Опорный конспект для самостоятельного изучения по теме: Сложение и умножение вероятностей.

Учебник: Алгебра. 9 класс:/ Авторы: Ю.М. Колягин, М.В. Ткачева, Н.Е. Федорова,

М.И. Шабунин. Издательство: Москва, Просвещение, 2017 г.

Опорный конспект для самостоятельного изучения по теме: Сложение и умножение вероятностей.

Повторение Диктант.

№1. В мешке лежит 10 шаров: 3 синих, 3 белых и 4 красных.

1.Охарактеризуйте следующее событие: а) из мешка вынули 4 шара и они все синие; б) из мешка вынули 4 шара и они все красные.

2. Найдите вероятность того, что вынутый шар окажется белым?

№2.В коробке лежит 10 шаров: 3 синих, 3 белых и 4 красных.

1. Охарактеризуйте следующее событие: а) из мешка вынули 4 шара, и все они оказались разного цвета; б) из мешка вынули 4 шара, и среди них не оказалось шара черного цвета.

2. Найдите вероятность того, что вынутый шар окажется красным?

Изучение темы. ЗАДАЧА: Найти вероятность того, что в результате одного выбрасывания игральной кости выпадет шестерка или двойка.

Определение:

Суммой событий А и В( которые могут произойти в одном испытании) называется событие А + В, которое состоит в том, что происходит хотя бы одно из этих событий.

Сумму двух событий обозначают символом А+В, а сумму n событий символом А₁+А₂+ … +А_n. Теорема сложения вероятностей. Вероятность суммы двух несовместных событий А и В равна сумме вероятностей этих событий. Следствие 1. Если событие А₁, А₂, … ,А_n образуют полную систему, то сумма вероятностей этих событий равна единице. . Следствие 2. Сумма вероятностей противоположных событий и равна единице. .

Задача 1. Имеется 100 лотерейных билетов. Известно, что на 5 билетов попадает выигрыш по 20000 руб., на 10 - по 15000 руб, на 15 - по 10000 руб., на 25 - по 2000 руб. и на остальные ничего. Найти вероятность того, что на купленный билет будет получен выигрыш не менее 10000 руб.

Решение. Пусть А, В, и С- события, состоящие в том, что на купленный билет падает выигрыш, равный соответственно 20000, 15000 и 10000 руб. так как события А, В и С несовместны, то

.

Задача 2. На заочное отделение техникума поступают контрольные работы по математике из городов А, В и С. Вероятность поступления контрольной работы из города А равна 0,6, из города В - 0,1. Найти вероятность того, что очередная контрольная работа поступит из города С.

Решение. События «контрольная работа поступила из города А», «контрольная работа поступила из города В» и «контрольная работа поступила из города С» образуют полную систему, поэтому сумма их вероятностей равна единице:

, т.е. .

Задача 3. Вероятность того, что день будет ясным, . Найти вероятность того, что день будет облачным.

Решение. События «день ясный» и «день облачный» противоположные, поэтому

, т.е .

Умножения вероятностей независимых событий

Определение. Произведением событий А и В (которые могут произойти в одном испытании) называется событие АВ, состоящее в том, что оба события произошли одновременно.

Для независимых событий справедливо равенство:

Закрепление: Образец выполнения задачи.

Задача 1. Стрелок делает по мишени два выстрела. Вероятность попадания по мишени при первом выстреле равна 0,8, а при втором 0,9. Найдите вероятность того: 1) что стрелок оба раза попадет по мишени; 2) стрелок оба раза промахнется.

Решение: А –событие стрелок попал по мишени при первом выстреле: Р(А) =0,8

В –событие стрелок попал по мишени при втором выстреле: р(В)=0,9. События А и В независимые.

1. С₁-событие стрелок оба раза попал по мишени: С₁=АВ по формуле

_{находим: Р(С1)=Р(А) . Р(В)=0,8. 0,9=0,72.}

_{2)С2 –событие стрелок оба раза промахнется. Тогда нужно найти вероятность события противоположному событию А и В: С2 =В. События А и В независимые:}

_{Р(С2) =Р() =Р(Р()= (1-Р(А)) .(1-Р(В))=(1-0,8)(1-0,9)=0,2.0,1=0,02.}

Задача 2. В первой урне находится 6 черных и 4 белых шара, во второй- 5 черных и 7 белых шаров. Из каждой урны извлекают по одному шару. Какова вероятность того, что оба шара окажутся белыми.

Решение. Пусть - из первой урны извлечен белый шар; - из второй урны извлечен белый шар. Очевидно, что события и независимы. Так как , , то по формуле находим

Задача 3. Прибор состоит из двух элементов, работающих независимо. Вероятность выхода из строя первого элемента равна 0,2; вероятность выхода из строя второго элемента равна 0,3. Найти вероятность того, что: а) оба элемента выйдут из строя; б) оба элемента будут работать.

Решение. Пусть событие А- выход из строя первого элемента, событие В- выход их строя второго элемента. Эти события независимы (по условию).

а) Одновременное появление А и В есть событие АВ. Следовательно,

.

б) Если работает первый элемент, то имеет место событие (противоположное событию А- выходу этого элемента из строя); если работает второй элемент- событие В. Найдем вероятности событий и : ; .

Тогда событие, состоящее в том, что будут работать оба элемента, есть и, значит,

.

Самостоятельное решение задач.

Задачи на вычисление вероятностей

     Задача 1. Какова вероятность появления четного числа очков (событие А) при одном бросании игрального кубика?
          Задача 2В урне 5 белых и 10 черных шаров. Шары тщательно перемешивают и затем наугад вынимают 1 шар. Какова вероятность того, что вынутый шар окажется белым?
     Противоположные события.

Задача 3. Ве­ро­ят­ность того, что новая ша­ри­ко­вая ручка пишет плохо (или не пишет), равна 0,19. По­ку­па­тель в ма­га­зи­не вы­би­ра­ет одну такую ручку. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что эта ручка пишет хо­ро­шо. Задача 4Ответ: 0,81 3333 Вероятность того, что в случайный момент времени температура тела здорового человека окажется ниже 36,8°C равна 0,87. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени у здорового человека температура тела окажется 36,8°C или выше. Задача 5.При из­го­тов­ле­нии под­шип­ни­ков диа­мет­ром 67 мм ве­ро­ят­ность того, что диа­метр будет от­ли­чать­ся от за­дан­но­го не боль­ше, чем на 0,01 мм, равна 0,965. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что слу­чай­ный под­шип­ник будет иметь диа­метр мень­ше чем 66,99 мм или боль­ше чем 67,01 мм. Несовместные и независимые события. Задача 6. На эк­за­ме­не по гео­мет­рии школь­ни­ку достаётся одна за­да­ча из сбор­ни­ка. Ве­ро­ят­ность того, что эта за­да­ча по теме «Углы», равна 0,1. Ве­ро­ят­ность того, что это ока­жет­ся за­да­ча по теме «Па­рал­ле­ло­грамм», равна 0,6. В сбор­ни­ке нет задач, ко­то­рые од­но­вре­мен­но от­но­сят­ся к этим двум темам. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что на эк­за­ме­не школь­ни­ку до­ста­нет­ся за­да­ча по одной из этих двух тем Задача 7.На эк­за­ме­не по гео­мет­рии школь­ни­ку достаётся один во­прос из спис­ка эк­за­ме­на­ци­он­ных во­про­сов. Ве­ро­ят­ность того, что это во­прос на тему «Впи­сан­ная окруж­ность», равна 0,2. Ве­ро­ят­ность того, что это во­прос на тему «Па­рал­ле­ло­грамм», равна 0,15. Во­про­сов, ко­то­рые од­но­вре­мен­но от­но­сят­ся к этим двум темам, нет. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что на эк­за­ме­не школь­ни­ку до­ста­нет­ся во­прос по одной из этих двух тем.

.

Ответ: 0,35