Повторяем планиметрию. Подготовка к ОГЭ.

ОГЭ

1

Диагонали прямоугольника KMNP пересекаются в точке С.Найдите угол MNC, если угол MCN равен 46 0 .

Решение:

В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам, значит NC=CM , то есть треугольник MCN- равнобедренный. А в равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Следовательно углы MNC и NMC равны. А так как сумма углов треугольника равна 180 0 , то:

Ответ: 67 0

2

• Через точку А окружности с центром О проведена касательная АВ. Найдите радиус окружности, если ОВ= 8 ,угол АОВ равен 60 0 .

30 0

Решение:

- так как сумма острых углов треугольника равна 90 0 .

- так как катет, лежащий напротив угла в 30 0 равен половине гипотенузы.

Ответ: 4

3

• Внешний угол при основании равнобедренного треугольника равен 140 0 . Найдите угол между боковыми сторонами этого треугольника.

40 0

40 0

Решение:

Углы BCA и BCD- смежные, а сумма смежных углов равна 180 0 .

- как углы при основании равнобедренного треугольника.

- так как сумма углов треугольника равна 180 0 .

Ответ: 100 0

4

Используя данные, указанные на рисунке, найдите высоту CH.

9

Решение:

1). Из , , по теореме Пифагора:

12

- в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

2).

Ответ: 7,2

5

Длина окружности равна .Найдите радиус этой окружности.

Решение.

Ответ:14,5

6

Используя данные, указанные на рисунке, найдите АС, если известно, что АВ ||CD .

Решение.

- по двум углам,

- как накрест лежащие, при параллельных прямых АВ и CD и секущих AC и BD).

Из подобия следует:

; АС=АО+ОС=10+15=25

Ответ:25

Найдите боковую сторону равнобедренной трапеции, если её основания равны 9 и 19,а высота равна 12.

7

Решение.

1). Построим высоты BH и BN, получим прямоугольник HBCN.

В нём HN=BC=9 .

- по гипотенузе и острому углу.

2).

Из равенства следует:

3). Из , , по теореме Пифагора:

5

9

5

Ответ:13

8

В параллелограмме ABCD на стороне ВС отмечена точка К так, что ВК=АВ. Найдите , если

Решение.

1).

В АВ=ВК , как углы при основании равнобедренного треугольника.

2).

- как накрестлежащие, при параллельных прямых AD и ВС и секущей АК.

-так как в параллелограмме противоположные углы равны.

3).

20 0

20 0

Ответ: 40 0

20 0

9

Сторона равностороннего треугольника MLN равна 6см. Найдите скалярное произведение векторов и .

Решение.

В равностороннем треугольнике все углы по 60 0 .

Ответ: 18

10

Радиус окружности ,описанной около правильного двенадцатиугольника А 1 А 2 А 3 А 4 А 5 А 6 А 7 А 8 А 9 А 10 А 11 А 12 равен . Найдите длину диагонали A 1 A 5 .

Решение.

А 1 А 5 -сторона правильного треугольника, вписанного в окружность. Найдем её по формуле:

Ответ: 15

1 1

Имеется лист фанеры прямоугольной формы, длина и ширина которого соответственно равны 10 дм и 5 дм.Из него, как показано на рисунке, вырезаны две одинаковые части в форме равнобедренных треугольников. Сколько кг краски потребуется , чтобы покрасить получившуюся фигуру, если длина отрезка АВ = 6 дм, а на 1 дм 2 поверхности расходуется 0,012 кг краски?

D

С

В

А

С 1

D 1

Решение.

1).

Площадь фигуры равна сумме площадей двух равных трапеций ABCD и ABC 1 D 1 . .

Высота каждой трапеции h= 5 :2=2,5 . .

2).

S фигуры =20+20=40(дм 2 )

3).

(кг)-потребуется краски.

4).

10

С

D

6

5

В

А

Ответ:0,48кг

D 1

С 1

1 2

Укажите, какие из перечисленных ниже утверждений верны.

1). Все углы ромба -острые.

2). Все высоты ромба равны.

3). Диагонали ромба взаимно перпендикулярны.

4). Радиус окружности, вписанной в ромб, равен стороне этого ромба.

5). В ромбе с углом 60 0 одна из диагоналей равна его стороне.

1 ). «Все углы ромба - острые» -не верно. Доказательство.

В

С

А

D

- так как и односторонние при AD||BC и секущей АВ. Если угол 2 - острый, то угол 1 будет тупой.

3). «Диагонали ромба взаимно перпендикулярны» - верно, по свойству диагоналей ромба.

А

AC BD

D

В

С

2). «Все высоты ромба равны»- верно. Доказательство.

- по гипотенузе и острому углу (АВ=ВС, т.к. в ромбе все стороны равны, , т.к. в ромбе противоположные углы равны.) Из равенства треугольников следует, что ВН=В N, так как они лежат напротив равных углов А и С.

4). «Радиус окружности, вписанной в ромб, равен стороне этого ромба»– не верно. Доказательство.

• Центр окружности, вписанной в ромб, лежит в точке пересечения диагоналей. Из точки О построим перпендикуляр ОК к стороне А D . ОК- радиус вписанной в ромб окружности.
• ОК так как перпендикуляр-это кратчайшее расстояние от точки до прямой.
• OD , так как в прямоугольном треугольнике катет всегда меньше гипотенузы. ( AOD)
• Следовательно ОК

5). « В ромбе с углом 60 0 одна из диагоналей равна его стороне» - (верно)

B

Доказательство.

Сумма углов треугольника равна 180 0 градусов, значит :

60 0

АВ=ВС, значит:

А

C

1

2

- так как в равнобедренном

треугольнике углы при основании равны.

В треугольнике АВС все углы по 60 0 , значит он равносторонний

D

и АС=АВ=СВ.

1 3

BP и DK - высоты параллелограмма ABCD , проведенные из вершины тупых углов, причем точка Р лежит между точками В и С. Отрезки ВР и D К пересекаются в точке О. Докажите, что треугольники СК D и СРВ подобны, а углы КОВ и ВС D равны.

- по двум углам,

(по 1-му признаку подобия).

- общий,

,

так как DK и BP -высоты.

, так как отрезки

ОК и ОВ лежат на высотах DK и ВР

, так как , если стороны одного угла перпендикулярны сторонам другого угла, то такие углы равны.

1 4

В равнобедренный треугольник АВС с основанием ВС вписана окружность. Она касается стороны АВ в точке М. Найдите радиус этой окружности, если АМ= 10 и ВМ= 15 .

10

10

15

15

15

15

Решение.

1 ). Пусть окружность касается сторон треугольника в точках

М,Н и N ,

тогда АМ= А N =10, ВМ=ВН=15, как отрезки

касательных, проведенных из одной точки.

10

10

15

15

15

2 ). АВ=АМ+ВМ=10+15=25

15

3 ). АС= АВ=25, как боковые стороны равнобедренного треугольника.

4). N С=АС-А N =25-10=15

5). НС= N С=15

-как отрезки касательных, проведенных из одной точки.

5). В . По теореме Пифагора

АВ 2 =АН 2 +ВН 2

10

10

15

15

6). ВС=ВН+НС=15+15=30

15

15

7).

8). Р=АВ+АС+ВС=25+25+30=80

9).

10

10

15

15

15

15

Ответ: 7,5

15.

Высоты треугольника АВС пересекаются в точке Н, а медианы – в точке М. Точка К – середина МН. Найдите площадь треугольника АКС, если известно, что АВ=6,СН=3, ВАС= 45 0 .

6

3

Решение.

1). По условию, высоты пересекаются, значит точка Н их пересечения расположена внутри этого треугольника.

Доп. построение: Построим ММ1 || КК1 || НН1.

В

2).

45 0

6

Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника треугольника равна 90 0 . Значит:

45 0

- так как напротив равных углов лежат равные стороны.

3).

В

Р

(см. п.1)

В

4).

45 0

3

(см. п.1)

и

45 0

45 0

5).

6).

Рассмотрим:

и

Они – прямоугольные и имеют общий угол L , значит:

- по двум углам.

По свойству медианы:

7).

Так как ММ 1 || КК 1 || НН 1 (по построению) и К – середина МН, то К 1 - середина М 1 Н 1 (по теореме Фалеса).

Получили: КК 1 - средняя линия трапеции ММ 1 Н 1 Н

8).

Ответ: 5,625