Подготовка к ЕГЭ задачи на движение

Решение текстовых задач на движение (подготовка ЕГЭ)

Текстовые задачи являются традиционным разделом на вступительных экзаменах. Как правило, основная трудность при решении текстовой задачи состоит в переводе её условий на математический язык уравнений. Общего способа такого перевода не существует. Однако многие задачи на вступительных экзаменах, достаточно типичны.

Этапы решения текстовых задач:

• Анализ содержания задачи.
• Поиск пути решения задачи и составление плана ее решения.
• Осуществление плана решения задачи.
• Проверка решения задачи.

Стандартная схема решения таких задач включает в себя:

• 1.Выбор и обозначение неизвестных. 
• 2.Составление уравнений (возможно неравенств) с использованием неизвестных и всех условий задачи. 
• 3.Решение полученных уравнений (неравенств).
• 4.Отбор решений по смыслу задачи.

Основными типами задач на движение являются :

• задачи на движение по прямой (навстречу и вдогонку);

• задачи на движение по замкнутой трассе;
• задачи на движение по воде;
• задачи на среднюю скорость;
• задачи на движение протяжённых тел.

Задачи на движение.

При решении этих задач принимают следующие допущения:

• Если нет специальных оговорок, то движение считают равномерным.
• Скорость считается величиной положительной.
• Всякие переходы на новый режим движения, на новое направление движения считают происходящим мгновенно.
• Если тело с собственной скоростью х движется по реке, скорость течения которой равна у , то скорость движения тела по течению считается равной ( х + у ), а против течения – равной ( х – у ).

Задачи на движение:

• В задачах на движение используются обычно формулы, выражающие законы равномерного движения: S=V·t , где S- пройденное растояние, V- cкорость равномерного движения, t - время движения.

• При составлении уравнений в таких задачах часто бывает удобно прибегнуть к геометрической иллюстрации процесса движения: путь изображается в виде отрезка прямой, место встречи движущихся с разных сторон обьектов точкой на отрезке и т.д.
• Часто для усложнения задачи её условие формулируется в различных единицах измерения(метры, километры, часы, минуты и т.д.). В этом случае при выписывании уравнений необходимо пересчитывать все данные задачи в одинаковых единицах измерения.

Задачи на движение по прямой

Два велосипедиста одновременно отправились в 140-километровый пробег. Первый ехал со скоростью на 4 км/ч большей, чем скорость второго, и прибыл к финишу на 4 часа раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, пришедшего к финишу первым. Ответ дайте в км/ч

Два велосипедиста одновременно отправились в 140-километровый пробег. Первый ехал со скоростью на 4 км/ч большей, чем скорость второго, и прибыл к финишу на 4 часа раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, пришедшего к финишу первым. Ответ дайте в км/ч.

t= , ч

S, км

v, км/ч

1

140

х + 4

х + 4

140

- 4ч

х

2

140

х

140

140х+560-10х-4-16х=0

х(х+4)≠0

-4-16х+560=0

+4х-140=0

=10

10+4=14 (км/ч)

Ответ: 14

Задачи на движение по воде

Обычно в условии говорится о собственной скорости ( v соб ) судна и скорости течения ( v теч ) .

Собственной скоростью называется скорость в неподвижной воде.  

Скорость при движении по течению равна сумме собственной скорости судна и скорости течения.

  v по теч =v соб +v теч

Скорость при движении против течения равна разности собственной скорости судна и скорости течения.

v пр теч = v соб - v теч

05/13/2025

Моторная лодка прошла против течения реки 168 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 часа меньше. Найдите скорость течения, если скорость лодки в неподвижной воде равна 13 км/ч. Ответ дайте в км/ч

Пусть скорость лодки в неподвижной воде равна х .

Тогда скорость движения моторки по течению равна v соб +v теч = 13+х, а скорость, с которой она движется против течения v соб - v теч = 13 - х .

Расстояние и в ту, и в другую сторону одинаково и равно 168 км.

Занесем скорость и расстояние в таблицу.

v, км/ч

По течению

Против течения

t, ч

13+Х

s,км

13-Х

168

168

Составляем уравнение :

05/13/2025

168(13+х)-2(13-х)(13+х)-168(13-х)=0

(13-х)(13+х)≠0

=1

Ответ: 1

Движение протяжённых тел.

В задачах на движение протяженных тел требуется, как правило, определить длину одного из них.

При решении задач на движение двух тел часто очень

удобно считать одно тело неподвижным, а другое — приближающимся к нему со скоростью, равной сумме скоростей

этих тел (при движении навстречу) или разности скоростей

(при движении вдогонку). Такая модель помогает разобраться

с условием задачи.

По двум параллельным железнодорожным путям друг навстречу другу следуют скорый и пассажирский поезда, скорости которых равны соответственно 85 км/ч и 35 км/ч. Длина пассажирского поезда равна 250 метрам. Найдите длину скорого поезда, если время, за которое он прошел мимо пассажирского поезда, равно 30 секундам. Ответ дайте в метрах.

85+35=120 км/ч=120000м/ч=2000 м/мин= 33 м/ с

Скорость навстречу друг другу

(сумма скоростей при движении навстречу друг другу)

33 ·30 =1000м Общее расстояние

1000-250=750 м Длина скорого поезда

250 м

По двум параллельным железнодорожным путям друг навстречу другу следуют скорый и пассажирский поезда, скорости которых равны соответственно 85 км/ч и 35 км/ч. Длина пассажирского поезда равна 250 метрам. Найдите длину скорого поезда, если время, за которое он прошел мимо пассажирского поезда, равно 30 секундам. Ответ дайте в метрах.

х+250=33 ·30

х=1000-250

х=750

Ответ: 750

250 м

Движение по замкнутой трассе

Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 16 км, в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 80 км/ч и через 40 минут после старта, он опережает второй автомобиль ровно на один круг. Найдите скорость второго автомобиля.

1

2

Примем скорость второго автомобиля за x км/ч и учтем, что 40 минут составляют  часа

На слайде приводится алгебраический способ решения. Хотя можно решить задачу и арифметическим способом.

1) 80 – 60 = 20 (км/ч) скорость вдогонку. С этой скоростью 2-й автомобиль должен преодолеть расстояние в 1 круг (15 км).

2) 15:20 = 3/4(ч) = 45 (мин).

160 −2 x =48

x=56 .

Ответ: 56

Показать

18

Задачи на среднюю скорость Первый час автомобиль ехал со скоростью 115 км/ч, следующие три часа — со скоростью 45 км/ч, а затем два часа — со скоростью 40 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

Ответ:

Спасибо за внимание!