О проекте "В мире многогранников"

Проект «В мире многогранников»

Руководитель проекта:

Хохлова Лада (ученица 7В класса)

Участники проекта:

Пузикова Анастасия (ученица 11Б класса)

Шмелева Анастасия (ученица 11Б класса)

Научный консультант:

Кузнецова Лариса Викторовна

(учитель математики МБОУ СОШ №1

г. Подольска)

В огромном саду геометрии каждый найдет букет себе по вкусу.

Д. Гилберт

В этом году на внеурочных занятиях по экспериментальной математике мы познакомились с интереснейшим разделом стереометрии – многогранники. Так появился проект «В мире многогранников», целью которого стало создание коллекции многогранников и инструкций построения этих моделей. В ходе работы над проектом мы узнали очень интересные факты об истории открытия, изучения свойств многогранников и способов построения их моделей. Особенно заинтересовали правильные, полуправильные и звёзчатые многогранники. Вот лишь некоторые из них. Правильные многогранники известны с древнейших времён. Их орнаментные модели можно найти на резных каменных шарах, созданных в период позднего неолита. В значительной мере правильные многогранники были изучены древними греками. Некоторые источники приписывают честь их открытия Пифагору. Другие утверждают, что ему были знакомы только тетраэдр, куб и додекаэдр, а честь открытия октаэдра и икосаэдра принадлежит Теэтету Афинскому, современнику Платона. Теэтет дал математическое описание всем пяти правильным многогранникам и первое известное доказательство того, что их ровно пять.

Платон же, в честь которого они получили название «платоновы тела». писал о них в своём трактате Тимей (360г до н. э.), где сопоставил каждую из четырёх стихий (землю, воздух, воду и огонь) определённому правильному многограннику. Земля сопоставлялась кубу, воздух — октаэдру, вода — икосаэдру, а огонь — тетраэдру. По поводу додекаэдра, Платон сделал смутное замечание: «…его бог определил для Вселенной и прибегнул к нему в качестве образца». Евклид дал полное математическое описание правильных многогранников в последней, XIII книге Начал. В XVI веке немецкий астроном Иоганн Кеплер пытался найти связь между пятью известными на тот момент планетами Солнечной системы (исключая Землю) и правильными многогранниками. В книге «Тайна мира», опубликованной в 1596 году, Кеплер изложил свою модель Солнечной системы. В ней пять правильных многогранников помещались один в другой и разделялись серией вписанных и описанных сфер. Каждая из шести сфер соответствовала одной из планет (Меркурию, Венере, Земле, Марсу, Юпитеру и Сатурну). Многогранники были расположены в следующем порядке (от внутреннего к внешнему): октаэдр, за ним икосаэдр, додекаэдр, тетраэдр и, наконец, куб. Таким образом, структура Солнечной системы и отношения расстояний между планетами определялись правильными многогранниками. Позже от оригинальной идеи Кеплера пришлось отказаться, но результатом его поисков стало открытие двух законов орбитальной динамики — законов Кеплера, — изменивших курс физики и астрономии, а также правильных звёздчатых многогранников (тел Кеплера — Пуансо. Помимо пяти правильных многогранников существует класс полуправильных многогранников. Впервые полуправильные многогранники открыл и подробно описал их характеристики Архимед. К ним относятся 13 многогранников: усеченный тетраэдр, усеченный октаэдр, усеченный икосаэдр, усеченный куб, усеченный додекаэдр, кубооктаэдр, икосододекаэдр, усеченный кубооктаэдр, усеченный икосододекаедр, ромбокубооктаэдр, ромбоикосододекаэдр, «плосконосый» (курносый) куб, «плосконосый» (курносый) додекаэдр. Позже эти тела назвали в честь великого ученого Архимедовыми телами. Складывая Платоновы тела между собой в определенном порядке, вы можете построить немало звездчатых многоранников – красивых, сложных, многокомпонентных. Но они будут называться "неправильными звездчатыми многогранниками".

Правильных звездчатых многогранников всего четыре: малый звездчатый додекаэдр, большой звездчатый додекаэдр, большой додекаэдр и большой икосаэдр. Иоган Кеплер, для которого правильные многогранники были любимым предметом изучения, в своем сочинении «Космографическая тайна» в 1596 году описал два вида звездчатых многогранников. Малый звездчатый додекаэдр образован продолжением граней выпуклого додекаэдра. Этот многогранник можно получить из додекаэдра установкой на его гранях правильных 5- угольных пирамид. Большой звездчатый додекаэдр получается при продолжении грани додекаэдра, при этом каждая грань додекаэдра заменяется на правильный звезчатый пятиугольник. А французсский математик Пуансо в 1810 году построил все четыре звездчатых многогранника: малый звездчатый додекаэдр, большой звездчатый додекаэдр, известные Кеплеру, а так же большой додекаэдр и большой икосаэдр. Поэтому правильные звезчатые многогранники называют телами Кеплера- Пуансо. В 1812 французский математик О. Коши доказал, что кроме 5 «платоновых тел» и 4 «тел Пуансо» больше нет правильных многогранников. Как же построить модели многогранников?

Бумага – отличный материал для создания интересных и необычных конструкций. И существуют различные способы конструирования. Савмый распространенный способ - склейка. Для того чтобы сделать многогранник из бумаги этим способом вам понадобятся

• удобный стол с ровной поверхностью;

• хорошее освещение;

• качественный клей (лучше ПВА) и кисточка для клея;

• шариковая ручка;

• длинная линейка;

• бумага (лучше альбомная или любая плотная).

Рассмотрим все этапы работы над моделью куба (гегсаэдра).

Как известно, куб состоит из шести квадратов, составляющих его грани. Вот простая инструкция для конструирования любой модели многогранника

Любые поделки из бумаги, в том числе и геометрические фигуры, делают из заранее продуманной и начерченной на бумаге комбинации граней многогранника - развертки.

• Приступая к рисованию модели развертки, не забывайте про специальные боковые ярлыки, которые нужно оставлять для того, чтобы многогранники из бумаги было удобно склеивать

• Сплошными линиями отметьте участки, которые нужно вырезать, а пунктирными – изгибы фигур.

• Готовую развертку можно вырезать, только по сплошным линиям, не упуская из виду ярлыки. Сторона бумаги с нанесенными предварительно линиями будет внутренней стороной многогранника. Внешние же грани можно раскрасить по своему усмотрению яркими красками, цветными карандашами или фломастерами.

• Вырезав развертку, шариковой ручкой по линейке проведите по всем сгибам будущего куба. Этот метод ( метод жилкования) поможет вам легко согнуть бумагу по нужным линиям.

• Согнув бумажную фигуру по всем отмеченным линиям, с помощью кисточки нанесите на боковые ярлычки клей.

• Совершив основные действия, дайте получившему кубу высохнуть. Только после этого можно приступать к завершающему этапу – раскраске модели.

Вот пример развертки куба после вырезания и жилкования сгибов.

Некоторые модели многогранников можно получить, используя способ оригами. Так нам удалось освоить схемы построения тетраэдра, куба, малого икосаэдра. На сегодняшний день в нашей коллекции 7 тел: малый звездчатый додекаэдр, большой звездчатый додекаэдр, додекаэдр, куб, прямоугольный параллелепипед, икосаэдр., тетраэдр, октаэдр. На следующий год мы планируем продолжить пополнение коллекции.

Используемые источники информации

1. Правильный многогранник

https://ru.wikipedia.org/wiki/Правильный_многогранник

1. Многогранники. Виды многогранников. Кара В.

http://fb.ru/article/297027/mnogogranniki-vidyi-mnogogrannikov-i-ih-svoystva

1. Сайт Многогранники http://mnogogranniki.ru

2. http://zvzd3d.ru

3. https://ru.wikipedia.org/wiki/Развёртка_многогранника