Практическое занятие №4 Тема: «Нахождение неопределённых интегралов различными методами» (комплект КОС УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ ЕН.01 МАТЕМАТИКА ДЛЯ СПЕЦИАЛЬНОСТИ СПО 23.02.07 ТЕХНИЧЕСКОЕ ОБСЛУЖИВАНИЕ И РЕМОНТ ДВИГАТЕЛЕЙ, СИСТЕМ И АГРЕГАТОВ АВТОМОБИЛЕЙ)

Практическое занятие №4

Тема: «Нахождение неопределённых интегралов различными методами».

Цель: на конкретных примерах научиться находить неопределенный интеграл непосредственно с помощью таблицы интегралов (непосредственное интегрирование), методом замены переменной (методом подстановки), а также с помощью формулы интегрирования по частям.

Теоретические сведения к практической работе

Метод непосредственного интегрирования

Таблица интегралов

Пример 1: Вычислите

Решение: Для вычисления интеграла сначала каждый член числителя почленно разделим на знаменатель, затем воспользуемся 2 и 3 свойствами неопре­деленного интеграла и применим 1 и 3 табличные интегралы

Метод замены переменной под знаком неопределенного интеграла

Суть этого ме­тода состоит в том, что путем введения новой переменной интегрирования заданный инте­грал сводится к новому интегралу, который легко вычисляется непосредственным интегри­рованием.

Применим подстановку х=j (t),

где j (t) – функция, имеющая непрерывную производную. Тогда f(x) = f[j(t)], dx=j' (t)dt и

òf(x)dx = ò f[j(t)]j' (t)dt (1)

Формула (1) называется формулой замены переменной в неопределенном интеграле.

Пример 1: Вычислить

Решение: Введем новую переменную t = 3x-4, тогда , откуда . Подставим новую переменную в интеграл (вместо выражения 3х-4 подставим t, вместо подставим ).

Далее нужно вернуться к первоначальной переменной. Для этого сделаем обратную замену (вместо t подставим выражение 3х-4), получим окончательный ответ.

Интегрирование по частям

Формула интегрирования по частям имеет вид:

Вычисление интеграла сводится к вычислению интеграла , если последний проще исходного.

Для определения метода интегрирования необходимо руководствоваться следующим:

Применяем метод интегрирования по частям:

1) если подынтегральная функция задана в виде произведения различных функций (степенной и тригонометрической или в виде произведения многочлена на любую элементарную функции (логарифмическую; тригонометрическую; показательную и т.п.)

1. от логарифмической функции;

3)от обратных тригонометрических функций.

Содержание практической работы:

№ 1

№2

1) ; 2) ; 3)

4) ; 5) 6)