Подготовка к профильному ЕГЭ по математике. Задание 1.

Задание 1 (ЕГЭ профиль).

1. Один острый угол прямоугольного треугольника на 74⁰ больше другого. Найдите больший острый угол. Ответ дайте в градусах.

2. В треугольнике ABC стороны AC и BC равны. Внешний угол при вершине B равен 110⁰. Найдите угол C. Ответ дайте в градусах.

3. Сумма двух углов треугольника и внешнего угла к третьему равна 144⁰. Найдите этот третий угол. Ответ дайте в градусах.

4. Один острый угол прямоугольного треугольника в 7/2 раза больше другого. Найдите больший острый угол. Ответ дайте в градусах.

5. В треугольнике ABC угол C равен 90⁰, CH – высота, угол A равен 44⁰. Найдите угол BCH. Ответ дайте в градусах.

6. В треугольнике ABC угол A равен 40⁰, CH – высота, угол BCH равен 32⁰. Найдите угол ACB. Ответ дайте в градусах.

7. В треугольнике ABC угол C равен 55⁰, AD – биссектриса, угол BAD равен 35⁰. Найдите угол ADB. Ответ дайте в градусах.

8. В треугольнике ABC AC = BC, AD – высота, угол BAD равен 42⁰. Найдите угол C. Ответ дайте в градусах.

9. В треугольнике ABC угол ACB равен 90⁰, угол B равен 38⁰, CD – медиана. Найдите угол ACD. Ответ дайте в градусах.

10. Два угла треугольника равны 41⁰ и 85⁰. Найдите тупой угол, который образуют высоты треугольника, выходящие из вершин этих углов. Ответ дайте в градусах.

11. В треугольнике ABC угол C равен 148⁰, AD и BE – биссектрисы, пересекающиеся в точке O. Найдите угол AOB. Ответ дайте в градусах.

12. В треугольнике ABC CH – высота, AD – биссектриса, O – точка пересечения прямых CH и AD, угол BAD равен 14⁰. Найдите угол AOC. Ответ дайте в градусах.

13. В треугольнике ABC угол B равен 15⁰, угол C равен 37⁰, AD –биссектриса, E – такая точка на AB, что AE = AC. Найдите угол BDE. Ответ дайте в градусах.

14. В треугольнике ABC угол A равен 26⁰, угол B равен 76⁰, CD –биссектриса внешнего угла при вершине C, причём точка D лежит на прямой AB. На продолжении стороны AC за точку C выбрана такая точка E, что CE = CB. Найдите угол BDE. Ответ дайте в градусах.

15. В треугольнике ABC угол A равен 53⁰, угол B равен 65⁰. AD, BE, CF – высоты, пересекающиеся в точке O. Найдите угол AOF. Ответ дайте в градусах.

16. Катеты прямоугольного треугольника равны 21 и . Найдите гипотенузу.

17. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 42. Один из его катетов равен . Найдите другой катет.

18. Диагонали параллелограмма образуют с двумя его сторонами углы 28⁰ и 4⁰. Найдите больший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

19. Найдите диагональ прямоугольника, две стороны которого равны 23 и .

20. Найдите сторону квадрата, диагональ которого равна 2

21. В квадрате расстояние от точки пересечения диагоналей до одной из его сторон равно 1. Найдите периметр этого квадрата.

22. Чему равен больший угол равнобедренной трапеции, если известно, что разность противолежащих углов равна 54⁰?. Ответ дайте в градусах.

23. Найдите среднюю линию трапеции, если её основания равны 14 и 28.

24. Средняя линия трапеции равна 16,5, а меньшее основание равно 15. Найдите большее основание трапеции.

25. Биссектриса тупого угла параллелограмма делит противоположную сторону в отношении 2 : 7, считая от вершины острого угла. Найдите большую сторону параллелограмма, если его периметр равен 66.

26. Точка пересечения биссектрис двух углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, принадлежит противоположной стороне. Меньшая сторона параллелограмма равна 31. Найдите его большую сторону.

27. Прямая, проведённая параллельно боковой стороне трапеции через конец меньшего основания, равного 16, отсекает треугольник, периметр которого равен 33. Найдите периметр трапеции.

28. Перпендикуляр, опущенный из вершины тупого угла на большее основание равнобедренной трапеции, делит его на части, имеющие длины 80 и 44. Найдите среднюю линию этой трапеции.

29. Основания трапеции относятся как 3 : 11, а средняя линия равна 63. Найдите меньшее основание.

30. Средняя линия трапеции равна 61, а одно из её оснований больше другого на 34. Найдите большее основание этой трапеции.

31. Средняя линия трапеции равна 14. Одна из диагоналей делит её на два отрезка, разность которых равна 4. Найдите большее основание трапеции.

32. Основания трапеции равны 18 и 74. Найдите отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции.

33. Найдите центральный угол AOB, если он на 37⁰ больше вписанного угла ACB, опирающегося на ту же дугу. Ответ дайте в градусах.

34. Центральный угол на 38⁰ больше острого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу окружности. Найдите вписанный угол. Ответ дайте в градусах.

35. Хорда AB делит окружность на две дуги, градусные меры которых относятся как 5 : 7. Под каким углом видна эта хорда из точки C, принадлежащей меньшей дуге окружности? Ответ дайте в градусах.

36. Отрезки AC и BD – диаметры окружности с центром в точке O. Угол ACB равен 51⁰. Найдите угол AOD. Ответ дайте в градусах.

37. Стороны четырёхугольника ABCD AB, BC, CD, AD стягивают дуги описанной окружности, градусные величины которых равны соответственно 95⁰, 45⁰, 124⁰, 96⁰. Найдите угол B этого четырёхугольника. Ответ дайте в градусах.

38. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABD равен 69⁰, угол CAD равен 67⁰. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.

39. Хорда AB стягивает дугу окружности в 42⁰. Найдите угол ABC между этой хордой и касательной к окружности, проведённой через точку B. Ответ дайте в градусах.

40. Через концы A и B дуги окружности с центром O проведены касательные AC и BC. Меньшая дуга AB равна 100⁰. Найдите угол ACB. Ответ дайте в градусах.

41. Касательные CA и CB к окружности образуют угол ACB, равный 84⁰. Найдите величину меньшей дуги AB, стягиваемой точками касания. Ответ дайте в градусах.

42. Найдите угол ACO, если его сторона CA касается окружности, O – центр окружности, сторона CO пересекает окружность, в точке B, а меньшая дуга окружности AB равна 32⁰. Ответ дайте в градусах.

43. Найдите угол ACB, если вписанные углы ADB и DAE опираются на дуги окружности, градусные меры которых равны 145⁰ и 75⁰. Ответ дайте в градусах.

44. В ромбе ABCD угол ACB равен 44⁰. Найдите угол CDA. Ответ дайте в градусах.

45. Найдите радиус окружности, описанной около прямоугольника, две стороны которого 13 и .

46. Найдите высоту трапеции, в которую вписана окружность радиуса 32.

47. Около трапеции описана окружность. Периметр трапеции равен 60, средняя линия равна 25. Найдите боковую сторону трапеции.

48. В треугольнике ABC AC = 8, BC = 6, угол C равен 90⁰. Найдите радиус вписанной окружности.

49. Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 17 и 2, считая от вершины, противолежащей основанию. Найдите периметр треугольника.

50. Около окружности описана трапеция, периметр которой равен 30. Найдите длину её средней линии.

51. В четырёхугольник ABCD, периметр которого равен 26, вписана окружность, AB = 5. Найдите CD.

52. В четырёхугольник ABCD вписана окружность, AB = 8, BC = 10, CD = 37. Найдите четвёртую сторону четырёхугольника.

53. Найдите площадь квадрата, если его диагональ равна 1.

54. Найдите площадь параллелограмма, если две его стороны равны 42 и 10, а угол между ними равен 30⁰.

55. Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его катеты равны 10 и 20.

56. Найдите площадь треугольника, две стороны которого равны 28 и 16, а угол между ними равен 30⁰.

57. Основания трапеции 4 и 25, высота – 2. Найдите площадь трапеции.

58. Найдите площадь сектора круга радиуса 14, длина дуги которого равна 2.

59. Стороны параллелограмма 20 и 110. Высота, опущенная на первую из этих сторон, равна 66. Найдите высоту, опущенную на вторую сторону параллелограмма.

60. Площадь параллелограмма равна 36, две его стороны равны 12 и 24. Найдите большую высоту этого параллелограмма.

61. Найдите площадь ромба, если его диагонали равны 19 и 6.

62. В треугольнике со сторонами 2 и 10 проведены высоты к этим сторонам. Высота, проведённая к первой из этих сторон, равна 5. Чему равна высота, проведённая ко второй стороне?

63. Периметр треугольника равен 60, а радиус вписанной окружности равен 5. Найдите площадь этого треугольника.

64. Площадь треугольника ABC равна 64, DE – средняя линия. Найдите площадь треугольника CDE.

65. В треугольнике ABC DE – средняя линия. Площадь треугольника ADE равна 12. Найдите площадь треугольника ABC.

66. Площадь параллелограмма ABCD равна 60. Точка E – середина стороны CD. Найдите площадь треугольника ADE.

67. Площадь параллелограмма ABCD равна 15. Найдите площадь параллелограмма, вершинами которого являются середины сторон параллелограмма ABCD.

68. Площадь параллелограмма ABCD равна 6. Точка E – середина стороны AB. Найдите площадь трапеции EBCD.

69. Площадь треугольника ABC равна 40, DE – средняя линия, параллельная стороне AB. Найдите площадь трапеции ABED.

70. Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 40, основание равно 48. Найдите радиус описанной окружности этого треугольника.

71. Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 17, основание равно 30. Найдите радиус вписанной окружности.

72. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 20, основание равно 42. Найдите площадь треугольника.

73. Основания равнобедренной трапеции равны 2 и 18, а её боковые стороны равны 17. Найдите площадь трапеции.

74. Основания равнобедренной трапеции равны 11 и 21, а её периметр равен 58. Найдите площадь трапеции.

75. В прямоугольном треугольнике угол между высотой и медианой, проведёнными из вершины прямого угла, равен 28⁰. Найдите больший из острых углов этого треугольника. Ответ дайте в градусах.

76. В треугольнике ABC угол C равен 90⁰, cos A= 4/5. Найдите sin B.

77. В треугольнике ABC угол A равен 56⁰, углы B и C острые, высоты BD и CE пересекаются в точке O. Найдите угол DOE. Отчет дайте в градусах.

78. Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, которая составляет 2/9 окружности. Ответ дайте в градусах.

79. Острые углы прямоугольного треугольника равны 69⁰ и 21⁰. Найдите угол между биссектрисой и медианой, проведёнными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.

80. В треугольнике ABC угол A равен 29⁰, AC = BC. Найдите угол C.

81. В треугольнике ABC AC = BC угол C равен 120⁰, AB = . Найдите AC.

82. Диагонали трапеции ABCD с основаниями AB и CD пересекаются в точке M. Найдите MC, если AB = 11, DC = 33, AC = 28.

83. В треугольнике ABC угол A равен 112⁰, внешний угол при вершине B равен 170⁰. Найдите угол C. Ответ дайте в градусах.

84. Углы треугольника относятся как 1 : 6 : 11. Найдите больший из них. Ответ дайте в градусах.

85. Один угол параллелограмма больше другого на 6⁰. Найдите больший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

86. Сумма двух углов параллелограмма равна 4⁰. Найдите один из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.

87. Сумма двух углов равнобедренной трапеции равна 44⁰. Найдите меньший угол трапеции. Ответ дайте в градусах.

88. Сумма трёх углов выпуклого четырёхугольника равна 340⁰. Найдите его четвёртый угол. Ответ дайте в градусах.

89. Найдите вписанный угол, опирающиёся на дугу, которая составляет 1/2 окружности. Ответ дайте в градусах.

90. Найдите вписанный угол, опирающиёся на дугу, которая составляет 2/3 окружности. Ответ дайте в градусах.

91. Угол A четырёхугольника ABCD, вписанного в окружность, равен 10⁰. Найдите угол C четырёхугольника. Ответ дайте в градусах.

92. Два угла вписанного в окружность четырёхугольника равны 82⁰ и 58⁰. Найдите меньший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.

93. В треугольнике ABC угол C равен 90⁰, cos A = . Найдите tg A.

94. В треугольнике ABC угол C равен 90⁰, tg A = . Найдите sin A.

95. В треугольнике ABC угол C равен 90⁰, CH – высота, AC = 4, AH = . Найдите cos B.

96. В треугольнике ABC AC = BC = 20, AB = 12. Найдите cos A.

97. В треугольнике ABC AC = BC, AB = 15, высота AH равна 3. Найдите sin A.

98. В тупоугольном треугольнике ABC AB = BC, AC = 5, CH – высота, AH = . Найдите синус угла ACB.

99. В треугольнике ABC угол C равен 90⁰, AB = 2 , BC = 6. Найдите тангенс внешнего угла при вершине A.

100. В треугольнике ABC AC = BC = 25, AB = 14. Найдите синус внешнего угла при вершине B.

101. В тупоугольном треугольнике ABC AB = BC, CH – высота, AB = 10, BH = 6. Найдите синус угла ABC.

102. В треугольнике ABC AC = BC, AB = 12, cos A = . Найдите высоту CH.

103. В треугольнике ABC AC = BC = 25, sin B = . Найдите AB.

104. В треугольнике ABC AC = BC, AB = 3, sin A = . Найдите AC.

105. Один угол в равнобедренном треугольнике на 90⁰ больше другого. Найдите меньший угол.

106. В треугольнике ABC угол A равен 72⁰, BD и CE высоты, пересекающиеся в точке O. Найдите угол DOE. Ответ дайте в градусах.

107. В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C угол A равен 24⁰ . Найдите угол между биссектрисой CD и медианой CM, проведёнными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.