Параметры. Задачи с параметрами в линейных, квадратных уравнениях, системах линейных уравнений

ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ «ШКОЛА №60 ГОРОДСКОГО ОКРУГА ДОНЕЦК»

Параметры.

Задачи с параметрами в линейных, квадратных уравнениях, системах линейных уравнений

(Проектная работа)

Выполнил ученик 10 класса

ТОЧЕНЫЙ АНДРЕЙ

Руководитель: Цыганок Татьяна Николаевна

Апрель 2025

Параметр. Первый раз с таким словом я столкнулся еще в 5 классе при решении уравнения. Сразу мне было непонятно почему в уравнении есть переменная х, но тут появилась и другая неизвестная величина, величина, от которой зависело количество корней уравнения.

Что же такое параметр и как решать уравнения, системы уравнений, системы неравенств, строить графики и т. д. с неизвестной величиной, которую называют «параметр»?

Итак, ПАРАМЕТР-это буквенный коэффициент, который чаще всего обозначают буквой а. И параметр- это не переменная, это число, которое заранее не известно, но от которого зависит решение.

Параметр простыми словами — это свойство или показатель объекта или системы, которое можно измерить. ru.wikipedia.org

• В математике — величина, входящая в формулы и сохраняющая своё постоянное значение лишь в условиях данной задачи

Мы привыкли к тому, что при решении уравнений, наши коэффициенты не меняются. Но вот когда в наших заданиях появляется буква а параметр, начинаем теряться. Задания с параметром незаслуженно носят ярлык слишком сложных. Но с ними можно справиться, если досконально повторить базовые принципы решения уравнений и не бояться пойти нестандартным путём.

Будем разбираться. Для того чтобы решать задания, содержащие параметры, нужно четко и без ошибок решать уравнения, неравенства, системы уравнений, которые не содержат параметров, хорошо знать теоретический материал. Для меня неприемлемо выражение «Математику нужно понимать», понимать мы ее будем тогда, когда начнем с самого простого: выучим формулы, алгоритмы, правила.

Начнем с самого простого.

Итак, линейное уравнение. Часто на вопрос «Сколько корней имеет линейное уравнение?», мы не задумываемся и отвечаем: «Один корень». Хотя это не так. Да, линейное уравнение чаще всего имеет один корень:

ах=в, откуда х=в/а. Но давайте вспомним, что деление на 0 невозможно, т. е, когда наше уравнение примет вид 0х=а и а , то данное уравнение корней не имеет . Или уравнение 0х=0? Мы видим, что переменная х может принимать любое значение. Поэтому линейное уравнение может:

а) иметь 1 корень; б) не иметь корней; в) любое число может быть корнем уравнения. Как пример, начну с самого простого: 2+ах= 6

ах= 4, х= 4/а

Рассмотрим задачи:

1. Решить уравнение ах=6х 8, если: а) а=6; б) а

Заметим, что если а=6, то данное уравнение корней не имеет , если же а , то коэффициент перед х отличен от нуля и данное уравнение имеет один корень.

2. Решить уравнение относительно параметра а:

,

5ах=6а 16,

Если а=0, то мы получаем 0х= 16, уравнение корней не имеет;

Если 0, то х= , уравнение имеет один корень

3. При каких значениях параметра а корень уравнения 2 а принадлежит отрезку [ 1; 3]

Найдем х: , откуда х= . По условию корень уравнения принадлежит отрезку [ 1; 3], то есть

1 /

2 / +( 3),

5 / :(5),

1

Итак, чтобы выполнялось наше условие, параметр а∊[ 1; 0,6]

4. При каких значениях параметра а линейное уравнение а ( имеет 1 положительный корень.

Обращаем внимание, что нам нужно найти не просто корень, а чтобы этот корень был положительным числом

Проведя необходимые преобразования, получаем, что х= и этот корень должен быть положительным числом. Заметим, что а не может принимать значение равное 2, иначе наше уравнение корней не имеет. По условию корень уравнения положительное число, значит, . Решаем данное неравенство и находим, что а∊( 2 ; 2) ∪ (2; ∞)

________________________________________________________________

Рассмотрим систему двух линейных уравнений

5. При каких значениях параметра а система двух линейных уравнений

имеет единственное решение?

Нужно знать , что система имеет единственное решение, если прямые пересекаются (так как графиком каждого уравнения является прямая), то

В нашем случае система имеет единственное решение если ,

(обращаем внимание на коэффициенты перед переменной х и переменной у)

) ,

4а 2

И находим, что а . Система имеет единственное решение при любом значении а, кроме 8

6.

имеет более двух корней?

Данное уравнение линейное с модулем и с параметром. Найдем корни модулей:

Разобъем числовую прямую на промежутки:

1) (-∞; 1,5), уравнение будет иметь вид:

Квадратные уравнения.

Алгоритм решения квадратного уравнения

7. При каком значениии параметра а уравнение 2х² 8х а=0 имеет два корня?

Вычислям дискриминант откуда а

Ответ: а

1. При каком значении параметра а уравнение (а 3) имеет единственный корень?

Заметим, что если а=3, наше уравнение будет линейным, имеет вид

=0 и имеет один корень 1/6.

Если а , тогда уравнение квадратное и имеет один корень, если дискриминант уравнения равен 0. Вычислим дискриминант по формуле D= . D=( . Дискриминант этого уравнения равен 13, а его корни:

Ответ: а= , а=3.

8. При каком значении переменной а уравнение имеет один корень?

Решение: Квадратное уравнение имеет один корень, если D= D =а² 36=(а 6)(а 6)=0,

а=6, а= 6

Ответ: 6; 6

Вывод:

Уравнения с параметрами можно решать различными способами:

а) Алгебраическим путем непосредственного решения уравнения и анализа полученных корней относительно параметра а;

б) Графическим – через введение функции и построение графика

В своей работе я использовал алгебраический метод решения уравнений с параметром. Но все зависимости от выбранного метода всегда нужно придерживаться

Графическим — через введение функции и построения её графика.

В этой статье я использовал алгебраический метод решения уравнений с параметром.

Вне зависимости от типа уравнения мы всегда будем придерживаться следующего алгоритма:

1.Если необходимо, оценить область допустимых значений.

2. Выполнить необходимые преобразования так, чтобы выразить переменную х.

3. Проанализировать полученное выражение, рассмотреть значения параметра а, и ответить на вопрос задачи.

Считаю, что данная тема является актуальной и для выпускников 9 класса и 11 класса.

Литература:

1. ru.wikipedia.org

2. С. К. Кожухов. «Уравнения и неравенства с параметрами»

3. И. А. Ледовских, Л. В. Горбанев, Ю. В. Жулидова. «Задачи с параметрами. С чего начать»

4. https://skysmart.ru/articles/mathematic/zadachi-s-parametrom

5. Учебники математики 5-6 классы (И. Я. Виленкин), алгебры 7-9 классы (Ю. Н. Макарычев)