Олимпиадные задания по математикедля 10 класса

Математика, 10 класс, школьный этап

Время выполнения – 4 часа

Каждая задача оценивается в 7 баллов.

1. Докажите, что любой квадратный трёхчлен можно представить как сумму двух трёхчленов, каждый из которых не имеет корней.

1. Найдите все такие тройки чисел (x, y, z), что сумма любого числа из тройки и произведения двух оставшихся чисел равна 2.

1. a, b, c – натуральные числа такие, что ab + 9b + 81 и bc + 9c + 81 делятся на 101. Докажите, что тогда и ca + 9a + 81 тоже делится на 101.

1. Квадрат со стороной 1 разрезан на 100 прямоугольников одинакового периметра p. Найдите максимальное возможное значение p.

1. Диагонали A₁A₄, A₂A₅, A₃A₆ выпуклого шестиугольника A₁A₂A₃A₄A₅A₆ пересекаются в точке K. Оказалось, что A₂A₁ = A₂A₃ = A₂K, A₄A₃ = A₄A₅ = A₄K, A₆A₅ = A₆A₁ = A₆K. Докажите, что шестиугольник – вписанный.