Понятие арифметической задачи и ее роль в начальном курсе математики. Логические приёмы мышления, применяемые в процессе решения арифметических задач

Понятие арифметической задачи и ее роль в начальном курсе математики. Логические приёмы мышления, применяемые в процессе решения арифметических задач

Обучение решению арифметических задач, а также полное математическое образование для обучающихся начальной школы является одной из основных образовательных целей. Обучение решению задач в начальной школе способствует развитию, углублению и обобщению математических знаний и умений, а также усвоению обучающимися математических положений. Способность решать задачи позволяет детям использовать свои навыки в различных жизненных ситуациях.

Начальный курс по математике изучается по системе правильно выбранных заданий. Арифметические задачи занимают значительное место в этой системе. Для методистов понятие «задача» (арифметическая задача) имеют разные интерпретации.

Согласно А.В. Белошистой, задача - ‬это «специальный текст, в котором обрисована некая житейская ситуация, охарактеризованная численными компонентами».¹

Т.Е. Демидова и А.П. Тонких понимают задачу как «описание некоторой ситуации (явления, процесса) на естественном и (или) математическом языке с требованием … дать количественную характеристику какого - то компонента этой ситуации (определить числовое значение некоторой величины по известным числовым значениям других величин и зависимостями между ними)…».²

Таким образом, арифметическая задача представляет собой текст с описанием ситуации, в которой содержатся числа, косвенно дана связь между ними, и требуется использовать эти числа, чтобы найти число для предложенной ситуации (или доказать, что число не может быть найдено).

С начала XX века и до настоящего времени российская методика обучения математике приняла разделение арифметических задач на простые и сложные задачи. Педагогический подход, согласно которому дети сначала решают простые задачи (решают с помощью одного арифметического действия), а затем сложные задачи (решают более одного арифметического действия) по двум причинам: определение процесса принятия решения путем выбора и выполнения арифметических действий и формально понимаемым принципом обучения «от простого к сложному» (Я.А.Коменский).³

Любая арифметическая задача состоит из двух частей - условия и требования (вопроса). Условие учитывает информацию об объектах и некоторые числовые данные объекта, а также известные и неизвестные значения между ними. Требования к задаче указывают, что нужно найти. Это выражается в повелительной или вопросительной форме.

Прежде всего, обучающийся должен знать, что такое арифметическая задач. Цель подготовительного периода - представить перевод различных реальных явлений на язык математических символов и знаков.

При введении термина «задача» необходимо опираться на различные упражнения, чтобы показать на рисунке разницу между задачей и упражнениями, которые они выполняли по картинке. Наглядность при решении арифметических задач не позволяет обучающимся ответить на вопрос путем пересчета, а ставит их перед необходимостью выбора арифметического действия.

Работа по развитию умения решать арифметические задачи начинается в первые дни школы. Первые шаги в решении простых задач не вызывают никаких затруднений у обучающихся. Однако решение составных задач самостоятельно оказывается не по силам многим, и из класса в класс эти ученики испытывают все больше трудностей. Причина трудностей заключается в том, что у обучающихся не сформировано умение анализа текста задачи, различий между известным и неизвестным, умения установить связь между ними, которая является основой для выбора действий для решения арифметической задачи.

Принимая во внимание теоретические аспекты осмысления понятия арифметической задачи, следует обратить внимание на виды работ, выполняемых над ней. Теоретически выделяют 6 видов работ, связанных с арифметической задачей.⁴

1. Выполненное действие ученики записывают математическими знаками, т.е. решают задачу и отвечают на поставленный вопрос.

2. Составление условия к данному вопросу. Учитель предлагает создать условие к вопросу: «Сколько фломастеров в двух коробках?» Обоснование: «Чтобы узнать, сколько фломастеров в двух коробках, надо знать, сколько фломастеров в первой коробке и сколько во второй». В качестве наглядности можно взять одну коробку, на которой будет написано число «2». Можно улучшить наглядность с помощью действий - взять все фломастеры из первого коробки и присоединить к ним фломастеры из второй коробки, исключая возможность пересчета. Обучающиеся записывают выполненные действия с помощью математических знаков, то есть решают задачу и отвечают на вопрос.

3. Постановка вопроса к данному условию. «На одной полке 5 журналов, а на другой – на 2 журнала больше», какой вопрос можно поставить к данному условию, чтобы получить задачу? Выяснить: что значит на 2 журнала больше; на какой полке журналов больше и почему; как узнать число журналов на второй полке. Этот вид задач формирует умение анализировать данные условия задачи.

4. Решение задач с лишними данными. «На дереве сидело 8 воробьев. Сначала улетели 3 воробья, а потом еще 2 прилетели. Сколько воробьев улетело?». Такие задачи сталкивают обучающихся с реальной ситуацией, требуют внимательного отношения к анализу текста арифметической задачи.

5. Использование задач с недостающими данными. «У Гали 4 яблок. Сколько яблок у Гали и Леры?». Здесь требуется проведения определенного анализа задачи: данных известных и неизвестных; что еще необходимо знать, чтобы ответить на вопрос задачи.

6. Составление задач, обратных данной. «Летние каникулы продолжались 92 дня. Из них 21 день Саша провел в городе, а остальные дни в деревне. Сколько дней Саша провел в деревне?». После анализа задачи и её решения обучающиеся составляют задачу, обратную данной. «Летние каникулы продолжались 92 дня. Несколько дней Саша провел в городе, а 57 дней – в деревне. Сколько дней Саша провел в городе?» или «30 дней летних каникул Саша провел в городе, а 62 дня – в деревне. Сколько дней продолжались летние каникулы?». Эта работа проводится для проверки правильности решения задачи.

7. Решение нестандартных задач (логических, комбинаторных, на смекалку). «Каждая из девочек – Даша и Лера - пошла в кино со своей бабушкой. Сколько человек пошли в кино?». Ответа может быть два: трое или четверо. Если девочки сестры, то бабушка у них одна и в кино пойдут 3 человека. А если девочки подруги, то в кино пойдут 4 человека. При решении таких задач развивается логическое мышление, наблюдательность, опора на связь с жизненной ситуацией.

Обучение решению любых арифметических задач состоит из нескольких этапов: знакомство с содержанием задачи, поиск решения задачи, решение задачи, проверка решения задачи. Следуя этим этапам, можно развить умения и навыки для решения задач. Но, кроме того, существует необходимость целенаправленного развития обучающихся, развития мыслительных операций.⁵ Для формирования мыслительных операций при обучении решению задач в начальной школе можно использовать разные логические приемы мышления, применяемые в процессе решения арифметических задач.

В структуре мышления выделяют следующие логические приемы мышления – логические операции: анализ, синтез, абстракция, обобщение, сравнение, конкретизация, классификация.

Сравнение - наиболее элементарная и в то же время чрезвычайно существенная мыслительная операция Она строится на составлении двух или нескольких однородных, но разных предметов.

Для того чтобы установить сходство и различие двух (или нескольких) предметов, человек мысленно дробит каждый из них на части, выделяет их признаки (анализ) и, сопоставляя, устанавливает их совпадение или различие (синтез).

Путем сравнения обучающиеся легче устанавливают общее в разном и различное в сходном.

Сравнение у детей младшего школьного возраста, как синтез и анализ, имеет много особенностей. Особенность заключается в том, что сравнения часто сравнивают с простым расположением объектов: сначала ученик рассказывает, что он знает об одном объекте, явлении, а затем о другом. Младшим ученикам часто трудно сравнивать объекты и явления, потому что они не могут составить план сравнения самостоятельно, поэтому необходимо разработать целенаправленную работу для разработки операции сравнения.

Классификация производная от сравнения и более сложная операция.

На основе сходства основных признаков или более частных сторон предметы объединяются в группы: классы, рода, виды.

Анализ - дробление, членение какого-то целого на части, дифференцировка, выделение какой-либо стороны, отдельных частей, признаков.

Развитие анализа идет от практически действенного к чувственному и в дальнейшем к умственному.

У младших школьников преобладающим является практически-действенный и практический анализ.

При комплексном анализе усвоение учебного материала является более полным, поскольку обучающиеся более или менее принимают во внимание все части или свойства изучаемого предмета, но еще не установили связь между ними, то есть они просто перечисляют выделенные части или свойства объекта в одном порядке.

На следующем этапе развития анализа младшие школьники производят системный анализ изучаемых предметов и явлений. Они располагают части и свойства предметов в определенной системе.

Синтез - соединение частей, сторон признаков, группировка какого-то целого.

Хотя анализ, кажется, противоречит синтезу, они никогда не существуют отдельно, но как две стороны единого процесса или способа мышления. Взаимозависимость и взаимозависимость анализа и синтеза составляют суть и ядро мыслительного.

Систематизация - группировка предметов или явлений, но уже не столь по сходству их основных признаков, с такими же предметами целого класса, но и выделение в этой группе более мелких подгрупп, видов, разрядов.

Обобщение - мысленное объединение предметов и явлений на основе сходства их существенных признаков и отвлечениях от признаков второстепенных, несущественных.

Абстрагирование - в учебном процессе, как известно, заключается в мысленном отвлечении от ряда сторон и признаков изучаемого объекта и вы­деление тех признаков, которые нужны в зависимости от изучения.

Абстрагирование является такой мыслительной операцией, без которой невозможно овладение представлениями и понятиями.

Развитие логического мышления предполагает использование операции абстрагирования.

Обучение детей абстрактным упражнениям означает, что они могут развить общие, постоянно повторяющиеся и действительно существенные признаки большого круга. Для этого необходимо выбрать для наблюдения относительно большое количество объектов, что позволяет судить об истинном общности выделенных признаков.

Развитию логического мышления детей способствуют переходы от абстрагирования к конкретизации.

В основе операции конкретизации лежит процесс восхождения от абстрактного к конкретному.

Наиболее распространенным в школьной практике видом конкретизации является опознание на конкретном материале, выраженных в понятиях и правилах закономерностей.

Чем чаще они переходят от конкретного к абстрактному и от абстрактного к конкретному на уроке, тем более осознанным и глубоким становится материал программы. Усвоение понятий и правил происходит на основе рассмотрения отдельных объектов, знаков, схем и конкретных действий, связанных с ними. Полученные понятия и правила применяются для решения определенных конкретных задач, то есть обобщение происходит в тесном единстве с конкретизацией.

Принимая во внимание каждый этап процесса мышления, можно сделать вывод, что при наличии мыслительного действия, на этапе постановки целей, индивидуальные особенности мышления проявляются, прежде всего, в независимости и инициативности. Под независимостью мышления, имея возможность видеть и поставить новый вопрос, новую проблему и пытаться решать их особым образом. Это тесно связано с независимостью мышления и инициативы, то есть с постоянным желанием самому находить и искать методы и пути для решения задач.

Основные мыслительные операции обычно не выступают в чистом виде. Чтобы решить поставленную задачу, используется тот или иной набор операций в различных сочетаниях.

Приемы представляют собой организацию работы над задачей с использованием специальных вопросов и заданий, которые помогают детям лучше разобраться в сути арифметической задачи и ответить на конкретный вопрос. Эти задания согласованы с приемами мыслительной деятельности.⁶

1. Психологический прием мысленного составления плана - ‬прием составления алгоритма для поиска путей решения любой задачи. То есть, в процессе решения задачи можно с детьми составить общий план, пронаблюдать переходы от одного этапа к другому. В процессе наблюдения в сознании детей будут откладываться определенные способы действий, применимые к каждому этапу. Примеры этих действий:

1) Ознакомление с содержанием задачи ‬чтение разными способами (обучающихся следует специально знакомить с ними), драматизация, обыгрывание, представление жизненной ситуации, перефразирование и др.

2) Поиск путей решения задачи - ‬аналитические рассуждения или синтетические рассуждения.

3) Выполнение решения задачи разными способами: по действиям (с пояснениями или без, с вопросами, с планом), выражением с ответом.

4) Проверка решения задачи - ‬прикидка (нахождение границ искомого числа), решение другим способом, обратной задачи (если задача в 1 - ‬2 действия), установление соответствия между данными и найденным числом (подстановка найденного числа в задачу и выяснение, верное ли получилось высказывание).

2. Психологический прием выделения смысловых опорных пунктов. Потому что опорными точками могут быть отдельные слова, отношения, свойства, образы объектов или явлений. Выбор сильных пунктов активирует мыслительную деятельность, заставляя анализировать и структурировать материал. При обучении решению задач выбор сильных пунктов может соответствовать методическому приему составления дополнительной модели (моделирование). Можно перейти от словесной модели (текст задачи) к дополнительной модели, чтобы помочь решить задачу. Дополнительные модели - это образные модели, которые представляют разные виды наглядности.

Все вспомогательные модели, используемые при обучении младших школьников решению задач, можно разделить на две группы:

1) вещественные - ‬это реальные предметы действительности, с которыми возможны физические действия;

2) схематизированные.

Схематизированные модели в свою очередь могут быть: а) графические - ‬это модели, выполняемые с помощью графических средств б) знаковые - ‬это краткая запись (коротко записанное условие и вопрос задачи) и таблица (сведения о данных и искомых числах, расположенные в известном порядке по графам). Обучение составлению и использованию вспомогательных моделей задач (выделению опорных пунктов) необходимо начинать как можно раньше и своевременно переходить от вещественных моделей и рисунков к более абстрактным ‬схемам и таблицам.

Необходимость уметь выделять смысловые опорные пункты в задаче, видеть и уметь отражать отношения объектов задачи можно показать, предлагая задачи с недостающими данными.

3. Психологический прием реконструкции. Эквивалентное, неискаженное изменение объекта или явления называется реконструкцией. Частными случаями реконструкции являются обобщение и уточнение материала. При обучении решению задач правила, свойства, формулы, способы решения и рассуждениям нужно не только воспроизводить, но и давать объяснения, доказательства и различные примеры. Изучая содержание задачи, можно использовать прием переформулировки, пересказывания и перефразирования, облегчающие поиск решений. Также можно использовать задачи с лишними данными, где реконструкция будет состоять в том, что дети, проанализировав текст задачи, выделяют взаимосвязи между данными и искомыми числами и предлагают текст без лишних для ответа на вопрос данных.

4. Психологический прием соотнесения. Обучение решения любого нового типа задач должно быть основано на материале, уже изученном, чтобы создать проблемную ситуацию. Обновляя имеющиеся у детей знания, учитель может вступать в эвристический разговор, создавая условия для того, чтобы дети могли обрести знания и навыки в решении задач.

5. Психологический прием сравнения. Сравнение задач уже изученных видов с новыми, а также задач, которые немного похожи друг на друга (например, числовые данные и график похожи - разные вопросы; разные значения, которые должны решаться одинаково; один и тот же график, но разные числовые и как следствие возможность различных способов решений и т. п.).

6. Психологические приемы аналитико-синтетической деятельности. При обучении решению задач мыслительные операции анализа и синтеза развиваются в любом случае, но можно использовать образцы проведения аналитико-синтетической деятельности.

Кроме этого, нужно целенаправленно использовать специальные методические приемы для развития аналитико-синтетической деятельности.

- Анализ выражений или равенств, составленных по условию задачи, соотнесение их с различными вопросами.

- Изменение решения задачи (чисел или знаков действий) и преобразование задачи в соответствии с решением.

- Изменение вопроса задачи и преобразование решения.

- Изменение условия и наблюдение за изменениями в решении.

- Изменение ответа и, как следствие, изменение задачи.

- Дополнение условия и, как следствие, изменение решения задачи

7. Психологический прием классификации. Задачи могут быть классифицированы по различным критериям: по сюжету, числовым данным, способу решения, ответам и т. д. Рекомендуется предложить задачи для классификации, чтобы их можно было разделить на группы по разным критериям (дивергентное задание). В этом случае дети могут сразу обосновать несколько причин классификации и обосновать свою позицию.

8. Психологический прием обобщения.

Это означает, что дети должны выделять и понимать существенные признаки математических объектов, в данном случае задач. Результат обобщения можно увидеть в знании и понимании того, как решать определенные виды задач, или даже в общем способе решения задач. В частности, можно использовать методологические приемы для улучшения приема обобщения. Это прием составления задач.

Есть разные способы составления задач.

- Составление условия к вопросу, чтобы получилась задача определенного вида.

- Составление задач по аналогии.

- Составление задачи по модели. Модели можно предлагать разные, можно конкретные и подробные, а можно абстрактные и без некоторых числовых данных.

- Составление задачи по готовому решению.

- Составление вопроса к условию или условия к вопросу.

Таким образом, предложенные приемы обучения младших школьников решению задач соответствуют методикам мыслительной деятельности, направленной на развитие мыслительных операций.

^{Овладение основами математики немыслимо без решения и разбора задачи, которая является важным звеном в цепи знаний математики; эта деятельность не только активизирует изучение математики, но и прокладывает путь к глубокому пониманию ее. Понимание процесса решения заданной арифметической задачи дает толчок развитию логического мышления обучающегося.}

1^ Белошистая А.В. Методика обучения математике в начальной школе. ‬М.: ВЛАДОС, 2005. ‬C. 266.

2^ Демидова Т.Е., Тонких А.П. Теория и практика решения текстовых задач. ‬М.: Академия, 2002. ‬C. 7.

3^ Немкина, Е.С. Арифметическая задача как средство социализации младших школьников // Проблемы социализации и индивидуализации личности в образовательном пространстве: Материалы всероссийской конференции с международным участием (Белгород, 26-27 ноября 2015 г.). Белгород, 2015.

4^ Баракина, Т.В. Использование занимательных задач на уроках математики в начальной школе / Т.В. Баракина // Начальная школа : журнал . — 2017 .— №3 .— С. 32-34.

5^Белошистая, А.В. Методика обучения математике в начальной школе. – М. : Владос, 2016. – 455 с.

6^ Шелыгина О.Б. Приемы формирования познавательных логических универсальных учебных действий при обучении младших школьников решению задач// Инновационные процессы в начальном общем образовании: проблемы реализации Федерального государственного образовательного стандарта. Ч.II: сб. ст. по материалам Всерос. науч.практ. конф. с междунар. участием, 2015 г. / под общ. ред. М. А. Худяковой. ‬Пермь:Перм. гос. гуманит. унт, 2015. ‬С. 249‬255.