Олимпиада в 9 классе

Школьная олимпиада

9 класс

1.Из "Арифметики" Магницкого: "Один человек выпьет кадь пития в 14 дней, а со женою выпьет ту же кадь в 10 дней, и ведательно есть, в колико дней жена его особо выпьет ту же кадь". (1 балл)

2. Запись числа А состоит из 1984 цифры, и оно делится на 9. В - сумма цифр числа А, а С - сумма цифр числа В. Найдите число С. (2 балла)

3. Чему равна сумма первых n нечетных чисел? (3 балла)

4. Известно, что число а больше числа b в n раз, а сумма чисел а и b больше их разности в m раз. Найдите сумму чисел m и n, если m N и

nN. (4 балла)

5. В прямоугольный треугольник вписана окружность. точка касания этой окружности делит гипотенузу на отрезки, имеющие длину p и q. Найдите площадь треугольника. (5 баллов).

Ответы:

1. За 35 дней.

2. В9∙1984=17856, т.е. В - не более чем пятизначное число.

Поэтому С9∙5=45 и делится на 9 ( так как на 9 делятся А и В).

Возможные значения С - 9, 18, 27, 36 и 45.

3. n².

4.

а=nb,

а+b=m(а-b)

а=nb,

b=ma-b(m+n)

n(m-1)=m+1

Ясно, что либо m=2, n=3, либо m=3, n =2, то есть m+n=5.

5. pq.