Популяризация математики

Что такое число

Числа были всегда и 4 и 5 тысяч лет тому назад, только правила изображения их были другими. Но смысл был один: числа изображались с помощью определённых знаков – цифр.

Цифра - это символ, участвующий в записи числа. Число - это величина, которая складывается из цифр по определённым правилам. Эти правила называются системами счисления. Никто, до сих пор не знает, как появилось число, как первобытный человек начал считать. Однако десятки тысяч лет назад первобытный человек собирал плоды деревьев, ходил на охоту, занимался ловлей рыбы, научился делать каменный топор и нож. И ему приходилось считать различные предметы. Постепенно возникла необходимость отвечать на жизненно важные вопросы: по сколько плодов достанется каждому, чтобы хватило всем; сколько расходовать сегодня, чтобы оставить про запас; сколько надо сделать ножей и таким образом, сам не замечая, человек начал считать и вычислять. На протяжении многовековой истории человечества существовали различные способов записи числа, некоторые дошли до наших времен, а некоторые остались в истории. Пальцы всегда при нас, поэтому первоначально человек стал считать по пальцам. Таким образом, наиболее древней и простой « счетной машиной »издавна являются пальцы рук и ног. Несколько десятков лет назад учёные-археологи обнаружили стойбище древних людей. В нём они нашли волчью кость, на которой 30 тысяч лет тому назад какой-то охотник нанёс 55 зарубок. Видно, что, делая эти зарубки, он считал по пальцам. Узор на кости состоял из 11 групп, по 5 зарубок в каждой. При этом первые 5 групп он отделил от остальных длинной чертой. Позднее в Сибири и других районах были найдены сделанные в ту далекую эпоху каменного века (каменные) орудия и украшения, на которых тоже были черточки и точки, сгруппированные по 3, по 5, или по 7.

Цифры древних цивилизаций

Египетская нумерация. Одна из древнейших нумераций — египетская. До нас дошли надписи, сохранившиеся внутри пирамид, на плитах и обелисках. Они состоят из картинок-иероглифов, которые изображают птиц, зверей, людей, части человеческого тела (глаза, ноги) и различные неодушевленные предметы. Такой способ письма характерен для ранних ступеней культуры. Когда компьютеры перешли из лабораторий ученых к массовому пользователю, произошла реанимация иероглифов: в популярной системе Windows пользователь видит много картинок и мало текста. Подобные письмена были у обитателей Центральной Америки — индейцев племени майя, в Перу. Расшифровка их представляет огромные трудности, так часто неизвестны ни звучания слов, ни значения иероглифов. Казалось бы, задача неразрешима. И все-таки многие надписи уже прочитаны! Сначала были разгаданы письмена древних египтян, затем вавилонская клинопись.

В 30-х гг. XX в. были прочитаны долго не поддававшиеся, расшифровке хеттские надписи. Сохранились лишь два математических папируса, позволяющих судить о том, как считали древние египтяне. Один из них хранится в Британском музее в Лондоне, другой — в Музее изобразительных искусств им. А. С. Пушкина в Москве. Для записи чисел древние египтяне использовали иероглифы, означавшие единицу, десять, сто, тысячу, десять тысяч, сто тысяч (лягушка), миллион (человек с поднятыми руками) и десять миллионов

П ервые написанные цифры, о которых мы имеем достоверные свидетельства, появились в Египте и Месопотамии около 5000 лет назад. Хотя эти две культуры находились очень далеко одна от другой, их числовые системы очень похожи: использование засечек на дереве или камне для записи прошедших дней. Египетские жрецы писали на папирусе, изготовленном из стеблей определенных сортов тростника, а в Месопотамии на мягкой глине.

В египетской системе цифрами являлись иероглифические символы; они обозначали числа 1, 10, 100 и т. д. до миллиона. число значение описание

1- черта ; 10- пятка ; 100 - петля веревки ; 1 000 кувшинка (или лотос) ; 10 000 - палец или 100 000 - жаба или личинка ; 1 000 000 -человек с поднятыми вверх руками

Числа, не кратные 10, записывались путем повторения этих цифр. Каждая цифра могла повторяться от одного до 9 раз.

Фиксированного направления записи чисел не существовало: они могли записываться справа налево или слева направо и даже вертикально.

Например: иероглифическая запись, и обратная запись тех же иероглифов, обозначали одно и то же число - «12».

Цифры племени майя .

Очень интересная система счета была у народа Майя, который жил в Центральной Америке там, где сейчас государство Мексика. Европа еще считала по пальцам, когда математики древних майя ввели понятие нуля и оперировали бесконечно большими величинами. Древние майя самостоятельно пришли к использованию позиционного принципа. В отличие от нас, европейцев, им не у кого было заимствовать этот принцип, и они сами додумались до него, причем почти на целое тысячелетие (!) раньше Старого Света, племена майя использовали только три обозначения: точку, линию и эллипс и записывали ими любые цифры.

Запись цифровых знаков, образующих число, майя вели вертикально, снизу вверх, как бы возводя некую этажерку из цифр. Майя считали двадцатками – у них была двадцатеричная система счёта. Числа от 1 до 20 обозначались точками и чёрточками.

Иногда для записи цифр от 1 до 19 также использовались изображения божеств. Такие цифры использовались крайне редко, сохранившись лишь на нескольких монументальных стелах.

Вклад мусульман в развитие нашей системы счисления.

Цифры, или символы наших чисел, имеют арабское происхождение, хотя они были, заимствованы арабской культуры в Индии. Промежуток между VIII и XIII веками стал одним из самых блестящих периодов в мусульманском мире. Мусульмане имели тесные связи как с азиатской, так и европейской культурами, и они и они смогли извлечь из них всё самое выдающееся. В Индии они заимствовали систему исчисления, некоторые математические методы. Современные цифры (1, 2, 3, 4…) не совсем точно воспроизводят индийские, поскольку арабы их слегка видоизменили, приспосабливая к своему письму, но исходя из их влияния и авторитета их культуры, современные числовые символы называют арабскими цифрами, хотя арабы лишь передали в Европу способ записи чисел, разработанный индусами. «Девять индусских знаков следующие: 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1. С помощью этих знаков и знака 0, который называется по-арабски: «сифр», можно написать какое угодно число». Арабы принесли к нам способ записи чисел, которым мы сейчас пользуемся, из Индии. Однако в самой Индии до последнего времени цифры выглядели совсем не так, как в Европе. А цифры, которыми сейчас пользуются арабы, тоже не очень похожи на европейские. Одна из ненаучных гипотез происхождения начертания современных арабских цифр. Количество углов соответствует числовому значению цифры: 0 — углов нет, 1 — один угол, 2 — два угла и т.д. Современная система счисления. Считать или, говоря ученым языком

Образец цифр на почтовом конверте.

Современная система счисления.

Считать или, говоря ученым языком, делать количественную оценку, люди начали с тех пор, как научились отделять себя и своих сородичей от окружающего мира. Для правильного информирования своего племени требовалось сообщить как о численности преследуемой добычи, так и о многом другом – например, количестве людей в соседнем племени. Прошло очень много времени, прежде чем люди освоились с большими числами. Они шли от единицы к большим числам очень медленно. С развитием человечества отдельных знаков (единиц) стало не хватать. Земледельцу надо было подсчитать урожай, скотоводу - животных, строителю - количество бревен... Умение считать и производить операции с числами высоко ценилось. Ведя счет различных предметов, люди постепенно пришли к выводу, что удобнее считать не единицами, а группами единиц. Такой счет сохранился и до нашего времени (например, счет предметов парами, тройками, пятерками) и часто применяется и поныне, например, в спорте (в соревнованиях участвуют три пары спортсменов от каждой команды) и т.д. Самые разные народы по-разному называли и обозначали знаки различного количества предметов, что отразилось не только в названиях цифр и чисел, но и в их группировании, образовывая свои собственные системы счисления, другим словом – НУМЕРАЦИИ. Итак, системы счисления - это способы записи (или изображения) чисел. «Различные системы счисления, которые существовали раньше и которые используются в настоящее время, делятся на две группы: позиционные и непозиционные. Системы счисления, в которых каждой цифре соответствует величина, не зависящая от её места в записи числа, называются непозиционными. В целом все непозиционные нумерации можно разделить на два вида: иероглифические, алфавитные. Первые используют для записи чисел значки разных типов, зная которые, можно составить представление о значении числа. Вторые системы записывают число в виде букв, значения которых соответствуют их месту в алфавите той или иной народности. Наиболее совершенными являются позиционные системы счисления, то есть системы записи чисел, в которых вклад каждой цифры в величину числа зависит от её положения (позиции или порядка) в последовательности цифр, изображающей число. Это значит, что основное значение имеет не столько значение, сколько место цифры (сравните 99000 и 90090). Разумеется, все позиционные системы счисления появились в результате длительного исторического развития непозиционных систем.

Какая у нас система исчисления «Наша система исчисления имеет три основных характеристики: она позиционная, аддитивная и десятичная. - Позиционная, поскольку каждая цифра имеет определенное значение согласнее месту, занимаемое в ряду, выражающем числом: 2 означает две единицы в числе 52 и двадцать единиц в числе 25. - Аддитивная, или слагаемая, поскольку значение одного числа равно сумме значений цифр, образующих его. Так, значение 52 равно сумме 50+2.

- Десятичная, поскольку каждый раз, одна цифра смещается на одно место влево в написании числа, его значение увеличивается в десять раз. Так, число 2, имеющее значение две единицы, превращается в двадцать единиц в числе 26, поскольку перемещается на одно место влево.

Статью подготовила учитель математики ГБОУ ЛНР «АСШ №3» по материалам физико-математического журнала «Квант»