Россия, Волгоград
СДЕЛАЙТЕ СВОИ УРОКИ ЕЩЁ ЭФФЕКТИВНЕЕ, А ЖИЗНЬ СВОБОДНЕЕ
Благодаря готовым учебным материалам для работы в классе и дистанционно
Скидки до 50 % на комплекты
только до
Готовые ключевые этапы урока всегда будут у вас под рукой
Организационный момент
Проверка знаний
Объяснение материала
Закрепление изученного
Итоги урока
Была в сети 30.01.2025 20:40
Марченко Любовь Евгеньевна
Преподаватель
36 лет
10 893
3 832 
Местоположение
Специализация
Основные понятия теории рядов
Категория:
Математика
04.10.2017 18:20
Просмотр содержимого документа
«Основные понятия теории рядов»
Числовые ряды
Числовой ряд – это выражение вида 
Числа 
называются членами ряда. Они образуют бесконечную последовательность.
Общий член ряда – это член 
с произвольным номером. Сокращенно ряд обозначают следующим образом: 
.
Частичные суммы ряда – это суммы конечного числа членов ряда.
Пример: Дан ряд 
. Найти 
.
Решение: 1) 
.
2) 
Ответ: 
ЗАДАНИЕ! Дан числовой ряд 
. Найти 
.
Сходящийся ряд – это ряд, у которого последовательность его частичных сумм имеет конечный предел при 
: 
.
Сумма ряда – это число S, к которому сходится эта последовательность частичных сумм: 
. Ряд называется расходящимся, если такой предел 
не существует или бесконечен.
Пример 1. Исследовать на сходимость ряд 
.
Решение: 
.
. Этот предел существует, и ряд сходится.
Признаки сходимости ряда
Необходимый признак сходимости: Если ряд
сходится, то общий член ряда стремится к нулю при неограниченном возрастании n (при ). 
.
Следствие: Если общий член ряда, не стремится к нулю, то такой ряд расходится. Если 
, то ряд расходится.
Признак Даламбера: Пусть дан ряд
с положительными членами. Если для этого ряда существует конечный предел 
, то при p ряд сходится, а при p 1 ряд расходится. (При p = 1 вопрос о сходимости ряда остается нерешенным в этом случае требуется исследовать ряд с помощью других методов).Признак Коши: Пусть дан ряд
с положительными членами. Если для этого ряда существует предел 
, то при q ряд сходится, а при q 1 ряд расходится. (При q = 1 вопрос о сходимости ряда остается нерешенным в этом случае требуется исследовать ряд с помощью других методов).
Пример 2. Исследовать ряд по необходимому признаку 
.
Решение: Находим
.
Следовательно, ряд расходится.
Пример 3. Исследовать ряд по признаку Даламбера 
.
Решение: 
, 
. Найдем 
.
Найдем
Следовательно, ряд расходится.
Пример 4. Исследовать ряд по признаку Коши 
.
Решение:
Следовательно, ряд сходится.
ЗАДАНИЕ!
Исследовать ряд на сходимость по необходимому признаку
.Исследовать ряд на сходимость по признаку Даламбера
.Исследовать рад на сходимость по признаку Коши
.
Знакопеременные ряды – это ряды, содержащие как положительные, так и отрицательные члены.
Пусть дан знакопеременный ряд . С каждым таким рядом связан ряд с неотрицательными членами, составленный из модулей членов данного ряда, т.е. ряд
Теорема. Если сходится ряд 
, то сходится и ряд .
Абсолютная сходимость: знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из модулей его членов.
Знакочередующийся ряд – это ряд, в котором положительные и отрицательные члены следуют друг за другом поочередно.
Например, это ряд вида: 
, где - положительные числа.
Для знакочередующихся рядов имеет место следующий достаточный признак сходимости.
Признак Лейбница. Ряд сходится, если его члены монотонно убывают по абсолютной величине 
и общий член ряда стремится к нулю при : .
Функциональные ряды
Функциональный ряд – это выражение вида 
, где 
, 
, …, 
, … - члены ряда – некоторая последовательность функций от х.
Если в данном функциональном ряде положить 
, где 
- некоторое число, то получим числовой ряд.
При одних значениях х ряд может сходиться, а при других – расходиться.
Функциональный ряд называется сходящимся в точке , если при он обращается в сходящийся числовой ряд.
Если же при получается расходящийся числовой ряд, то ряд называется расходящимся в точке .
Область сходимости функционального ряда – это совокупность всех значений 
, при которых ряд сходится.
Степенной ряд – это функциональный ряд вида:
где - переменная, - некоторое число. Числа 
называются коэффициентами ряда.
Если 
, то ряд примет вид:
Область сходимости степенного ряда – это совокупность вех значений , при которых ряд сходится.
Радиусом сходимости степенного ряда называется число R, вычисляемое по формуле 
.
Интервал сходимости ряда – это интервал 
. Если , то интервал сходимости 
. Если ряд сходится на всей числовой прямой, то пишут 
. Если расходится только при 
, то пишут 
.
Пример 5. Дан ряд 
Чему равен радиус сходимости?
Решение: Здесь 
, 
. Тогда 
.
Если функция 
определена в некоторой точке и имеет производные всех порядков в этой точке, то степенной ряд вида:
называется рядом Тейлора для функции в точке .
Если , то получается ряд 
, который называется рядом Маклорена.
Алгоритм представления элементарной функции в виде суммы ряда Тейлора (Маклорена)
Вычислить последовательные производные данной функции в точке
.Составить ряд Тейлора (Маклорена) для функции, используя формулу
Определить промежуток сходимости полученного ряда.
В этом промежутке ряд Тейлора (Маклорена) сходимости к порождающей его функции
, если только все значения 
получаются непосредственной подстановкой значения в выражения для функции и ее производных 
Применяя этот алгоритм, найдем разложение функции 
:
При получаем
Составим ряд Маклорена:
Найдем интервал сходимости ряда
.
Вывод: ряд абсолютно сходится по всей числовой прямой.
Покажем, что ряд
имеет своей суммой . Согласно необходимому условию сходимости ряда для любого х справедливо равенство:
и 
.
Следовательно, функция является суммой ряда 
Таким образом, при любом х имеет место:
.
2
Вебинар для учителей
Свидетельство об участии БЕСПЛАТНО!
