Понятие комплексного числа. Действия с комплексными числами в алгебраической форме.

Тема: Понятие комплексного числа. Действия с комплексными числами в алгебраической форме.

Цели:

Образовательные: расширить понятие числа, ввести понятие комплексного числа, действия над комплексными числами, заданными в алгебраической форме.

Воспитательные: прививать интерес к математике, ознакомить обучающихся с историей развития комплексных чисел.

Развивающие: развивать творческое мышление, пространственное мышление, научить применять теоретические знания при решении практических задач, формировать активность и самостоятельность при работе в группах.

Вид занятия: усвоение новых знаний.

План занятия:

1. Организационный момент.

2. Изучение нового материала.

3. Закрепление нового материала.

4. Контроль и самопроверка знаний.

5. Рефлексия.

6. Домашнее задание.

Ход занятия:

1. Организационный момент.

Приветствие студентов, перекличка и отметка отсутствующих в журнале.

1. Изучение нового материала.

После того как мы определили тему занятия, давайте послушаем краткую историю возникновения комплексных чисел. Выступает студент с сообщением (Приложение 1, примерный текст сообщения). Остальные делают записи в тетрадях.

После того как все прослушали сообщение выступающего, предлагается ответить на вопросы:

1. В каком веке появилась необходимость извлечение квадратного корня из отрицательного числа?

2. Кто ввел в обиход понятие «мнимые» числа?

3. Кто изменил название «мнимые числа» на «комплексные»?

Запишем в тетрадях:
Определение: комплексными числами называются числа вида , где а и b- действительные числа, а число i, определяемое равенством i² = –1, называется мнимой единицей.

Запись комплексного числа в виде , называется алгебраической формой записи комплексного числа.

Определение: комплексное число  называется комплексно-сопряженным с числом  и обозначается 

Определение: Модулем комплексного числа , называется число 

Правило сложения:

Решим пример

(3+5i)+(6+3i)=9+8i

Правило вычитания:

Решим пример

(4+2i)–(1+5i)=3–3i

Правило умножения:

Решим пример

(2+5i)·(4+2i)=8+4i+20i+10i²=8+24i–10=–2+24i

Правило деления:

Решим пример

1. Закрепление нового материала.

Тренировочные упражнения №1 (Приложение 2).

Выполняется у доски, желающие делают самостоятельно на оценку, в конце пары сдаются тетради на проверку.

1. Контроль и самопроверка знаний.

Самостоятельная работа

Раздаются карточки с заданиями для самостоятельной работы.

6 вариантов (Приложение 3)

1. Рефлексия.

О каком множестве чисел вы сегодня узнали?

Кто ввел понятие «комплексные числа»?

Можно ли вычислить корень из отрицательного числа?

1. Домашнее задание.

1. Найти модуль комплексного числа: 

2. Решить уравнение:

3. Выполнить деление: 

Приложение 1.

Примерное сообщение студента

История развития числа уходит корнями в древние времена. В VIII в. Ученые знали, что у положительного числа существует два квадратных корня: один –положительное число, другой – отрицательное, но считали, что из отрицательных чисел нельзя извлекать квадратный корень.

В XVI в. В связи с изучением решений кубических уравнений возникла необходимость извлечения квадратных корней из отрицательных чисел. В 1545 г. итальянский математик Дж. Кардано (1501-1576) опубликовал работу «Великое искусство», в которой привел формулу корней кубического уравнения, для которой понадобились числа новой природы, которые он назвал «чисто отрицательными» или «софистически отрицательными» и считал их бесполезными.

Однако, уже в 1572 г. в книге другого итальянского математика Р. Бомбелли (1530-1572) были изложены правила арифметических действий над комплексными числами в том виде, в каком они известны и нам. В те времена комплексные числа называли мнимыми. Такое название ввел в обиход Р.Декарт, а обозначать буквой i предложил в 1777 г. Л.Эйлер. В математической литературе символ i широко стал использоваться после публикации в 1831 г. работы немецкого математика К. Гаусса (1777-1855) «Теория биквадратных остатков». В этой работе Гаусс заменил название «мнимых чисел» на комплексные и окончательно закрепил для науки геометрическую интерпретацию комплексного числа как точки координатной плоскости. Позднее комплексные числа также стали изображать с помощью векторов на координатной плоскости.

Так же значительный вклад в развитие теории функций комплексной переменной внести видные отечественные математики М.В. Келдыш, М.А. Лаврентьев, Н.Н. Боголюбов и др.

Приложение 2.

Тренировочные упражнения

1. Найти действительные числа х и у, если:

1. 6х+3уi=4+2i

2. х-3уi=-5-i

3. х-(4-у)i=-i

4. х-(х+у)i=3+2i

5. (х+у)+(х-у)i=8+2i

1. Найти сумму комплексных чисел:

1. (1+i)+(-1-i)

2. 

3. 

4. (-2i)+()

5. (-4+3i)+(4-3i)

1. Найти произведение комплексных чисел:

1. (-5+i)(-6-3)

2. 

3. 

4. (5-3i)(2-5i)

5. (4+7i)(2-i)

1. Найти разность комплексных чисел:

1) 

2) ()-(2)

3) (7+2i)-(3+2i)

4) (4+i)-(-5+i)

5) (4+3i)-(4-3)

5. Найти частное двух комплексных чисел:

1) 

2) 

3) 

4) 

5) 

6. Найти модуль и главное значение аргумента:

1) z=i 2) z=-5i 3) z=-1+i 4) z=2-2i 5) z=3 6) z=-3 7) z=3i 8) z=-3i

9) z=-2-2i 10) z=1+i 11) z=1-i 12) z=i 13) z=-1+i

14) z=i

7. Решить уравнение:

1) (2+3i)+z=-4+i 2) (-1+2i)+z=5 -i

3)  4) 6-i=z+(5-)i

Приложение 3.

Самостоятельная работа

Вариант № 1

1. Даны комплексные числа: .

Вычислить: а) , б), в), г) , д), е)

1. Упростить выражение:

1. (a+2bi)+(a-3bi)

2. (2a+3bi)(2a-3bi)

1. Найти частное комплексных чисел:

Вариант № 2

1. Даны комплексные числа: .

Вычислить: а) , б), в), г) , д), е)

1. Упростить выражение:

1. (4a+5bi)+(-3a-5bi)

2. (2a+3bi)(3b+2ai)

1. Найти частное комплексных чисел:

Вариант № 3

1. Даны комплексные числа: .

Вычислить: а) , б), в), г) , д), е)

1. Упростить выражение:

1. (a+5bi) (-3a-bi)

2. (4a+3bi)(5b+ai)

1. Найти частное комплексных чисел:

Вариант № 4

1. Даны комплексные числа: .

Вычислить: а) , б), в), г) , д), е)

1. Упростить выражение:

1. (4-3i)-(1+2i)(2-3i)

2. (1+i)(2-3i)

1. Найти частное комплексных чисел:

Вариант № 5

1. Даны комплексные числа: .

Вычислить: а) , б), в), г) , д), е)

1. Упростить выражение:

1. (1-2i)- (5+7i)(2-i)

2. (-4+2i)(5+i)

1. Найти частное комплексных чисел:

Вариант № 6

1. Даны комплексные числа: .

Вычислить: а) , б), в), г) , д), е)

1. Упростить выражение:

1. (2-i)(2+i)-(3-2i)+7

2. (1+5i)(2-i)

1. Найти частное комплексных чисел: