МУНИЦИПАЛЬНОЕ КАЗЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
«ВЫСОТИНСКАЯ СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА»
Тема: « Построение многоугольников циркулем и линейкой»
Выполнила : ученица 7 класса
Федосенко Кристина
Руководитель: Сергеева Наталья Владимировна
Учитель математики
ВЫСОТИНО 2014
Содержание
Название раздела | Страница |
-
Введение | 3 |
-
Простейшие построения | 3 |
-
Построение отрезка, равного данному | 3 |
-
Построение угла равного данному | 3 |
-
Построение биссиктрисы угла | 4 |
-
Построение перпендикулярной прямой через точку, лежащую на прямой | 4 |
-
Построение середины отрезка | 4 |
-
Построение перпендикулярной прямой через точку, не лежащую на прямой | 4 |
-
Многоугольники (определение , виды) | 5 |
-
Построение произвольных многоугольников | 6 |
-
Построение правильных многоугольников | 8 |
-
Вывод | 10 |
-
Литература | 11 |
-
Приложения | |
Объект исследования: задачи на построения
Предмет исследования: построения многоугольников
Проблема: Можно ли построить многоугольники с помощью циркуля и линейки
Гипотеза: любой многоугольник можно построить с помощью циркуля и немасштабной линейки.
-
Введение
В геометрии мы имеем дело с геометрическими построениями: построение прямой, откладывание отрезка определенной длины, построение угла, построение треугольников и других фигур, но при этом пользуемся масштабной линейкой, циркулем, транспортиром, чертежным угольником. В задачах на построение циркуль и линейка считаются идеальными инструментами, в частности:
-
Линейка не имеет делений и имеет сторону бесконечной длины, но только одну.
-
Циркуль может иметь сколь угодно большой или сколь угодно малый раствор (то есть может чертить окружность произвольного радиуса).
С помощью линейки можно провести прямую и построить прямую, проходящую через две точки. С помощью циркуля можно провести окружность произвольного радиуса с центром в данной точке и радиусом, равным данному отрезку. Выполняя эти несложные операции, можно решить много интересных задач на построения.
Цель моей работы: исследовать построение многоугольников с помощью циркуля и линейки
Для достижения своей цели я ставлю перед собой следующие задачи:
-
Определить простейшие построения.
-
Рассмотреть виды многоугольников.
-
Рассмотреть построение произвольных многоугольников.
-
Рассмотреть построение правильных многоугольников.
-
Сделать вывод.
-
Простейшие построения.
-
Построение отрезка, равного данному.
Задача: На данном луче от его начала отложить отрезок, равный данному.
Дано: отрезок АВ, луч ОС
Построить: ОД=АВ
Построение:
Алгоритм построения |
-
Построить окружность радиуса АВ с центром в точке О. -
Точка Д – точка пересечения окружности и луча. -
ОД – искомый отрезок |
Построение: Приложение 1
-
Построение угла, равного данному.
Задача: Отложить от данного луча угол, равный данному.
Дано: угол с вершиной А, луч ОМ
Построить: угол ЕОД так, чтобы луч ОД и ОМ совпали
Построение:
Алгоритм построения |
-
Построить окружность произвольного радиуса с центром в вершине А данного угла. Точки В и С – точки пересечения окружности и сторон угла А. -
Проведем окружность того же радиуса с центром в точке О. Точка Д – точка пересечения окружности и луча ОМ. -
Построить окружность радиуса ВС с центром в точке Д. Точка Е – точка пересечения окружностей с центрами О и Д. -
Угол МОЕ – искомый угол |
Построение: Приложение 2
-
Построение биссектрисы угла.
Задача: Построить биссектрису данного угла.
Дано: угол с вершиной ВАС
Построить: АЕ – биссектрису угла ВАС
Построение:
Алгоритм построения |
-
Построить окружность произвольного радиуса с центром в вершине А данного угла. Точки В и С – точки пересечения окружности и сторон угла А. -
Проведем окружность радиуса ВС с центром в точке В. -
Проведем окружность радиуса ВС с центром в точке С. Точки Е и М – точки пересечения окружностей. Е- лежит внутри угла ВАС. -
АЕ – биссектриса угла |
Построение: Приложение 3
-
Построение перпендикулярной прямой через точку, лежащую на прямой
Задача: даны прямая а и точка М на прямой. Построить прямую, проходящую через данную точку и перпендикулярную к данной прямой.
Дано: прямая а, точка М, принадлежащая прямой.
Построить: РМ ┴а
Построение:
Алгоритм построения |
-
Построить на лучах прямой а отрезки МА=МВ -
Проведем окружность радиуса АВ с центром в точке В. -
Проведем окружность радиуса АВ с центром в точке А. Точки Р и Q – точки пересечения окружностей. -
Проведем прямую PМ – искомая прямая |
Построение: Приложение 4
-
Построение середины отрезка
Задача: построить середину данного отрезка
Дано: отрезок АВ
Построить: О – середина отрезка
Построение:
Алгоритм построения |
-
Проведем окружность радиуса АВ с центром в точке В. -
Проведем окружность радиуса АВ с центром в точке А. Точки Р и Q – точки пересечения окружностей. -
Проведем прямую PQ . -
О – точка пересечения отрезка АВ и прямой PQ. -
О – середина отрезка АВ |
Построение: Приложение 5
-
Построение перпендикулярной прямой через точку, не лежащую на прямой
Задача: даны прямая а и точка М не лежит на прямой. Построить прямую, проходящую через данную точку и перпендикулярную к данной прямой.
Дано: прямая а, точка М, не принадлежащая прямой.
Построить: РМ ┴а
Построение:
Алгоритм построения |
-
Проведем окружность с центром в точке М и пересекающую прямую в двух точках А и В. -
Проведем окружность радиуса ВМ с центром в точке В. -
Проведем окружность радиуса АМ с центром в точке А. Точки Р и М – точки пересечения окружностей. -
Проведем прямую PМ – искомая прямая |
Построение: Приложение 6
-
Многоугольники.
Многоугольник - фигура, составленная из отрезков так, что смежные отрезки не лежат на одной прямой, а несмежные отрезки не имею общих точек.
АВСДЕМК – многоугольник; А, В, С, Д, Е, М, К – вершины многоугольника; отрезки АВ, ВС, СД, ДЕ, ЕМ, МК, КА – стороны многоугольника.
Многоугольник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от каждой прямой, проходящей через две его вершины.
Выпуклый многоугольник | Не выпуклый многоугольник |
| |
-
Построение произвольных многоугольников.
Многоугольник, у которого все стороны равны, называется правильным.
Я сначала рассмотрю построение произвольных многоугольников, а затем правильных.
Треугольник | Четырехугольник | Пятиугольник | Шестиугольник | n- угольник |
-
Произвольный треугольник Построение: Приложение7 | -
Произвольный четырехугольник Построение: Приложение10 | -
Произвольный пятиугольник Построение: Приложение13 | Построение: Приложение 14 | |
-
Прямоугольный треугольник Построение: Приложение8 | 2.Четырехугольник с прямым углом -
построить прямой угол О -
построить точку К -
построить отрезок О М на стороне прямого угла, построить ОС на другой стороне прямого угла -
соединить точку К с точками С и М, О С К М искомый Построение: Приложение 11 |
3.Равнобедренный треугольник -
построить отрезок А В -
построить окружность с центром в точке А, любого радиуса -
построить окружность того же радиуса с центром в точке В -
одну из точек (М) пересечения окружностей соединить с точками А и В, треугольник АМВ – искомый. Построение: Приложение 9 | 3.Прямоугольник Построение: Приложение12 |
Вывод: С помощью циркуля и линейки можно построить : произвольный и равнобедренный , прямоугольный треугольники; четырех- ,пяти- и многоугольники |
-
Построение правильных многоугольников.
Треугольник | Четырехугольник |
Правильный треугольник (равносторонний) – все стороны равны -
Построить произвольный отрезок АВ -
построить окружность с центром в точке А, радиуса АВ -
построить окружность радиуса АВ с центром в точке В -
одну из точек (М) пересечения окружностей соединить с точками А и В, треугольник АМВ – искомый. -
Построение: Приложение 15 | Квадрат Построение: Приложение16 |
| Ромб -
Построить произвольный отрезок АВ -
построить окружность с центром в точке А, любого радиуса -
построить окружность того же радиуса с центром в точке В -
(М), (К)-точки пересечения окружностей, соединить их с точками А и В, полученный четырехугольник АМВК – ромб Построение: Приложение 17 |
-
Построить окружность радиуса АВ.
-
Отметить на окружности произвольную точку К1.
-
Не меняя раствор циркуля , построим точки К2, К3, К4, К5, К6 на этой окружности так, чтобы К1К2=К2К3=К3К4=К4К5=К5К6.
-
Соединим последовательно эти точки.
-
К1К2К3К4К5К6 – искомый шестиугольник
Приложение 18
А1А2А3..... Аn
-
построим биссектрисы двух смежных углов
-
О — точка пересечения биссектрис
-
построим окружность с центром в точке О , радиусом ОА1
-
построим серединные перпендекуляры к сторонам n угольника
-
В1В2...Вn – точки пересечения серединных перпендекуляров и окружности
-
А1В1 А2В2... - искомый 2n- угольник
Приложение 19
Мы рассмотрели построение многоугольников с четным числом сторон.
Как построить правильный многоугольник с произвольным числом сторон?
Задача построения правильного n – угольника сводиться к делению окружности на n равных частей. Один практический приём такого деления предложил французский математик Н. Бион.
Приём состоит в следующем: пусть требуется разделить окружность, например, на 9 равных частей.
На диаметре окружности строится равносторонний треугольник АВС. Диаметр АВ делим на 9 равных частей.
-
Проведём луч из точки А и отложим на нём с помощью циркуля 9 равных отрезков.
-
Соединим конец девятого отрезка с точкой В.
-
Далее через точки проведём параллельные отрезки.
-
Соединяя вторую точку деления с вершиной треугольника С, продолжим прямую до пересечения с окружностью в точке Д.
Дуга АД является девятой частью окружности, хорда АД – стороной правильного девятиугольника.
Проверим, можно ли с помощью этого приёма разделить окружность на любое число n –равных частей, как на чётное число n, так и на нечётное.
Если соединить вершину равностороннего треугольника, построенного на диаметре окружности не со второй, а с первой точкой деления диаметра окружности, при этом разделяя диаметр на n частей, то в результате получиться 2n – угольник.
Например, если разделить диаметр на пять равных отрезков, соединить вершину треугольника с первой точкой деления диаметра окружности, разделить всю окружность на дуги, равные полученной дуге. Соединить точки деления окружности и в результате получится правильный 10 – угольник.
При делении диаметра окружностей на 9 равных частей можно построить не только 9 –угольник, но и 6 – угольник, для этого нужно соединить вершину равностороннего треугольника с третьей точкой деления диаметра.
Построение пятиугольника, Приложение 20
Построение шестиугольника, Приложение 21
Построение семиугольника, Приложение 22
Построение девятиугольника, Приложение 23
Вывод: с помощью циркуля и линейки , используя простейшие построения я смогла построить произвольные и правильные многоугольники ( трех-, четырех-, пятиугольники и т.д.)
Литература:
Интернет – ресурсы
Учебник «Геометрия 7-9», Атанасян Л. С.
Приложения выполнены на листах: построения с помощью циркуля и линейки
-
Построение отрезка, равного данному
-
Построение угла, равного данному.
-
Построение биссектрисы угла
-
Построение перпендикулярной прямой через точку, лежащую на прямой.
-
Построение середины отрезка.
-
Построение перпендикулярной прямой через точку, не лежащую на прямой.
-
Построение произвольного треугольника.
-
Построение прямоугольного треугольника.
-
Построение равнобедренного треугольника.
-
Построение произвольного четырехугольника.
-
Построение четырехугольника с прямым углом.
-
Построение прямоугольника.
-
Построение произвольного пятиугольника.
-
Построение произвольного шестиугольника.
-
Построение равностороннего треугольника.
-
Построение квадрата.
-
Построение ромба.
-
Построение правильного шестиугольника. (1 способ).
-
Построение правильного шестиугольника. (2 способ).
-
Построение правильного пятиугольника.
-
Построение правильного шестиугольника (способ Н. Биона).
-
Построение правильного семиугольника (способ Н. Биона).
-
Построение правильного девятиугольника (способ Н. Биона).
5