"Объем пирамиды"

Объем

пирамиды

Во сколько раз увеличится объем правильного тетраэдра, если все его ребра увеличить в два раза?

1

1

V = S o H

3

sin

a

ab

S

=

2

Найдем отношение объемов

h

2 h

a

2 a

8

В 11

х

3

х

1

0

Основанием пирамиды является прямоугольник со сторонами 3 и 4. Ее объем равен 16. Найдите высоту этой пирамиды.

16

12

1

V = S o H

3

Н

3

4

4

В 11

х

3

х

1

0

Найдите объем правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 1, а высота равна .

1

1

60 0

1

1

V = S o H

ab

a

S

sin

=

3

2

1

1

0

2

,

5

В 11

х

3

х

1

0

Найдите высоту правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 2, а объем равен .

2

2

60 0

1

S

sin

a

ab

=

2

.

3

3

?

1

V = S o H

3

2

2

3

В 11

х

3

х

1

0

Во сколько раз увеличится объем пирамиды, если ее высоту увеличить в четыре раза?

1

V = S o H

3

Найдем отношение

объемов

4 h

h

F

E

A

D

B

C

4

В 11

х

3

х

1

0

Объем правильной шестиугольной пирамиды 6.

Сторона основания равна 1. Найдите боковое ребро.

S

1

1

60 0

1

.

1

1

ab

a

S

sin

=

2

60 0

1

?

E

F

A

D

О

1

1

C

B

1

Для правильного 6-уг. сторона равна радиусу описанной окружности.

Можно вычислить площадь правильного шестиугольника, разбив его на 6 треугольников.

3

3

6

?

2

Из АОS по теореме Пифагора

найди ребро AS.

7

В 11

х

3

х

1

0

В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 6, боковое ребро равно 10. Найдите ее объем.

1

V = S o H

3

.

2

a

6

S

кв.

=

10

Н

10

2

0

0

В 11

х

3

х

1

0

Основанием пирамиды служит прямоугольник, одна боковая грань перпендикулярна плоскости основания, а три другие боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 60 0 . Высота пирамиды равна 6. Найдите объем пирамиды.

6

?

1

S

V = S o H

3

.

Из SHG:

.

6

Из SHA:

D

C

6

60 0

S

ab

пр.

=

G

12

Н

3

60 0

3

A

B

4

8

В 11

х

3

х

1

0

катет

катет

Боковые ребра треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны, каждое из них равно 3. Найдите объем пирамиды.

A

S

высота

3

3

3

3

3

C

С

S

A

3

B

В

3

3

1

1

S

ab

V = S o H

=

Задача очень простая, если догадаться опрокинуть пирамиду на удобную грань, например, SCB.

3

Основание – прямоугольный треугольник SCB, высота AS.

2

4

5

,

В 11

х

3

х

1

0

2

3

2

3

Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 4,

а угол между боковой гранью и основанием равен 45 0 .

Найдите объем пирамиды.

4

4

60 0

?

?

1

1

К

S

4

4

a

sin

S

ab

=

V = S o H

2

3

2

.

О

60 0

4

С

.

Найдем ОК по теореме Пифагора

3

2

E

F

D

45 0

О

A

Можно вычислить площадь правильного шестиугольника, разбив его на 6 треугольников.

4

К

C

B

4

4

8

В11

х

3

х

1

0

=

Объем параллелепипеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 равен 12.

Найдите объем треугольной пирамиды B 1 ABC.

2 S ABC

V приз. = S o H

1

V пир. = S o H

3

D 1

Найдем отношение объемов

C 1

h

A 1

B 1

12

D

h

C

A

B

2

В 11

х

3

х

1

0

=

Объем параллелепипеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 равен 4,5. Найдите объем треугольной пирамиды AD 1 CB 1 .

2 S ABC

Пирамида AD 1 CB 1  получается, если мы отрежем от параллелепипеда четыре пирамиды по углам — ABCB 1 , D 1 B 1 CC 1 , AA 1 D 1 B 1 и ADCD 1 . А объем каждой из них легко посчитать — мы делали это в предыдущей задаче. Например, найдем объем пирамиды ABCB 1 .

V пар. = S o H

1

V пир. = S o H

3

4,5

D 1

Найдем отношение объемов

C 1

A 1

B 1

Четыре пирамиды по углам — ABCB 1 , D 1 B 1 CC 1 , AA 1 D 1 B 1 и ADCD 1

h

http://www.ege-study.ru/ege-advices/b9-2.html

D

C

Объем пирамиды АD 1 CB 1

A

B

1

5

,

В 11

х

3

х

1

0

13

Объем куба равен 12. Найдите объем четырехугольной пирамиды, основанием которой является грань куба, а вершиной — центр куба.

Найдем отношение объемов

1

V пир. = S o H

3

D 1

C 1

A 1

12

h

B 1

1

h

D

2

C

A

B

2

В 11

х

3

х

1

0

От треугольной призмы, объем которой равен 150, отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через сторону одного основания и противоположную вершину другого основания.

Найдите объем оставшейся части.

V приз. = S o H

1

V пир. = S o H

3

Найдем отношение объемов

h

150

5

0

В 11

х

3

х

1

0

Объем треугольной пирамиды SABC , являющейся частью правильной шестиугольной пирамиды SABCDEF , равен 8. Найдите объем шестиугольной пирамиды.

У треугольной и шестиугольной пирамид, о которых говорится в условии, одинаковые высоты. Убедимся в этом, изменим расположение букв…

Одинаковая высота, но площадь оснований различна.

1

V пир. = S o H

3

S

Найдем отношение объемов

V 1

8

D

C

E

D

Поработаем с выносным чертежом. Видим, что площадь основания треугольной пирамиды в 6 раз меньше, чем у шестиугольной.

F

E

B

C

V 2

A

A

B

F

4

8

В 11

х

3

х

1

0

=

Объем правильной четырехугольной пирамиды SABCD равен 12. Точка E  — середина ребра SB . Найдите объем треугольной пирамиды EABC .

Точка E – середина ребра SB, значит, точка N – середина SO (по т. Фалеса).

Высота пирамиды EABC равна половине высоты пирамиды SABCD.

2 S ABC

1

V пир. = S o H

3

S

Найдем отношение объемов

N

E

1

h

12

2

D

C

O

A

3

В 11

B

х

3

х

1

0

От треугольной пирамиды, объем которой равен 12, отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через

вершину пирамиды и среднюю линию основания.

Найдите объем отсеченной треугольной пирамиды.

1

a

ab

sin

S

=

2

У треугольной пирамиды и отсеченной пирамиды, о которых говорится в условии, одинаковые высоты. Убедимся в этом, изменим расположение букв… Одинаковая высота, но площадь оснований различна.

Работать можно с любым из этих чертежей.

1

V пир. = S o H

3

S

S

Найдем отношение объемов

V 2

М

12

С

B

В

A

V 1

N

3

N

b

a

М

В 11

х

3

х

1

0

А

C

Объем треугольной пирамиды равен 15. Плоскость проходит

через сторону основания этой пирамиды и пересекает противоположное боковое ребро в точке, делящей его в отношении 1 : 2, считая от вершины пирамиды. Найдите больший из объемов пирамид, на которые плоскость разбивает исходную пирамиду.

1 часть

2 части

Надо сравнить объемы пирамид NABC и NSAC. Найдем объем пирамиды NABC. Затем из V SABC (это 15) вычтем V NABC, , найдем V NSAC .

Найдем объем пирамиды NABC. Сравним его с объемом всей пирамиды SABC, составив отношение.

Основания у них одинаковые – треугольник АВС.

А высоты разные, сравним их.

S

По т. Фалеса FP:SP = 2:3.

Тогда, если SP=h, то FP= h, NO= h

N

15

2

2

F

3

3

Очевидно, что отрезок SP параллелен отрезку NO, поскольку два перпендикуляра к одной плоскости параллельны друг другу. Через две параллельные прямые можно провести плоскость, причем только одну. Точки S, P, N, O и B лежат в одной плоскости.

2

h

3

B

A

O

P

1

0

В 11

х

3

х

1

0

C

19