Олимпиада в 8 классе

Школьная олимпиада

8 класс

1. Квадрат числа состоит из цифр 0,2,3,5. Найти его. (2 балла)

2.Найти натуральное число А, если из трех следующих утверждений два верны, а одно - неверно:

а) А+51 есть точный квадрат;

б) последняя цифра числа А есть единица;

в) А-38 есть точный квадрат. (6 баллов)

3. В магазин привезли 25 ящиков с яблоками трех сортов, причем в каждом ящике лежали яблоки одного сорта. Можно ли найти 9 ящиков с яблоками одного сорта? (3 балла)

4. Дан угол и точка М внутри него. Провести прямую через эту точку так, чтобы ее отрезок между сторонами угла делился данной точкой пополам. (8 баллов)

5. Автомобиль ехал из пункта А в пункт В со средней скоростью 50 км/ч, а обратно возвращался со скоростью 30 км/ч. Какова его средняя скорость? (4 балла)

Ответы:

1. 3025=55²

2. Как сказано в условии задачи, одно из этих утверждений является ложным. В первую очередь, на себя обращает внимание условие б). Если последняя цифра равна 1, то условие а) неверно, так как нет точных квадратов, оканчивающихся на 2. Условие в) тоже не может быть верным, так как в этом случае последняя цифра равна 3 и таких точных квадратов нет. Следовательно, если условие б) верно, то условия а) и в) являются неверными, что не подходит по условию задачи (должно быть два верных и одно неверное утверждение из этих трех). Следовательно, условие б) должно быть ложным, а условия а) и в) - истинными.

Теперь осталось разобраться с квадратами. В условиях а) и в) сказано, что А+51 и А-38 являются полными квадратами. Эти квадраты не обязательно могут быть соседними. Можно легко показать, что если два числа отличаются на число К, то разность их квадратов делится на это число К тоже. В нашем случае разность квадратов равна 89 и это число простое. Следовательно, эти числа могут отличаться только на 1 или 89. Последний вариант, очевидно, не подходит, а проверка первого варианта приводит к ответу А=1974.

3. Можно. Решается методом от противного.

4. Сделать точку М центром параллелограмма.

5. 37,5 км/ч.