Практическое применение подобий и формул тригонометрии

Тема: «Практическое применение подобий и формул тригонометрии к измерительным работам»

2017/2018

Цель проекта:

• Теоретическое повторение подобия и тригонометрии

• Практическое изучение применения подобий и формул тригонометрии к измерительным работам

Содержание:

• История возникновения геометрии
• Подобие треугольников
• Тригонометрия
• Задача Евклида
• Измерения на местности
• Нахождение расстояния

История возникновения геометрии

Геометрия - наука, изучающая формы, размеры и взаимное расположение геометрических фигур. Она возникла и развивалась в связи с потребностями практической деятельности человека. Когда люди стали строить здания из камня, пришлось перетаскивать тяжелые каменные глыбы. Для этого применялись катки. И заметили, что перекатка проще, если взять кусок дерева с почти одинаковой толщиной в начале и в конце. Так люди познакомились с одним из важнейших тел – цилиндром. Скалками цилиндрической формы пользовались и женщины, раскатывая белье после стирки. Перевозить грузы на катках было довольно тяжело, потому что сами древесные стволы весили много. Чтобы облегчить работу, стали вырезать из стволов тонкие круглые пластинки и с их помощью перетаскивать грузы. Так появилось первое колесо.

Люди стали учиться измерять и площади, и объемы, и длины и т.д.Древние египтяне были замечательными инженерами. До сих пор не могут до конца разгадать загадки огромных гробниц Египетских царей – Фараонов. Пирамиды – а они построены более 5 тыс. лет назад – состоят из каменных блоков весом 15 тонн, и эти «кирпичики» так подогнаны друг к другу, что не возможно между ними протиснуть и почтовую открытку. А при строительстве использовали лишь простейшие механизмы – рычаги и катки.

В Вавилоне при раскопках ученые обнаружили остатки каменных стен, высотой в несколько десятков метров, а высота Вавилонской башни достигает 82 метра. Без математических знаний все эти сооружения невозможно было бы построить. Почти все великие ученые древности и средних веков были выдающимися геометрами. Девиз древней школы был: " Не знающие геометрии не допускаются!"

Но не только в процессе работы знакомились люди с геометрическим фигурами. О зарождении геометрии в Древнем Египте около 2000 лет до н. э. древнегреческий историк Геродот писал : " Сезострис, египетский фараон, разделил землю, дав каждому египтянину участок по жребию, и взимал соответствующим  образом налог с каждого участка. Случилось, что Нил заливал тот или иной участок, тогда пострадавший обращался к царю, а царь посылал землемеров, чтобы установить, на сколько уменьшился участок, и соответствующим образом уменьшить налог. Так возникла геометрия в Египте, а оттуда перешла в Грецию".

Подобие треугольников

Учение о подобии фигур на основе теории отношений и пропорций было создано в Древней Греции в 5-4 веках до нашей эры и существует и развивается до сих пор. Например, очень много детских игрушек подобным предметам взрослого мира, обувь и одежда одного фасона выпускается различных размеров. Эти примеры можно продолжать и дальше. Понятие подобия, наряду с понятием движения, является одним из важных понятий геометрии. Оно имеет большое образовательное и практическое значение. Подобие используется при определении расстояний до недоступных предметов, в устройствах различных измерительных инструментов и приборов. Идея подобия треугольников дает эффективный метод решения большого класса задач на доказательство, построение, вычисление; доказательство теорем с привлечением подобия значительно проще доказательств, основанных на признаках равенства треугольников.

А1

В1

С1

Признаки

В1

В

• Первый признак

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.

С

А

С1

А1

• Второй признак

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

В

А

С

В1

В

• Третий признак

Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то такие треугольники подобны .

А1

С1

С

А

Тригонометрия

Тригонометрия -математическая дисциплина изучающая зависимость между сторонами и углами треугольника.

Тригонометрия - слово греческое и в буквальном переводе означает измерение треугольников.

Возникновение тригонометрии связано с землемерением, астрономией и строительным делом. Тригонометрия возникла из практических нужд человека. С ее помощью можно определить расстояние до недоступных предметов и, вообще существенно упрощать процесс геодезической съемки местности для составления географических карт. Впервые способы решения треугольников, основанные на зависимостях между сторонами и углами треугольника, были найдены древнегреческими астрономами Гиппархом (2 в. до н. э.) и Клавдием Птолемеем (2 в. н. э.). Птолемей вывел соотношения между хордами в круге, которые равносильны современным формулам для синусов половинного угла.

Клавдий Птолемей

8

Свойства:

А

c

b

c 2  =  a 2  +  b 2

а

В

С

Задача Евклида

Постройте биссектрису угла, вершина которого недоступна. Существует около 10 способов ее решения. Мы рассмотрим только один способ.

Решение:

Пусть вершина С угла АСВ недоступна. Проведем через произвольную точку К СВ луч k параллелен AC. Из точки К как из центра проведем произвольную окружность и получим точки E и F в пересечении с лучами k и СВ соответственно. При этом треугольник EKF – равнобедренный. Продолжим FE до пересечения с AC в точке D. Очевидно, что и треугольник DCF(с недоступной вершиной С) – Равнобедренный. Тогда серединный перпендикуляр к стороне DF совпадает с биссектрисой угла С.

A

D

k

E

B

(C)

F

K

Измерения на местности

Каким способом можно измерить высоту дерева, не взбираясь на него и не прибегая к помощи теней?

Решение:

Установив вертикальный шест на некотором расстоянии от дерева, нужно стать в такую точку, из которой верхний конец шеста загораживает в точности верхушку дерева. Тогда, если высота части шеста над уровнем глаз равна а, а расстояния от глаз по горизонтали до шеста и до дерева равны b и у соответственно, то из подобия треугольников можно найти высоту х дерева над уровнем глаз. Наконец, зная свой рост h до уровня глаз, получаем полную высоту дерева

Заметим, что вычисления и измерения можно упростить, если добиться равенства b=a , которое достигается выбором места установки шеста. Кроме того, можно лечь на землю, что позволит считать h=0 , а в результате высота дерева окажется равной x=y.

Недоступная точка

Как узнать, на какой высоте находится шпиль, расположенный на здании, внутри и вблизи которого измерения затруднительны?

Решение:

Необходимо установить вертикальный шест на некотором расстоянии от здания и станем в такую точку, из Которой верхушка шпиля зрительно совмещается с верхним концом шеста (рис. 26). Затем, пройдя некоторое расстояние в направлении от здания по прямой, на которой лежит первая точка и проекция А шпиля на горизонтальную плоскость, еще раз проделайте такую же операцию. Пусть высота шеста над уровнем глаз равна а, расстояние от глаз до шеста в первом положении оказалось равным b , а во втором с. Тогда, измерив расстояние у между точками В и С , в которых мы стояли в первом и во втором случаях, можно сосчитать высоту х шпиля над уровнем глаз. В самом деле, обозначим через z расстояние между точками А и В . Из подобия соответствующих треугольников имеем

Откуда и , т.е.

Коэффициент при у в последнем равенстве можно сделать равным 1, если в первом положении шеста добиться равенства b—а, а во втором — равенства с=2а.

Например:

Неприятельская вышка . Открытый участок дороги находится на полосе АВ шириной в 50м; неприятельский наблюдательный пункт находится на верху колокольни высотой MN = 22м. Какой высоты следует сделать вертикальную маску КВ на расстоянии 500м от колокольни, чтобы закрыть дорогу от наблюдателя противника?

Решение:

АКВ ~ АМN (по 2-м углам: А – общий, АВК и AMN – прямые, а если треугольники подобны, то все его элементы тоже подобны. То есть, , а . Следовательно,

м.

Ответ: 2 м.

Нахождение расстояния

Определение расстояния до кораблей в море . Определение расстояний до кораблей, находящихся в море, – одна из таких задач, решаемая двумя способами. Найти расстояние от точки А , находящейся на берегу до корабля

Решение:

1-й способ. Пусть корабль находится в точке К , а наблюдатель в точке А . Требуется определить расстояния КА. Построив в точке А прямой угол, необходимо отложить на берегу два равных отрезка АВ = ВС . В точке С вновь построить прямой угол, причем наблюдатель должен идти по перпендикуляру до тех пор, пока не дойдет до точки D , из которой корабль К и точка В были бы видны лежащими на одной прямой. Прямоугольный треугольники ВСD и ВАК равны, следовательно, CD = AК , а отрезок CD можно непосредственно измерить.

Второй способ, получивший название метода триангуляции, нашел применение в астрономии. С его помощью измерялись расстояния до небесных тел.

Этот метод состоит из 3-х этапов:

• Измерение углов 1 и 2 и расстояния АВ .

• Построение А'В'К' с углами 1 и 2 при вершинах А' и В' соответственно.

• Учитывая подобие треугольников АВК , А'В'К' и равенство , по известным длинам отрезков АВ , А'К' и А'В' нетрудно найти длину отрезка АК.

Выводы:

• История геометрии очень интересна и увлекательна

• Геометрия используется практически во всех сферах жизнедеятельности

• С помощью теоремы о подобиях треугольников и тригонометрии мы можем находить расстояние до недосягаемой точки