Решение уравнения методом введения новой переменной

21.04.20. Задание: Записать конспект и решить уравнения

Тема: Основные приемы решения уравнений:

Решение уравнения методом введения новой переменной

Теория:

Метод введения новой переменной:

 1. в уравнении какая-то его часть заменяется другой переменной (a, y, t...) 

    (прежнее неизвестное одновременно с новым в уравнении быть не может);

  2. решается новое уравнение;

  3. возвращаются к обозначенному и, используя полученное число (корни), вычисляют требуемое неизвестное.

Пример: Решить уравнение (2x−21)²−5(2x−21)+4=0.

 Это уравнение можно решить и без использования новой переменной (раскрываются скобки по формуле разности квадратов и т. д.), но решение будет длинным и с большими числами.

Используем то, что обе скобки равны.

Обозначаем 2x−21=y. Получается простое квадратное уравнение:

 y² −5y+4=0;

D=b²-4ac=(-5)²-4•1•4=25-16=9

y₁=(-b+D)/(2a)=(-(-5)+ √9)/(2•1)=8/2=4,

y₂=(-b+D)/(2a)=(-(-5)- √9)/(2•1)=2/2=1.

Возвращаемся к обозначенному:

Ответ: x=12,5;  x=11.

Методом введения новой переменной решаются биквадратные уравнения:

ax⁴+bx²+c=0, где a,b,c ∈R; x²=y; ay²+by+c=0. В биквадратных уравнениях всегда используется новая переменная. Получается квадратное уравнение

  Пример: Решить уравнение:

x⁴−13x²+12=0; x²=y, тогда

y²−13y+12=0;

y₁=12, y₂=1

1)x²=12; или 2) x²=1,

x=±√12 x=±1. 

 Задание: Решить уравнения 1. (3x−4)²+3 (3x−4)-4=0.