Олимпиадные задания по математике

Лицейская олимпиада по математике среди 5-7-х классов.

5 класс

1. 2 карандаша, 3 тетради и 4 ручки стоят вместе 112 рублей, а 2 ка­рандаша и 1 тетрадь  32 рубля. Сколько стоит комплект из одного карандаша, одной ручки и одной тетради?

2. Квадрат назовём квадро-магическим, если в любом квадрате 22 сумма чисел одна и та же. Приведите пример квадро-магического квадрата 33 с числами 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

3. Сегодняшнюю дату (30 октября 2010 года) можно записать в виде 30.10.10. Для какой ближайшей в будущем даты запись указанного вида состоит из шести различных цифр?

4. На чемпионате мира по футболу из группового этапа в следующий (кубковый) этап выходят по 2 лучшие команды из 8 групп. Какое количество матчей будет сыграно в кубковом этапе (с учётом матча за 3-е место)?

5. Круглая мишень разбита на 20 секторов, которые нумеруются по кругу в некотором порядке числами 1, 2, …, 20 . Какое наибольшее значение может принимать наименьшая из разностей между номерами соседних (по кругу) секторов? Приведите пример расстановки чисел и докажите максимальность возможного значения наименьшей из разностей.

Решения

1. 2 карандаша, 3 тетради и 4 ручки стоят вместе 112 рублей, а 2 ка­рандаша и 1 тетрадь  32 рубля. Сколько стоит комплект из одного карандаша, одной ручки и одной тетради?

Ответ: 36 рублей. Решение: Из условия следует, что 2 тетради и 4 ручки стоят вместе 11232=80 рублей, значит, 1 тетрадь и 2 ручки стоят 80:2=40 рублей. Т.о. 2 карандаша, 2 тетради и 2 ручки стоят 32+40=72 рубля, значит, 1 комплект из карандаша, тетради и ручки стоит 72:2=36 рублей.

Ответ: пример нужного квадро-магического квадрата 33 см. в таблице справа.

3. Сегодняшнюю дату (30 октября 2010 года) можно записать в виде 30.10.10. Для какой ближайшей в будущем даты запись указанного вида состоит из шести различных цифр?

Ответ: 25.04.13 – 25 апреля 2013 года.

4. На чемпионате мира по футболу из группового этапа в следующий (кубковый) этап выходят по 2 лучшие команды из 8 групп. Какое количество матчей будет сыграно в кубковом этапе (с учётом матча за 3-е место)?

Ответ: 16 матчей. Решение: В каждом матче ровно 1 команда проигрывает и вылетает из турнира, что даёт 15 матчей. И ещё 1 матч за 3-е место.

5. Круглая мишень разбита на 20 секторов, которые нумеруются по кругу в некотором порядке числами 1, 2, …, 20 . Какое наибольшее значение может принимать наименьшая из разностей между номерами соседних (по кругу) секторов? Приведите пример расстановки чисел и докажите максимальность возможного значения наименьшей из разностей.

Ответ: 9, например, если секторы занумерованы в следующем порядке: 1, 11, 2, 12, 3, 13, 4, 14, 5, 15, 6, 16, 7, 17, 8, 18, 9, 19, 10, 20. Доказательство оценки: Эта величина не может быть больше 9, так как в противном случае при любой нумерации рядом (и слева, и справа) с сектором номер 10 может находиться только сектор с номером 20, что невозможно.

6 класс

1. На какое наибольшее число натуральных слагаемых с различным количеством цифр можно разложить число 2010? Приведите ответ и пример.

2. Электронные часы показывают время от 00.00.00 до 23.59.59. Сколько времени в течение суток на табло часов горят ровно три цифры 7?

3. Даны пятьдесят различных натуральных чисел, двадцать пять из которых не превосходят 50, а остальные  больше 50, но не превосходят 100. При этом никакие два из них не отличаются ровно на 50. Найдите сумму этих чисел.

4. Клетки квадратной доски 99 раскрашены в белый и чёрный цвета. У каждой белой клетки, не лежащей на стороне квадрата, среди восьми её соседей ровно пять окрашено в чёрный цвет, а у каждой чёрной, не лежащей на стороне квадрата,  ровно четыре белых соседних клетки. Сколько всего белых клеток на этой доске?

5. На съезде присутствовали 6 человек, каждый из которых был либо рыцарем, который всегда говорит только правду, либо лжецом, который всегда лжёт. У каждого делегата есть знакомые с ним. Первый произнес: «Среди моих знакомых ровно 5 рыцарей», второй: «Среди моих знакомых – ровно 4 рыцаря», и так до последнего, который сказал, что среди его знакомых рыцарей нет. Сколько рыцарей (и кто именно) могло присутствовать на съезде?

Решения

1. На какое наибольшее число натуральных слагаемых с различным количеством цифр можно разложить число 2010? Приведите ответ и пример.

Ответ: 4, например, 2010=1800+199+10+1.

2. Электронные часы показывают время от 00.00.00 до 23.59.59. Сколько времени в течение суток на табло часов горят ровно три цифры 7?

Ответ: 72 секунды. Решение: Три семёрки могут гореть только в комбинации x7.y7.z7. А таких комбинаций в течение суток 266=72.

3. Даны пятьдесят различных натуральных чисел, двадцать пять из которых не превосходят 50, а остальные  больше 50, но не превосходят 100. При этом никакие два из них не отличаются ровно на 50. Найдите сумму этих чисел.

Ответ: 2525. Решение: Вычтем 50 из каждого числа, которое больше 50. По условию ни одна из разностей не равна ни одному из 25 чисел, которые не превосходят 50. Поэтому вместе с ними разности дают 50 различных натуральных чисел, которые не превосходят 50, то есть это все числа от 1 до 50. Их сумма равна 51·25 , а сумма всех исходных чисел равна, стало быть, 51·25+50·25=101·25=2525.

4. Клетки квадратной доски 99 раскрашены в белый и чёрный цвета. У каждой белой клетки, не лежащей на стороне квадрата, среди восьми её соседей ровно пять окрашено в чёрный цвет, а у каждой чёрной клетки, не лежащей на стороне квадрата,  ровно четыре белых соседних клетки. Сколько всего белых клеток на этой доске?

Ответ: 43²=36. Решение: Разобьём доску на квадраты 33 и заметим, что какая бы клетка ни стояла в центре такого квадрата, в нём будет 4 белых клетки и 5 чёрных.

5. На съезде присутствовали 6 человек, каждый из которых был либо рыцарем, который всегда говорит только правду, либо лжецом, который всегда лжёт. У каждого делегата есть знакомые с ним. Первый произнес: «Среди моих знакомых ровно 5 рыцарей», второй: «Среди моих знакомых – ровно 4 рыцаря», и так до последнего, который сказал, что среди его знакомых рыцарей нет. Сколько рыцарей (и кто именно) могло присутствовать на съезде?

Ответ: Один рыцарь – последний. Решение: Если бы первый сказал правду, то все шестеро были бы рыцарями и знакомы с первым, но тогда последний сказал ложь, значит, первый – лжец. Аналогично рассуждая по возрастанию номеров, получим, что лжецами являются все включительно до пятого делегата. Тогда утверждение последнего автоматически становится верным, значит, он – единственный рыцарь.

7 класс

1. Найдите какие-нибудь четыре попарно различных натуральных числа a, b, c, d, для которых числа a²+2cd+b² и c²+2ab+d² являются полными квадратами, т.е. квадратами целых чисел.

2. Можно ли отметить на окружности 12 точек так, что найдутся правильные трёх-, четырёх, пяти- и шестиугольник с вершинами в этих точках? У правильного многоугольника равны между собой все углы и равны между собой все стороны.

3. Найдите сумму всех цифр всех натуральных чисел от единицы до миллиарда.

4. Приведите пример набора из 4 натуральных чисел таких, что каждое не делится ни на одно из остальных, а квадрат каждого делится на каждое из остальных.

5. Электрик был вызван для ремонта гирлянды из четырёх соединённых последовательно лампочек, одна из которых перегорела. На вывинчивание любой лампочки из гирлянды уходит 10 секунд, на завинчивание  10 секунд. Время, которое тратится на другие действия, мало. За какое наименьшее время электрик заведомо может найти перегоревшую лампочку, если у него есть одна запасная исправная лампочка? Приведите пример действий электрика и докажите минимальность потраченного времени.

Решения

1. Найдите какие-нибудь четыре попарно различных натуральных числа a, b, c, d, для которых числа a²+2cd+b² и c²+2ab+d² являются полными квадратами, т.е. квадратами целых чисел.

Ответ: например, a=1, b=6, c=2, d=3. Решение: Предположим, что ab=cd. Тогда a²+2cd+b²=a²+2ab+b²=(a+b)², c²+2ab+d²=c²+2cd+d²=(c+d)². Таким образом, достаточно найти четыре различных натуральных числа a, b, c и d, для которых ab=cd. Для этого найдем число n, разлагающееся в произведение двух натуральных множителей различными способами. Например, таким числом является n=6; в этом случае можно взять a=1, b=6, c=2, d=3.

2. Можно ли отметить на окружности 12 точек так, что найдутся правильные трёх-, четырёх, пяти- и шестиугольник с вершинами в этих точках? У правильного многоугольника равны между собой все углы и равны между собой все стороны.

Ответ: можно, пример см. на рис., где А₁А₃А₅, А₁В₁А₄В₂, А₁С₁С₂С₃С₄, А₁А₂А₃А₄А₅А₆ – соответствующие правильные многоугольники.

3. Найдите сумму всех цифр всех натуральных чисел от единицы до миллиарда.

Ответ: 40 500 000 001. Решение: Добавим к этим числам ноль и составим 500 миллионов пар: (0, 999 999 999), (1, 999 999 998) и т.д. В каждой паре сумма цифр равна 81, кроме того, есть ещё число 1 000 000 000; поэтому общая сумма цифр равна 500 000 000 × 81 + 1 = 40 500 000 001.

4. Приведите пример набора из 4 натуральных чисел таких, что каждое не делится ни на одно из остальных, а квадрат каждого делится на каждое из остальных.

Ответ: например, 2²357=420, 23²57=630, 235²7=1050, 2357²=1470.

5. Электрик был вызван для ремонта гирлянды из четырёх соединённых последовательно лампочек, одна из которых перегорела. На вывинчивание любой лампочки из гирлянды уходит 10 секунд, на завинчивание  10 секунд. Время, которое тратится на другие действия, мало. За какое наименьшее время электрик заведомо может найти перегоревшую лампочку, если у него есть одна запасная исправная лампочка? Приведите пример действий электрика и докажите минимальность потраченного времени.

Ответ: 60 секунд. Решение: Предположим, что мы не заменяли какие-то две лампочки. Тогда, если нам не повезло и одна из них  перегоревшая, то мы не сможем определить, какая именно. Значит, для того, чтобы заведомо определить перегоревшую лампочку, необходимо вывинтить хотя бы три из них (30 секунд) и завинтить на их место какие-то другие (ещё 30 секунд). Покажем, что 60 секунд всегда хватит. Вывинтим первую лампочку и завинтим на её место запасную (прошло 20 секунд). Если гирлянда загорелась, то нам повезло и хватило даже 20 секунд. Если же гирлянда не загорелась, значит, единственная неисправная лампочка ещё в гирлянде, а у нас в руках опять исправная. Теперь вывинтим вторую и завинтим на её место бывшую первую (в сумме прошло 40 секунд). Если нам опять не повезло, то вывинчиваем третью лампочку, а на её место завинчиваем бывшую вторую (в сумме прошло 60 секунд). Если гирлянда всё ещё не горит, то, значит, неисправна последняя лампочка.