переменных. При этом для обеспечения однозначности значений неизвестной уравнение преобразуется в систему рациональных уравнений [1]. Например, при решении уравнения
(1)
введем следующую замену переменных
(2)
Тогда уравнение (1) будет имет вид
. Связь квадратов новых переменных выражается соотношением
. Значит, получим систему равнений
(3)
Преобразуя и решая систему (3) методом сложения придем к системе:
. Тогда получаем уравнение
(4)
Уравнение (4) можно привести к кубическому уравнению.
, его единственный корень
. С проверкой убеждаемся, что
- корень исходного уравнения (1).
2. Умножение на сопряженное выражение.
Если в уравнение войдет сумма или разность радикалов, то можно использовать умножение на сопряженное выражение[2]. Например. при решении уравнения
(5)
так как в левой части уравнения стоит разность радикалов, то умножим обе части уравнения (5) на сумму этих радикалов. По правилу разложения множителей в произведения рассмотрим два случая:
1) если
, то
; 2) если
,
то тогда это уравнение решается возведением обеих частей в квадрат. Но в
данном случае рациональнее будет рассмотреть систему уравнений
(6)
Сумма уравнений системы (6) будет следствием уравнения (5), это уравнение имеет простой вид
. Решение полученного уравнения даёт еще одно решение исходного уравнения (5) :
.
3. Преобразование сумму (разность) радикалов. Этот способ применяется при решении иррациональных уравнений вида
. Его сущность заключается в том, что на определенном этапе сумма (разность) радикалов меняется на простое выражение. Такое преобразование избавялет от повторного возведения в степень и приведет к решению простого уравнения. Например, при решении уравнения
сначала возведем обе части уравнения в куб, а потом выполняя серию преобразований получим уравнение
. Поменяя сумму радикалов
на выражение
, получим уравнение
. Возведя обе части ещё раз в куб будем иметь
.
Проверка показывает, что при в левой части уравнения:а в правой части:
значит, - корень уравнения. При левая часть уравнения равно : а правая часть: , - неправильно, значит, не является корнем данного уравнения.
Список литературы
1. Чулков П.В. Уравнения и неравенства в школьном курсе математики. – М.: Педагогический университет «Первое сентября», 2009
2. Литвиненко А. Мордкович А.Г. Практикум по элементарной математике. Алгебра и тригонометрия. М.: Просвещение, 1988.