Подготовка к ЕГЭ: "Образцы решения геометрических задач"

Образцы решения задач

Решение задач уровня В

Задача 1. Высота правильной треугольной призмы равна . Секущая плоскость проходит через среднюю линию нижнего основания и параллельную ей сторону верхнего основания и составляет с плоскостью нижнего основания двугранный угол величиной . Найдите площадь сечения призмы данной плоскостью.

Решение: Сечением призмы является равнобедренная трапеция MABN, так как АМ = ВВN по двум катетам.

MN АВ как средняя линия АВС:

MN = АВ = AB;

В АВС KL = LC = KC; КС = АВ ; KL = АВ ;

В DKL: KL = DL (так как ); DL = 2KL = АВ ;

DL = 20;

Ответ: 200.

Задача 2. Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды с апофемой, равной , если ее боковое ребро составляет угол с плоскостью основания.

Решение:

SM - апофема боковой грани.

По теореме о трех перпендикулярах

OM DC; OM = AD.

Обозначим высоту пирамиды ,

сторону основания .

В SOС: ; ОS = SС,

ОС = ОS .

В ADС: АС = AD ;

ОС = AD . Тогда, .

В SOM: SM = SO + OM; ;

Составим систему уравнений:

Преобразуем систему к виду:

Решим систему уравнений методом подстановки:

Объем пирамиды : V = 24 2 = 16. Ответ: 16.

Задача 3. Найдите площадь осевого сечения конуса, если высота конуса равна 4, а площадь полной поверхности конуса .

Решение:

Осевым сечением конуса является равнобедренный треугольник ASB: = ABSO = 2 .

Площадь полной поверхности конуса вычисляется по формуле .

; по условию = 24.

Следовательно, = 24; = 24 (*).

В SOВ: ; ; ( - = 16.

Составим систему уравнений: ; .

Подставим найденное значение в уравнение (*):

= 9; = 3; = 34 =12. Ответ: 12.

Задача 4. Концы отрезка АВ лежат на окружностях оснований цилиндра. Радиус основания цилиндра равен 15, длина отрезка АВ = 12, а угол между прямой АВ и плоскостью основания цилиндра равен . Найдите расстояние между осью цилиндра и параллельной ей плоскостью, проходящей через точки А и В.

Решение:

ADBC - плоскость, параллельная оси и перпендикулярная плоскости основания цилиндра.

Искомое расстояние - длина отрезка ОР;

ОР AD; ;

;

АР = РD = AD = ВС = 9;

OD = = 15, следовательно, ОР = = 12. Ответ: 12.

Задача 5. В треугольной пирамиде SABC с вершиной S ребра SA, SB, SC взаимно перпендикулярны и имеют длины соответственно 8, 6, 3. В пирамиду вписан куб, три грани которого лежат на гранях пирамиды, содержащих вершину S, а одна из вершин куба лежит на грани ABC. Найдите длину ребра куба.

Решение:

Решим задачу координатным методом. Пусть начало координат совпадает с вершиной S, а оси координат содержат ребра SA, SB, SC. Тогда точки S, A, B, С имеют координаты соответственно (0;0;0), (8;0;0), (0;6;0), (0;0;3). Уравнение плоскости АВС в отрезках в соответствии с общей формулой имеет вид:

Пусть ребро куба равно . Тогда в плоскости АВС будет располагаться вершина куба, имеющая координаты (; ; . Подставим координаты этой вершины в уравнение плоскости АВС: .

Следовательно, , откуда = 1,6.

Ответ: 1,6.

Решение задач уровня С

Задача: В кубе ABCDABCD со стороной, равной 2, на ребрах AD, DC, CC заданы соответственно точки M, N, L, причем AM=1, DN=1, CL = . Вокруг куба описан шар.

Определите площадь круга - сечения шара плоскостью, проходящей через точки M, N, L

Решение: Данная задача может быть решена различными способами.

1. Аналитико-синтетический способ:

Центр описанного шара совпадает с центром куба, а его радиус - с половиной диагонали куба. Длина диагонали куба 2. Радиус шара равен .

Чтобы найти площадь сечения шара указанной в условии плоскостью, удобнее определить сначала расстояние от центра шара до заданной плоскости. Тогда - радиус сечения можно выразить из условия , а искомая площадь находится по формуле .

Рассмотрим два чертежа: пространственный и выносной.

Чтобы построить сечение куба плоскостью, последовательно выполняем следующие действия:

1. Проводим прямую MN, обозначаем точки пересечения прямой MN с продолжениями ребер ВА и ВС (соответственно F и Р) и с диагональю BD (точка Q).

Доказываем, что BQ = 3QD.

2. Строим прямую PL, обозначаем точку пересечения прямой PL с ребром BB - т. K.

Доказываем, что т. К - середина ВВ.

3. Соединяем точки K и F, KF AA = E.

4. Соединяем точки E и M, L и N. Искомое сечение - пятиугольник EKLNM.

Теперь рассмотрим сечение куба плоскостью BBDD, сохраняя введенные обозначения (выносной чертеж):

КО = ВD = АВ ;

KQ = BK + BQ;

KQ ;

3) ;

4) ;

5) ; 6) .

2. Координатный способ

Рассмотрим систему координат, совмещенную с заданным кубом. Разместим начало координат в точке D(0;0;0). Пусть ось Осодержит ребро DА, точка М(0;1;0); ось О содержит ребро DС, точка N(1;0;0); ось О содержит ребро DD, точка L(2;0; .

Центр куба и описанного шара имеет координаты (1;1;1). Составим уравнение плоскости LMN и найдем как расстояние от точки ( до плоскости

A + B + C + D = 0.

по формуле:

Составим систему уравнений для определения коэффициентов в уравнении плоскости, используя координаты точек L, M, N:

-3А = 3D.

Составим уравнение плоскости LMN: - D - D + 3D + D = 0.

Разделив на (-D), получим уравнение плоскости - 3 - 1 = 0. Легко убедиться подстановкой, что координаты точек L, M, N удовлетворяют полученному уравнению плоскости.

Подставим найденные величины в формулу расстояния от точки до плоскости:

Следовательно, площадь сечения равна . Ответ: .

Подраздел

• Домашнее задание № 2

Задачи уровня В

1. В основании пирамиды лежит равнобедренный треугольник с боковой стороной 2 и основанием 2,4. Боковые ребра пирамиды наклонены к плоскости основания под углом . Найдите объем пирамиды. Ответ: 1,2.

2. Угол при вершине осевого сечения конуса равен , а радиус описанной около конуса сферы равен 6. Найдите площадь боковой поверхности конуса. Ответ: .

3. Высота цилиндра равна 16, радиус основания 10. Концы отрезка КМ, не являющегося образующей цилиндра, лежат на окружностях его оснований. Расстояние между осью цилиндра и параллельной ей плоскостью, проходящей через точки К и М, равно 6. Найдите угол в градусах между прямой КМ и плоскостью основания цилиндра.

Ответ: .

Задача уровня С

4. В кубе ABCDABCD со стороной 1 на ребрах AB, AD, CC заданы соответственно точки M, N, L, причем AM = , AN = , CL = . В куб вписан шар. Определите площадь круга - сечения шара плоскостью, проходящей через точки M, N, L

Ответ: .

3