Обратная матрица

Обратная матрица. Матричные уравнения.

1) Мотивация изучения обратной матрицы и матричных уравнений (ознакомиться).

Изучение понятия обратной матрицы расширит наши знания, умения и навыки по решению задач с матрицами и определителями, позволит изучить и в дальнейшем использовать матричный метод для решения матричных уравнений и систем линейных алгебраических уравнений.

2) Актуализация необходимых для изучения обратной матрицы опорных знаний (записать в конспект).

Вспомним правила вычисления определителей 1-го и 2-го порядка:

− Если определитель 1-го порядка, то он равен своему элементу.

− Если определитель 2-го порядка, то он равен разности произведения элементов главной диагонали и побочной:

= - = действительное число.

Закрепим эти правила на примерах.

Пример 1. Вычислите определители:

∆ = = - 9.

∆ = = 5.

∆ = = -7∙1-6∙4 = -7 – 24 = -31 (умножаем элементы, расположенные по главной диагонали, а затем вычитаем произведение элементов на побочной диагонали).

∆ = = 5∙9 - 3∙(-2) = 45 + 6.

∆ = = решите самостоятельно.

∆ = = решите самостоятельно.

∆ = = решите самостоятельно.

∆ = = решите самостоятельно.

Вспомним правило умножения матрицы на число и правило умножения двух матриц:

− Произведением матрицы А на число α называется матрица, элементы которой получаются из соответствующих элементов матрицы А умножением на число α.

− Произведение А · В матрицы А на матрицу В определяется только при условии, что количество столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В. Пусть данные матрица А размера mxn и матрица В размера nxp.

Произведением А∙В матриц А и В, записанных в выдающейся последовательности, называется матрица С, элементы которой определяются по следующим соотношением: .

Закрепим эти правила на примерах.

Пример 2. Вычислите 5А, А ∙ В, если А = , В = .

5А = 5 = (чтобы умножить на число, необходимо каждый элемент умножить на это число) =

= .

А∙В = ∙ = (берём элементы 1-ой строки 1-ой матрицы и умножаем на соответствующие элементы 1-го и 2--го столбцой 2-ой матрицы, а затем берём 2-ю строку 1-ой матрицы и умножаем на соответствующие элементы 1-го и 2--го столбцой 2-ой матрицы) = = = = .

3) Изучение нового материала. Алгебраическое дополнение (изучить и записать):

Определение. Алгебраическим дополнением какого-либо элемента определителя n-го порядка называется определитель (n-1)-го порядка, взятый с тем же знаком, если сумма цифр номера – число чётное и с противоположным – если нечётное. Обозначается .

Пример 3.

Возьмём определитель 2-го порядка ∆ = и найдём алгебраические дополнения для некоторых элементов:

= (сразу ставим минус, так как 1+2=3 - число нечётное, вычёркиваем 1-ю строку и 2-ой столбец, так как номер элемента 12, записываем, что остается) = - (-2) = 2.

= 1 (знак не меняется, вычёркиваем 1-ю строку и 1-й столбец, что осталось – записали).

= найти самостоятельно.

Пример 4.

Возьмём определитель 3-го порядка ∆ = . Найдём:

= ( знак не меняется, так как 3+1=4, вычёркиваем 3-ю строку и 1-й столбец) = = 5∙1 – (-7)∙(-1) = 5 – 7 = -2.

= (знак меняется, так как 2+3=5, вычёркиваем 2-ю строку и 3-й столбец) = - = - (15 – 10) = - 5.

= найти самостоятельно.

= найти самостоятельно.

4) Изучение нового материала. Обратная матрица (изучить и записать в конспект).

Определение. Квадратная матрица n-го порядка называется невырожденной (неособенной), если соответствующий ей определитель отличен от нудя. В противном случае – матрица вырожденная (особенная).

Определитель. Для невырожденной матрицы существует обратная , такая, что А = = Е (единичная матрица).

5) Изучение нового материала. Метод присоединённой матрицы (изучить и записать в конспект).

Для нахождения матрицы, обратной к данной, можно применять метод присоединённой матрицы и формулу:

= ∙ ,

где ∆ - определитель матрицы,

(тильда А) – присоединённая матрица, составленная из алгебраических дополнений элементов матрицы А.

Алгоритм нахождения матрицы, обратной к матрице А.

1 ) Найти ∆ для матрицы А. Если ∆ = 0, то обратной матрицы не существует, если ∆ = 0, то

2) Найти для всех элементов матрицы А

3) Составить присоединенную матрицу

4) Транспонировать присоединённую матрицу

5) Найти обратную матрицу по формуле = ∙

Пример 5. Найти матрицу, обратную к матрице А = .

1 ) ∆ = = 3∙1 - 4∙(-2) = 3 + 8 = 11 = 0

2) = 1 = -4

= -(-2) = 2 = 3

3) =

4) =

5) = ∙ = ∙ = . Если внутри полученной матрицы сократимые дроби, то их нужно сократить.

Пример 6. Найти матрицу, обратную к матрице А = . Решите самостоятельно.

6) Изучение нового материала. Матричные уравнения (изучить и записать в конспект).

Рассмотрим понятие матричного уравнения и получим формулы для решения простейших матричных уравнений.

Определение. Уравнение, содержащее неизвестную матрицу называется матричным. Чаще всего неизвестная матрица обозначается Х.

Простейшими матричными уравнениями считаются уравнения вида:

А ∙ Х = В или Х ∙ А = В.

Для того, чтобы найти неизвестную матрицу Х необходимо умножить левую и правую часть уравнения на обратную матрицу с той стороны, где открыт доступ к матрице А (ведь делить матрицы нельзя!):

∙ А ∙ Х = ∙ В или Х ∙ А ∙ = В ∙ .

По определению обратной матрицы ∙ А = А ∙ = Е – единичная матрица, т.е. 1. Мы знаем, что при умножении какого-либо элемента на единицу этот элемент не меняется. Получаем формулы для решения простейших матричных уравнений:

Х = ∙ В или Х = В ∙ .

Мы получили формулы для решения простейших матричных уравнений. Для применения этих формул необходимо найти обратную матрицу (5 шагов) и умножить две матрицы в соответствии с формулой. Имеем алгоритм решения простейшего матричного уравнения:

1 . Найти ∆ для матрицы А. Если ∆ = 0, то обратной матрицы не существует, если ∆ = 0, то

2. Найти для всех элементов матрицы А

3. Составить присоединенную матрицу

4. Транспонировать присоединённую матрицу

5. Найти обратную матрицу по формуле = ∙ .

6. Находим неизвестную матрицу Х по одной из формул Х = ∙ В или Х = В ∙ в соответствии с видом уравнения.

Пример 7. Решить матричное уравнение Х ∙ = .

Решение.

Выбираем формулу решения в соответствии с видом уравнения: Х = В ∙

Обозначим матрицы: А = , В = .

Выполним алгоритм пошагово:

1) ∆ = = 2∙1 – (-1)∙0 = 2 ≠ 0

2) = 1 = -(-1) = 1

= - 0 = 0 = 2

3) =

4) = =

5) = ∙ = = ∙ (умножать не нужно)

6) Берём выбранную формулу Х = В ∙ и применяем её:

Х = . ∙ = (перенесём числовой множитель вперёд) = ∙ = ∙ = (из первой матрицы для умножения берём строки, а из второй – столбцы) = ∙ = (а теперь умножим матрицу на число) = = = .

7) Домашнее задание. Изучить и записать конспект лекции, решить задания по образцу, найти матрицу, обратную к данной А = , решить матричное уравнение Х ∙ = .