Обобщающий урок по геометрии "Площади плоских фигур"

Обобщающий урок геометрии на тему «Площади плоских фигур»

Презентацию выполнила

Лагачева М.А.

Цели и задачи урока

Предметные цели урока:

• - помочь учащимся целостно и более подробно рассмотреть тему про площади плоских фигур
• - решение геометрических задач
• - закрепление пройденного материала

Метапредметные цели урока:

• использование навыков приобретенных ранее для изучения данной темы

Результаты урока:

Повторение свойств площадей через доказательства теорем. Формирование у учащихся более точноо представления о фигурах. Более подробное рассмотрение элементов фигур в планиметрии.

Повторение понятия площади.

• Геометрическая фигура называется простой, если её можно разбить на конечное число плоских треугольников.
• Примером простой фигуры является выпуклый плоский многоугольник .
• Площадь простой фигуры - это положительная величина, численное значение которой обладает следующими свойствами:
• 1. Равные фигуры имеют равные площади.
• 2. Если фигура разбивается на части, являющиеся простыми фигурами, то площадь этой фигуры равна сумме площадей ее частей.
• 3. Площадь квадрата со стороной равной единице измерения, равна единице

Площадь прямоугольника

Теорема :

Площадь прямоугольника равна произведению его измерений .

Доказательство:

1.Пусть измерения прямоугольника – натуральные числа n и m . Разобьем прямоугольник на идентичные квадраты. На прямоугольнике уложится nm единичных квадратов. По второму свойству площадей прямоугольника будет равна nm квадратных единиц.

2. Пусть измерения прямоугольника – рациональные числа a и b. Приведем дроби a и b к общему знаменателю. Пусть а = m/q и b = n/q Разобьем прямоугольник на такие единичные квадраты, что длина каждого будет равна 1/q части единицы длины. Прямоугольник будет содержать nm таких квадратов. Т.к площадь квадрата со стороной 1/ q равна 1 / q² части прежнего единичного квадрата, то площадь S

S = mn· 1/q² = m/q · n/q = a ·b

Пример 1:

Найти площадь квадрата по его диагонали, равной 4м.

Решение:

Обозначим сторону квадрата через х. По теореме Пифагора :

х² + х² = 4², или 2х² = 16,

Откуда х² = 8, т.е площадь квадрата равна 8м².

Пример 2 :

Сравнить площади прямоугольника со сторонами 48см и 27см с площадью квадрата со стороной 36см.

Решение:

Искомые площади прямоугольника и квадрата соответственно равны: 48 · 27 = 1296 (см²) и 36² = 1296 (см²) , т.е площади этих фигур одинаковы .

Площадь параллелограмма

Теорема :

Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту .

Доказательство:

Опустим перпендикуляры AE и BF из вершин А и В параллелограмма ABCD на прямую CD. Тогда площадь трапеции ABCЕ с одной стороны равна сумме площадей параллелограмма ABCD и треугольника ADЕ, а с другой сумме площадей прямоугольника АBFЕ и треугольника ВСF. Но т.к эти треугольники равны, то и S параллелограмма ABCD равна площади прямоугольника АBFЕ , т.е

S = AВ · BF или S = DС · BF

А

В

Е

D

С

F

Пример 1:

Основание параллелограмма 35см, а боковая сторона – 20см. Найти площадь параллелограмма, если боковая сторона образует с высотой, угол в 60˚.

Решение:

∕ ВСF = 90 ˚ - 60 ˚=30 ˚, и значит катет ВF =

½ ВС = 20 ∙ ½ = 10см,

следовательно искомая площадь S = 35 ∙ 10 = 350 (см²) .

Пример 2:

Дан параллелограмм ABCD, со стороной АВ= 12см, диагональ АС = 16см. Вершина D удалена от диагонали АС на 4см. Вычислить расстояние от точки D до прямой.

Решение:

S аbcd = 2S adc = AC ∙ DM = 64 (см²), а т.к. S аbcd = АВ ∙ DК, то DК = 64/12 = 5, 33 см.

A B

E D F C

D C

M

A K B

Площадь треугольника и ромба

Теорема :

Площадь треугольника равна половине произведения его стороны на высоту, проведенную к этой стороне .

Доказательство:

Треугольник АВС дополним до параллелограмма ABCD, площадь которого равна АВ · h. Но площадь S треугольника АВС составляет половину площади параллелограмма ABCD( т.к треугольники АВС и CDА равны); следовательно :

S = ½ АВ · h.

Следствие 1. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов( один катет можно взять за основание, а другой за высоту)

Следствие 2. Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей. D C

h

B

A

Пример 1:

Найти площадь равнобедренного треугольника, если его гипотенуза равна 8см.

Решение:

Обозначим один из катетов через х, согласно теореме Пифагора будем иметь: х² + х² = 64, или х² = 32, откуда х²/2 =16, искомая площадь 16(см²)

Пример 2:

Вычислить площадь ромба, диагонали которого равны 6см и 3,5см.

Решение:

Согласно следствию 2 искомая площадь равна:

S = 6 ∙ 3,5 : 2 = 10,5 (см²).

Пример 3:

Вычислить площадь ромба, если его высота 10м, а острый угол 30˚.

Решение:

Пусть ABCD ромб, где ∕ ВАD = 30˚, ВЕ ⊥ АD и ВЕ = 10м.

Из прямоугольного АВЕ найдем АВ: ВЕ = ½ АВ ( как катет, лежащий против угла в 30˚), и значит, АВ = 2ВЕ = 2 ∙ 10 = 20 (м). Т.к. АВ = АD , то площадь ромба

S = ВЕ ∙ АD = 200 ( м²)

В С

30˚

А Е D

Площадь трапеции

Теорема :

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту .

Доказательство:

Проведя в трапеции ABCD диагональ DВ, можно рассматривать ее площадь S как сумму площадей двух треугольников BCD и ADВ. Поэтому :

S = ½ DС · h + ½ АВ · h = ½ (DС + АВ) · h,

где h – высота трапеции.

А В

h

D C

Пример 1:

Стекла фонаря имеют вид трапеции, параллельные стороны которой равны 22см и 18см,расстояние между ними - 10см. Как велика площадь каждого стекла?

Решение:

Согласно доказанной теореме искомая площадь

S = ½ ( 22+18) ∙ 10 = 20 ∙ 10 = 200 (см²) .

Пример 2 :

Стекла фонаря имеют вид трапеции, параллельные стороны которой равны 22см и 18см,расстояние между ними - 10см. Как велика площадь каждого стекла?

Решение:

Пусть ABCD трапеция, тогда АD = 44, ВС = 16. Следовательно, АЕ + КD = 28 ( ВЕ и СК – высоты). Обозначим АЕ через х, тогда КD = 28 – х. По условию АВ = 17, СD = 25.

Значит, из прямоугольного АВЕ : ВЕ ² = 17² - х².

Из прямоугольного СКD, согласно теореме Пифагора получается: СК² = 25² - (28-х)². Т.к. ВЕ = СК, то

17² - х² = 25² - (28-х)², откуда х = 8. Тогда

ВЕ = √17² - х² = 15 (м).

Площадь трапеции : S = 16 + 44 / 2 ∙ 15 = 450 (м²) .

В С

А Е К D

Площадь правильного многоугольника

Теорема :

Площадь правильного многоугольника равна половине произведения его периметра на радиус вписанной окружности :

S = ½ P ∙ r,

где Р – периметр многоугольника, а r – радиус вписанной в него окружности.

Пример :

Вычислить площадь правильного шестиугольника, периметр которого равен 30 дм.

Решение: Т.к. периметр данного шестиугольника равен 30 дм, то его сторона равна 6дм, отсюда r = 5√3 /2 , и значит согласно основной формуле искомая площадь равна:

S = ½ ∙ 30 ∙ 5√3 /2 = 75√3 /2 = 65 (дм²)