Подготовка к ОГЭ

28

1.  Тип 19 № 67

Укажите номера верных утверждений.

 

1)  Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

2)  Вертикальные углы равны.

3)  Любая биссектриса равнобедренного треугольника является его медианой.

 

Если утверждений несколько, запишите их номера в порядке возрастания.

Решение. Проверим каждое из утверждений.

1)  «Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны»  — верно по признаку подобия треугольников.

2)  «Вертикальные углы равны»  — верно, это теорема планиметрии.

3)  «Любая биссектриса равнобедренного треугольника является его медианой»  — неверно, это утверждение справедливо только для равностороннего треугольника.

 

Ответ: 12.

 

Примечание.

Заметим, что признак подобия треугольников в учебнике геометрии сформулирован так: "если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны". В утверждении номер 1 опущено слово "соответственно", что не меняет сути.

Ответ: 12

2.  Тип 19 № 93

Укажите номера верных утверждений.

 

1)  Существует квадрат, который не является прямоугольником.

2)  Если два угла треугольника равны, то равны и противолежащие им стороны.

3)  Внутренние накрест лежащие углы, образованные двумя параллельными прямыми и секущей, равны.

 

Если утверждений несколько, запишите их номера в порядке возрастания.

Решение. Проверим каждое из утверждений.

1)  «Существует квадрат, который не является прямоугольником»  — некорректное утверждение, корректное  — «Существует прямоугольник, который не является квадратом».

2)  «Если два угла треугольника равны, то равны и противолежащие им стороны»  — верно, т. к. треугольник, два угла которого равны является равнобедренным, причем равные стороны лежат напротив равных углов.

3)  «Внутренние накрест лежащие углы, образованные двумя параллельными прямыми и секущей, равны»  — верно, это теорема планиметрии.

 

Ответ: 23.

Ответ: 23

3.  Тип 19 № 119

Укажите номера верных утверждений.

 

1)  Биссектриса равнобедренного треугольника, проведенная из вершины, противолежащей основанию, делит основание на две равные части.

2)  В любом прямоугольнике диагонали взаимно перпендикулярны.

3)  Для точки, лежащей на окружности, расстояние до центра окружности равно радиусу.

 

Если утверждений несколько, запишите их номера в порядке возрастания.

Решение. Проверим каждое из утверждений.

1)  «Биссектриса равнобедренного треугольника, проведенная из вершины, противолежащей основанию, делит основание на две равные части»  — верно по свойству равнобедренного треугольника.

2)  «В любом прямоугольнике диагонали взаимно перпендикулярны»  — неверно, это утверждение справедливо только для прямоугольника, у которого все стороны равны, то есть для квадрата.

3)  «Для точки, лежащей на окружности, расстояние до центра окружности равно радиусу»  — верно, т. к. окружность  — множество точек, находящихся на заданном расстоянии от данной точки.

 

Ответ: 13.

Ответ: 13

4.  Тип 19 № 145

Укажите номера верных утверждений.

 

1)  Центры вписанной и описанной окружностей равностороннего треугольника совпадают.

2)  Существует квадрат, который не является ромбом.

3)  Сумма углов любого треугольника равна 180° .

 

Если утверждений несколько, запишите их номера в порядке возрастания.

Решение. Проверим каждое из утверждений.

1)  «Центры вписанной и описанной окружностей равностороннего треугольника совпадают»  — верно, т. к. совпадают точки пересечения биссектрис и серединных перпендикуляров этого треугольника.

2)  «Существует квадрат, который не является ромбом»  — неверно; верным будет утверждение: «Существует ромб, который не является квадратом».

3)  «Сумма углов любого треугольника равна 180°»  — верно по свойству треугольника.

 

Ответ: 13.

5.  Тип 19 № 171

Укажите номера верных утверждений.

 

1)  Если угол острый, то смежный с ним угол также является острым.

2)  Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны.

3)  В плоскости все точки, равноудаленные от заданной точки, лежат на одной окружности.

 

Если утверждений несколько, запишите их номера в порядке возрастания.

Решение. Проверим каждое из утверждений.

1)  «Если угол острый, то смежный с ним угол также является острым»  — неверно, т. к. смежные углы в сумме составляют 180°.

2)  «Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны»  — верно, т. к. квадрат  — частный случай ромба.

3)  «В плоскости все точки, равноудаленные от заданной точки, лежат на одной окружности»  — верно, т. к. окружность  — это множество точек, находящихся на заданном расстоянии от данной точки.

 

Ответ: 23.

Ответ: 23

6.  Тип 19 № 197

Укажите номера верных утверждений.

 

1)  Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то треугольники подобны.

2)  Сумма смежных углов равна 180°.

3)  Любая высота равнобедренного треугольника является его биссектрисой.

 

Если утверждений несколько, запишите их номера в порядке возрастания.

Решение. Проверим каждое из утверждений.

 

1)  «Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то треугольники подобны»  — верно, по признаку подобия треугольников.

2)  «Сумма смежных углов равна 180°»  — верно по свойству смежных углов.

3)  «Любая высота равнобедренного треугольника является его биссектрисой»  — неверно, это утверждение справедливо только для равностороннего треугольника.

 

Ответ: 12.

Ответ: 12

7.  Тип 19 № 169915

Какие из следующих утверждений верны?

 

1)  Если угол равен 45°, то вертикальный с ним угол равен 45°.

2)  Любые две прямые имеют ровно одну общую точку.

3)  Через любые три точки проходит ровно одна прямая.

4)  Если расстояние от точки до прямой меньше 1, то и длина любой наклонной, проведенной из данной точки к прямой, меньше 1.

Решение. Проверим каждое из утверждений.

1)  «Если угол равен 45°, то вертикальный с ним угол равен 45°»  — верно, по теореме о вертикальных углах.

2)  «Любые две прямые имеют ровно одну общую точку»  — неверно, утверждение справедливо только для пересекающихся прямых.

3)  «Через любые три точки проходит ровно одна прямая»  — неверно, не всегда через три точки можно провести одну прямую.

4)  «Если расстояние от точки до прямой меньше 1, то и длина любой наклонной, проведенной из данной точки к прямой, меньше 1»  — неверно, можно провести наклонную любой длины, большей, чем расстояние от точки до прямой, в том числе и наклонную длиной больше 1.

 

Ответ: 1.

 

Примечание.

Не следует думать, что вопрос «какие утверждения верные?» подразумевает, что в ответе должно быть несколько утверждений. Так же, как задача «решите уравнение» не подразумевает, что решение вообще есть.

Ответ: 1

8.  Тип 19 № 169916

Какие из следующих утверждений верны?

 

1)  Если при пересечении двух прямых третьей прямой соответственные углы равны 65°, то эти две прямые параллельны.

2)  Любые две прямые имеют не менее одной общей точки.

3)  Через любую точку проходит более одной прямой.

4)  Любые три прямые имеют не менее одной общей точки.

 

Если утверждений несколько, запишите их номера в порядке возрастания.

Решение. Проверим каждое из утверждений.

1)  «Если при пересечении двух прямых третьей прямой соответственные углы равны 65°, то эти две прямые параллельны.»  — верно, так как если соответственные углы равны, то прямые параллельны.

2)  «Любые две прямые имеют не менее одной общей точки.»  — неверно, две прямые имеют не более одной общей точки.

3)  «Через любую точку проходит более одной прямой.»  — верно, через одну точку проходит множество пересекающихся в этой точке прямых.

4)  «Любые три прямые имеют не менее одной общей точки.»  — неверно, три прямые могут быть параллельны и не иметь ни одной общей точки.

 

Ответ: 13.

Ответ: 13

9.  Тип 19 № 169917

Какие из следующих утверждений верны?

 

1)  Если при пересечении двух прямых третьей прямой внутренние накрест лежащие углы составляют в сумме 90°, то эти две прямые параллельны.

2)  Если угол равен 60°, то смежный с ним равен 120°.

3)  Если при пересечении двух прямых третьей прямой внутренние односторонние углы равны 70° и 110°, то эти две прямые параллельны.

4)  Через любые три точки проходит не более одной прямой.

 

Если утверждений несколько, запишите их номера в порядке возрастания.

Решение. Проверим каждое из утверждений.

1)  «Если при пересечении двух прямых третьей прямой внутренние накрест лежащие углы составляют в сумме 90°, то эти две прямые параллельны.»  — неверно, если при пересечении двух прямых третьей прямой внутренние накрестлежащие углы равны, то эти две прямые параллельны. Если внутренние накрестлежащие углы составляют в сумме 90°, то они могут быть не равны.

2)  «Если угол равен 60°, то смежный с ним равен 120°.»  — верно, сумма смежных углов равна 180°.

3)  «Если при пересечении двух прямых третьей прямой внутренние односторонние углы равны 70° и 110°, то эти две прямые параллельны.»  — верно, если при пересечении двух прямых третьей прямой внутренние односторонние углы составляют в сумме 180°, то эти две прямые параллельны.

4)  «Через любые три точки проходит не более одной прямой.»  — верно, через три точки либо нельзя провести прямую, если они не лежат на одной прямой, либо можно, но только одну.

 

Ответ: 234.

Ответ: 234

10.  Тип 19 № 169922

Какие из следующих утверждений верны?

 

1)  Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду окружности, равны.

2)  Если радиусы двух окружностей равны 5 и 7, а расстояние между их центрами равно 3, то эти окружности не имеют общих точек.

3)  Если радиус окружности равен 3, а расстояние от центра окружности до прямой равно 2, то эти прямая и окружность пересекаются.

4)  Если вписанный угол равен 30°, то дуга окружности, на которую опирается этот угол, равна 60°.

 

Если утверждений несколько, запишите их номера в порядке возрастания.

Решение. Проверим каждое из утверждений.

1)  «Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду окружности, равны.»  — неверно, вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду окружности, равны, если их вершины лежат по одну сторону от хорды.

2)  «Если радиусы двух окружностей равны 5 и 7, а расстояние между их центрами равно 3, то эти окружности не имеют общих точек.»  — неверно, окружности имеют две общие точки.

3)  «Если радиус окружности равен 3, а расстояние от центра окружности до прямой равно 2, то эти прямая и окружность пересекаются.»  — верно, если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса, то прямая и окружность имеют две общие точки.

4)  «Если вписанный угол равен 30°, то дуга окружности, на которую опирается этот угол, равна 60°.»  — верно, вписанный угол измеряется половиной дуги,на которую он опирается.

 

Ответ: 34.

Ответ: 34

11.  Тип 19 № 169923

Какие из следующих утверждений верны?

 

1)  Через любые три точки проходит не более одной окружности.

2)  Если расстояние между центрами двух окружностей больше суммы их диаметров, то эти окружности не имеют общих точек.

3)  Если радиусы двух окружностей равны 3 и 5, а расстояние между их центрами равно 1, то эти окружности пересекаются.

4)  Если дуга окружности составляет 80°, то вписанный угол, опирающийся на эту дугу окружности, равен 40°.

 

Если утверждений несколько, запишите их номера в порядке возрастания.

Решение. Проверим каждое из утверждений.

1)  «Через любые три точки проходит не более одной окружности.»  — верно, Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная окружность. Если точки лежат на одной прямой, то окружность провести невозможно. Тем самым, через любые три точки можно провести не более одной окружности.

2)  «Если расстояние между центрами двух окружностей больше суммы их диаметров, то эти окружности не имеют общих точек.»  — верно, если расстояние между центрами окружностей больше суммы радиусов, то окружности не имеют общих точек. Сумма диаметров больше суммы радиусов, значит, окружности не имеют общих точек.

3)  «Если радиусы двух окружностей равны 3 и 5, а расстояние между их центрами равно 1, то эти окружности пересекаются»  — неверно, окружность, радиус которой равен 3, может лежать внутри окружности с радиусом 5.

4)  «Если дуга окружности составляет 80°, то вписанный угол, опирающийся на эту дугу окружности, равен 40°.»  — верно, вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

 

Ответ: 124.

Ответ: 124

12.  Тип 19 № 169924

Какие из следующих утверждений верны?

 

1)  Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 180°.

2)  Если один из углов параллелограмма равен 60°, то противоположный ему угол равен 120°.

3)  Диагонали квадрата делят его углы пополам.

4)  Если в четырехугольнике две противоположные стороны равны, то этот четырехугольник  — параллелограмм.

 

Если утверждений несколько, запишите их номера в порядке возрастания.

Решение. Проверим каждое из утверждений.

1)  «Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 180°.»  — неверно, сумма углов выпуклого n  — угольника равна (n – 2)·180°.

2)  «Если один из углов параллелограмма равен 60°, то противоположный ему угол равен 120°.»  — неверно, в параллелограмме противоположные стороны и противоположные углы равны.

3)  «Диагонали квадрата делят его углы пополам.»  — верно, Диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам, делят углы квадрата пополам. Таким образом, прямоугольные треугольники равны.

4)  «Если в четырехугольнике две противоположные стороны равны, то этот четырехугольник  — параллелограмм.»  — неверно, если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник – параллелограмм.

 

Ответ: 3.

Ответ: 3

13.  Тип 19 № 169926

Какие из следующих утверждений верны?

 

1)  Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм  — прямоугольник.

2)  Если диагонали параллелограмма делят его углы пополам, то этот параллелограмм  — ромб.

3)  Если один из углов, прилежащих к стороне параллелограмма, равен 50°, то другой угол, прилежащий к той же стороне, равен 50°.

4)  Если сумма трех углов выпуклого четырехугольника равна 200°, то его четвертый угол равен 160°.

 

Если утверждений несколько, запишите их номера в порядке возрастания.

Решение. Проверим каждое из утверждений.

1)  «Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм  — прямоугольник.»  — верно, если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм  — прямоугольник.

2)  «Если диагонали параллелограмма делят его углы пополам, то этот параллелограмм  — ромб.»  — верно, если диагонали параллелограмма делят его углы пополам, то этот параллелограмм  — ромб.

3)  «Если один из углов, прилежащих к стороне параллелограмма, равен 50°, то другой угол, прилежащий к той же стороне, равен 50°.»  — неверно, стороны параллелограмма параллельны и образуют односторонние углы, а сумма односторонних углов равна 180°.

4)  «Если сумма трех углов выпуклого четырехугольника равна 200°, то его четвертый угол равен 160°.»  — верно, сумма углов выпуклого четырехугольника равна 360°.

 

Ответ: 124.

Ответ: 124

14.  Тип 19 № 169928

Какие из следующих утверждений верны?

 

1)  Около всякого треугольника можно описать не более одной окружности.

2)  В любой треугольник можно вписать не менее одной окружности.

3)  Центром окружности, описанной около треугольника, является точка пересечения биссектрис.

4)  Центром окружности, вписанной в треугольник, является точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам.

 

Если утверждений несколько, запишите их номера в порядке возрастания.

Решение. Проверим каждое из утверждений.

1)  «Около всякого треугольника можно описать не более одной окружности.»  — верно, oколо треугольника можно описать окружность, притом только одну.

2)  «В любой треугольник можно вписать не менее одной окружности.»  — верно, в любой треугольник можно вписать окружность.

3)  «Центром окружности, описанной около треугольника, является точка пересечения биссектрис.»  — неверно, центром описанной около треугольника окружности является точка пересечения серединных перпендикуляров треугольника.

4)  «Центром окружности, вписанной в треугольник, является точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам.»  — неверно, центром вписанной в треугольник окружности является точка пересечения биссектрис треугольника.

 

Ответ: 12.

 

Примечание.

Выражение «не более одной» означает, что окружностей не может быть больше одной. Выражение «не менее одной» означает, что окружностей не может быть меньше одной. В частности, «ровно одна окружность» удовлетворяет как условию «не более одной», так и условию «не менее одной».

Утверждение «В любой треугольник можно вписать не менее одной окружности» можно сформулировать так: «В любой треугольник можно вписать хотя бы одну окружность». Если бы это утверждение было неверным, это означало бы, что существуют треугольники, в которые нельзя вписать хотя бы одну окружность, но таких треугольников не существует, поэтому утверждение является верным.

Ответ: 12

15.  Тип 19 № 169929

Какие из следующих утверждений верны?

 

1)  Около любого правильного многоугольника можно описать не более одной окружности.

2)  Центр окружности, описанной около треугольника со сторонами, равными 3, 4, 5, находится на стороне этого треугольника.

3)  Центром окружности, описанной около квадрата, является точка пересечения его диагоналей.

4)  Около любого ромба можно описать окружность.

 

Если утверждений несколько, запишите их номера в порядке возрастания.

Решение. Проверим каждое из утверждений.

1)  «Около любого правильного многоугольника можно описать не более одной окружности.»— верно, около любого правильного многоугольника можно описать окружность, и притом только одну.

2)  «Центр окружности, описанной около треугольника со сторонами, равными 3, 4, 5, находится на стороне этого треугольника.»  — верно, треугольник с такими сторонами является прямоугольным, таким образом, центр окружности лежит на гипотенузе.

3)  «Центром окружности, описанной около квадрата, является точка пересечения его диагоналей.»  — верно, диагонали квадрата точкой пересечения делятся пополам, таким образом, центром окружности является точка пресечения диагоналей.

4)  «Около любого ромба можно описать окружность.»  — неверно, чтобы около четырехугольника можно было описать окружность, необходимо, чтобы сумма противоположных углов четырехугольника составляла 180°. Это верно не для любого ромба.

 

Ответ: 123.

Ответ: 123

16.  Тип 19 № 169930

Какие из следующих утверждений верны?

 

1)  Окружность имеет бесконечно много центров симметрии.

2)  Прямая не имеет осей симметрии.

3)  Правильный пятиугольник имеет пять осей симметрии.

4)  Квадрат не имеет центра симметрии.

 

Если утверждений несколько, запишите их номера в порядке возрастания.

Решение. Проверим каждое из утверждений.

1)  «Окружность имеет бесконечно много центров симметрии.»— неверно, плоская фигура обладает

центральной симметрией, если она симметрична сама себе относительно центра

2)  «Прямая не имеет осей симметрии.»  — неверно, прямая имеет бесконечное число осей симметрии.

3)  «Правильный пятиугольник имеет пять осей симметрии.»  — верно, каждая ось симметрии любого правильного многоугольника с нечетным числом сторон проходит через вершину и середину противоположной стороны.

4)  «Квадрат не имеет центра симметрии.»  — неверно, центр симметрии квадрата является точка пересечения диагоналей.

 

Ответ: 3.

Ответ: 3

17.  Тип 19 № 169931

Какие из следующих утверждений верны?

 

1)  Правильный шестиугольник имеет шесть осей симметрии.

2)  Прямая не имеет осей симметрии.

3)  Центром симметрии ромба является точка пересечения его диагоналей.

4)  Равнобедренный треугольник имеет три оси симметрии.

 

Если утверждений несколько, запишите их номера в порядке возрастания.

Решение. Проверим каждое из утверждений.

1)  «Правильный шестиугольник имеет шесть осей симметрии.»— верно, при четном количестве углов оси симметрии проходят через противоположные вершины и через середины противоположных сторон.

2)  «Прямая не имеет осей симметрии.»  — неверно, прямая имеет бесконечное число осей симметрии.

3)  «Центром симметрии ромба является точка пересечения его диагоналей.»  — верно, ромб является параллелограммом, а середина диагонали параллелограмма является его центром симметрии.

4)  «Равнобедренный треугольник имеет три оси симметрии.»  — неверно, у равнобедренного треугольника одна ось симметрии.

 

Ответ: 13.

Ответ: 13

18.  Тип 19 № 169932

Какие из следующих утверждений верны?

 

1)  Центром симметрии прямоугольника является точка пересечения диагоналей.

2)  Центром симметрии ромба является точка пересечения его диагоналей.

3)  Правильный пятиугольник имеет пять осей симметрии.

4)  Центром симметрии равнобедренной трапеции является точка пересечения ее диагоналей.

 

Если утверждений несколько, запишите их номера в порядке возрастания.

Решение. Проверим каждое из утверждений.

1)  «Центром симметрии прямоугольника является точка пересечения диагоналей.»  — верно, прямоугольник является параллелограммом, а середина диагонали параллелограмма является его центром симметрии.

2)  «Центром симметрии ромба является точка пересечения его диагоналей.»  — верно, ромб является параллелограммом, а середина диагонали параллелограмма является его центром симметрии.

3)  «Правильный пятиугольник имеет пять осей симметрии.»  — верно, при нечетном количестве углов каждая ось симметрии проходи через вершину и середину противоположной стороны.

4)  «Центром симметрии равнобедренной трапеции является точка пересечения ее диагоналей.»  — неверно, у равнобедренной трапеции нет точек симметрии.

 

Ответ: 123.

Ответ: 123

19.  Тип 19 № 169933

Какие из следующих утверждений верны?

 

1)  Если катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны соответственно 6 и 10, то второй катет этого треугольника равен 8.

2)  Любые два равнобедренных треугольника подобны.

3)  Любые два прямоугольных треугольника подобны.

4)  Треугольник ABC, у которого AB = 3, BC = 4, AC = 5, является тупоугольным.

 

Если утверждений несколько, запишите их номера в порядке возрастания.

Решение. Проверим каждое из утверждений.

1)  «Если катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны соответственно 6 и 10, то второй катет этого треугольника равен 8.»— верно, по теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

2)  «Любые два равнобедренных треугольника подобны.»  — неверно, так как углы, заключенные между пропорциональными сторонами, не равны.

3)  «Любые два прямоугольных треугольника подобны.»  — неверно, так как нет второго равного угла.

4)  «Треугольник ABC, у которого AB = 3, BC = 4, AC = 5, является тупоугольным.»  — неверно, треугольник с такими сторонами является прямоугольным.

 

Ответ: 1.

Ответ: 1

20.  Тип 19 № 169934

Какие из следующих утверждений верны?

 

1)  Любые два прямоугольных треугольника подобны.

2)  Если катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны соответственно 6 и 10, то второй катет этого треугольника равен 8.

3)  Стороны треугольника пропорциональны косинусам противолежащих углов.

4)  Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.

 

Если утверждений несколько, запишите их номера в порядке возрастания.

Решение. Проверим каждое из утверждений.

1)  «Любые два прямоугольных треугольника подобны.»  — неверно, так как нет второго равного угла.

2)  «Если катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны соответственно 6 и 10, то второй катет этого треугольника равен 8.»  — верно, по теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

3)  «Стороны треугольника пропорциональны косинусам противолежащих углов.»  — неверно, по теореме синусов стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

4)  «Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.»  — верно, по теореме косинусов.

 

Ответ: 24.

 

Примечание.

Заметим, что фраза «сумма квадратов без удвоенного произведения» подразумевает, что от суммы квадратов необходимо отнять удвоенное произведение. В качестве похожего примера приведем фразу «сто без трех», описывающую число 97.

Ответ: 24

21.  Тип 19 № 169935

Какие из следующих утверждений верны?

 

1)  Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на синус угла между ними.

2)  Если катеты прямоугольного треугольника равны 5 и 12, то его гипотенуза равна 13.

3)  Треугольник ABC, у которого AB = 5, BC = 6, AC = 7, является остроугольным.

4)  В прямоугольном треугольнике квадрат катета равен разности квадратов гипотенузы и другого катета.

 

Если утверждений несколько, запишите их номера в порядке возрастания.

Решение. Проверим каждое из утверждений.

1)  «Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на синус угла между ними.»  — неверно, квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.

2)  «Если катеты прямоугольного треугольника равны 5 и 12, то его гипотенуза равна 13.»  — верно, по теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

3)  «Треугольник ABC, у которого AB = 5, BC = 6, AC = 7, является остроугольным.»  — верно, остроугольным называется треугольник у которого все углы меньше 90°.

4)  «В прямоугольном треугольнике квадрат катета равен разности квадратов гипотенузы и другого катета.»  — верно, по теореме Пифагора.

 

Ответ: 234.

Ответ: 234

22.  Тип 19 № 169936

Какие из следующих утверждений верны?

 

1)  Если площади фигур равны, то равны и сами фигуры.

2)  Площадь трапеции равна произведению суммы оснований на высоту.

3)  Если две стороны треугольника равны 4 и 5, а угол между ними равен 30°, то площадь этого треугольника равна 10.

4)  Если две смежные стороны параллелограмма равны 4 и 5, а угол между ними равен 30°, то площадь этого параллелограмма равна 10.

 

Если утверждений несколько, запишите их номера в порядке возрастания.

Решение. Проверим каждое из утверждений.

1)  «Если площади фигур равны, то равны и сами фигуры.»  — неверно, фигуры, у которых равны площади называются равновеликими, но не равными.

2)  «Площадь трапеции равна произведению суммы оснований на высоту.»  — неверно, площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.

3)  «Если две стороны треугольника равны 4 и 5, а угол между ними равен 30°, то площадь этого треугольника равна 10.»  — неверно, площадь треугольника равна

4)  «Если две смежные стороны параллелограмма равны 4 и 5, а угол между ними равен 30°, то площадь этого параллелограмма равна 10.»  — верно, площадь параллелограмма равна

 

Ответ: 4.

Ответ: 4

23.  Тип 19 № 169938

Какие из следующих утверждений верны?

 

1)  Площадь многоугольника, описанного около окружности, равна произведению его периметра на радиус вписанной окружности.

2)  Если диагонали ромба равна 3 и 4, то его площадь равна 6.

3)  Площадь трапеции меньше произведения суммы оснований на высоту.

4)  Площадь прямоугольного треугольника меньше произведения его катетов.

 

Если утверждений несколько, запишите их номера в порядке возрастания.

Решение. Проверим каждое из утверждений.

1)  «Площадь многоугольника, описанного около окружности, равна произведению его периметра на радиус вписанной окружности.»  — неверно, площадь многоугольника равна произведению половине периметра на радиус вписанной окружности.

2)  «Если диагонали ромба равна 3 и 4, то его площадь равна 6.»  — верно, площадь ромба равна половине произведения диагоналей.

3)  «Площадь трапеции меньше произведения суммы оснований на высоту.»  — верно, площадь трапеции равна половине произведения суммы оснований на высоту.

4)  «Площадь прямоугольного треугольника меньше произведения его катетов.»  — верно, площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов.

 

Ответ: 234.

Ответ: 234

24.  Тип 19 № 311684

Укажите номера верных утверждений.

 

1)  Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную этой прямой.

2)  Треугольник со сторонами 1, 2, 4 существует.

3)  Если в ромбе один из углов равен 90°, то такой ромб  — квадрат.

4)  Центр описанной около треугольника окружности всегда лежит внутри этого треугольника.

 

Если утверждений несколько, запишите их номера в порядке возрастания.

Решение. Проверим каждое из утверждений.

1)  «Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную этой прямой»  — верно, это аксиома планиметрии.

2)  «Треугольник со сторонами 1, 2, 4 существует»  — неверно: для того, чтобы существовал треугольник, сумма любых его двух сторон должна быть больше третьей стороны.

3)  «Если в ромбе один из углов равен 90°, то такой ромб  — квадрат.»  — верно, в этом случае противоположный угол тоже будет равен 90°, а значит и два других (равных) угла будут равны по 90°.

4)  «Центр описанной около треугольника окружности всегда лежит внутри этого треугольника.»  — неверно, центр описанной вокруг прямоугольного треугольника окружности, лежит на его стороне.

 

Ответ: 13.

Ответ: 13

25.  Тип 19 № 311763

Укажите номера верных утверждений.

 

1)  Через любую точку проходит не менее одной прямой.

2)  Если при пересечении двух прямых третьей прямой соответственные углы равны 65°, то эти две прямые параллельны.

3)  Если при пересечении двух прямых третьей прямой внутренние накрест лежащие углы составляют в сумме 90°, то эти две прямые параллельны.

 

Если утверждений несколько, запишите их номера в порядке возрастания.

Решение. Проверим каждое из утверждений.

1)  Через любую точку проходит бесконечное множество прямых, следовательно, утверждение 1 верно.

2)  Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны - верно, это признак параллельности прямых. В утверждении сказано, что соответственные углы равны 65°, следовательно, они равны друг другу, тогда прямые параллельны.

3)  Накрест лежащие углы двух параллельных прямых, пересеченных третьей, равны. Утверждение 3 неверно: если в сумме углы составляют 90°, то они могут быть не равны, и тогда прямые не будут параллельными.

 

Ответ: 12.

 

Примечание.

Не следует думать, что утверждение «Через точку проходит прямая» означает, что эта прямая действительно нарисована на бумаге. Утверждение означает лишь, что такая прямая может быть проведена.

Ответ: 12

26.  Тип 19 № 311851

Укажите номера верных утверждений.

 

1)  Если при пересечении двух прямых третьей прямой соответственные углы равны 37°, то эти две прямые параллельны.

2)  Через любые три точки проходит не более одной прямой.

3)  Сумма вертикальных углов равна 180°.

 

Если утверждений несколько, запишите их номера в порядке возрастания.

Решение. Проверим каждое из утверждений.

1)  По признаку параллельности прямых, если при пересечении двух прямых третьей прямой соответственные углы равны, то эти две прямые параллельны. Утверждение 1 верно, поскольку если соответственные углы равны 37°, то они равны друг другу .

2)  Через любые три точки проходит не более одной прямой. Утверждение верно, через любые три точки либо нельзя провести прямую, если они не лежат на одной прямой, либо можно провести одну прямую, если они лежат на одной прямой.

3)  Вертикальные углы равны по построению, при этом их сумма равна 180°, только если эти углы прямые, утверждение 3 неверно.

 

Ответ: 12.

Ответ: 12

27.  Тип 19 № 311915

Укажите номера верных утверждений.

 

1)  Площадь трапеции равна половине высоты, умноженной на разность оснований.

2)  Через любые две точки можно провести прямую.

3)  Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести единственную прямую, перпендикулярную данной прямой.

 

Если утверждений несколько, запишите их номера в порядке возрастания.

Решение. Проверим каждое из утверждений.

1)   «Площадь трапеции равна половине высоты, умноженной на разность оснований.»  — неверно, площадь трапеции равна половине высоты, умноженной на сумму оснований.

2)  «Через любые две точки можно провести прямую.»  — верно, это аксиома геометрии.

3)  «Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести единственную прямую, перпендикулярную данной прямой.»  — верно, это теорема планиметрии.

 

Ответ: 23.

Ответ: 23

28.  Тип 19 № 311959

Укажите номера верных утверждений.

 

1)  В любую равнобедренную трапецию можно вписать окружность.

2)  Диагональ параллелограмма делит его углы пополам.

3)  Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.

 

Если утверждений несколько, запишите их номера в порядке возрастания.

Решение. Проверим каждое из утверждений.

1)  «В любую равнобедренную трапецию можно вписать окружность.»  — неверно, не в любую равнобедренную трапецию можно вписать окружность.

2)  «Диагональ параллелограмма делит его углы пополам.»  — неверно, диагональ параллелограмма делит его углы пополам только в том случае, когда параллелограмм является ромбом.

3)  «Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.»  — верно, это теорема планиметрии.

 

Ответ: 3.

Ответ: 3

29.  Тип 19 № 314814

Какие из данных утверждений верны? Запишите их номера.

 

1)  Вокруг любого треугольника можно описать окружность.

2)  Если в параллелограмме диагонали равны и перпендикулярны, то этот параллелограмм  — квадрат.

3)  Площадь трапеции равна произведению средней линии на высоту.

 

Если утверждений несколько, запишите их номера в порядке возрастания.

Решение. Проверим каждое из утверждений.

 

1)  «Вокруг любого треугольника можно описать окружность»  — верно, по свойству треугольника.

2)  «Если в параллелограмме диагонали равны и перпендикулярны, то этот параллелограмм  — квадрат»  — верно; из всех параллелограммов только в квадрате диагонали равны и перпендикулярны одновременно.

3)  «Площадь трапеции равна произведению средней линии на высоту»  — верно, по свойству трапеции.

 

Ответ: 123.

Ответ: 123

30.  Тип 19 № 314818

Какие из данных утверждений верны? Запишите их номера.

 

1)  Каждая из биссектрис равнобедренного треугольника является его медианой.

2)  Диагонали прямоугольника равны.

3)  У любой трапеции боковые стороны равны.

 

Если утверждений несколько, запишите их номера в порядке возрастания.

Решение. Проверим каждое из утверждений.

1)  «Каждая из биссектрис равнобедренного треугольника является его медианой»  — неверно, верным будет утверждение «Каждая из биссектрис равностороннего треугольника является его медианой».

2)  «Диагонали прямоугольника равны»  — верно, по свойству прямоугольника.

3)  «У любой трапеции боковые стороны равны»  — неверно, т. к. боковые стороны равны только у равнобедренной трапеции.

 

Ответ: 2.

Ответ: 2

31.  Тип 19 № 314894

Какие из данных утверждений верны? Запишите их номера.

 

1)  Если при пересечении двух прямых третьей прямой накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

2)  Диагональ трапеции делит ее на два равных треугольника.

3)  Если в ромбе один из углов равен 90° , то такой ромб  — квадрат.

 

Если утверждений несколько, запишите их номера в порядке возрастания.

Решение. Проверим каждое из утверждений.

1)  «Если при пересечении двух прямых третьей прямой накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны»  — верно,по признаку параллельных прямых.

2)  «Диагональ трапеции делит ее на два равных треугольника»  — неверно; верным будет утверждение: «Диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника».

3)  «Если в ромбе один из углов равен 90° , то такой ромб  — квадрат»  — верно, т. к. если один из углов ромба равен 90°, то и остальные равны 90°.

 

Ответ: 13.

Ответ: 13

32.  Тип 19 № 316233

Укажите номера верных утверждений.

 

1)  Смежные углы равны.

2)  Любые две прямые имеют ровно одну общую точку.

3)  Если угол равен 108°, то вертикальный с ним равен 108°.

 

Если утверждений несколько, запишите их номера в порядке возрастания.

Решение. Проверим каждое из утверждений.

1)  «Смежные углы равны»  — неверно, смежные углы и связаны соотношением:

2)  «Любые две прямые имеют ровно одну общую точку»  — неверно, прямые могут также быть параллельны, тогда точек пересечения нет, или совпадать, тогда точек пересечения бесконечно много.

3)  «Если угол равен 108°, то вертикальный с ним равен 108°»  — верно по свойству вертикальных углов.

 

Ответ: 3.

Ответ: 3

33.  Тип 19 № 316286

Укажите номера верных утверждений.

 

1)  Если угол равен 47°, то смежный с ним равен 153°.

2)  Если две прямые перпендикулярны третьей прямой, то эти две прямые параллельны.

3)  Через любую точку проходит ровно одна прямая.

 

Если утверждений несколько, запишите их номера в порядке возрастания.

Решение. Проверим каждое из утверждений.

1)  «Если угол равен 47°, то смежный с ним равен 153°»  — неверно, сумма смежных углов равна 180°.

2)  «Если две прямые перпендикулярны третьей прямой, то эти две прямые параллельны»  — верно, по признаку параллельности прямых.

3)  «Через любую точку проходит ровно одна прямая»  — неверно через одну точку проходит бесконечное множество прямых.

 

Ответ: 2.

 

Примечание.

Не следует думать, что вопрос «какие утверждения верные?» подразумевает, что в ответе должно быть несколько утверждений. Так же, как задача «решите уравнение» не подразумевает, что решение вообще есть.

Ответ: 2

34.  Тип 19 № 316323

Укажите номера верных утверждений.

 

1)  Любые три прямые имеют не более одной общей точки.

2)  Если угол равен 120°, то смежный с ним равен 120°.

3)  Если расстояние от точки до прямой больше 3, то и длина любой наклонной, проведенной из данной точки к прямой, больше 3.

 

Если утверждений несколько, запишите их номера в порядке возрастания.

Решение. Проверим каждое из утверждений.

1)  «Любые три прямые имеют не более одной общей точки»  — верно. Если прямые имеют две и более общих точек, то они совпадают. (См. комментарии к задаче.)

2)  «Если угол равен 120°, то смежный с ним равен 120°»  — неверно. Сумма смежных углов равна 180°.

3)  «Если расстояние от точки до прямой больше 3, то и длина любой наклонной, проведенной из данной точки к прямой, больше 3»  — верно. Т. к. расстояние  — длина кратчайшего отрезка до прямой, а все наклонные  — длиннее.

 

Ответ: 13.

Ответ: 13

35.  Тип 19 № 316349

Укажите номера неверных утверждений.

 

1)  При пересечении двух параллельных прямых третьей прямой сумма накрест лежащих углов равна 180°.

2)  Диагонали ромба перпендикулярны.

3)  Центром окружности, описанной около треугольника, является точка пересечения его биссектрис.

 

Если утверждений несколько, запишите их номера в порядке возрастания.

Решение. Проверим каждое из утверждений.

1)  «При пересечении двух параллельных прямых третьей прямой сумма накрест лежащих углов равна 180°»  — неверно, накрест лежащие углы равны.

2)  «Диагонали ромба перпендикулярны»  — верно, по свойству ромба.

3)  «Центром окружности, описанной около треугольника, является точка пересечения его биссектрис»  — неверно,верным будет утверждение: «Центром окружности, описанной около треугольника, является точка пересечения его серединных перпендикуляров».

В ответ требуется записать номера неверных утверждений, следовательно, ответ  — 13.