Практическое занятие №8 Тема: «Решение систем линейных уравнений различными методами» (комплект КОС УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ ЕН.01 МАТЕМАТИКА ДЛЯ СПЕЦИАЛЬНОСТИ СПО 23.02.07 ТЕХНИЧЕСКОЕ ОБСЛУЖИВАНИЕ И РЕМОНТ ДВИГАТЕЛЕЙ, СИСТЕМ И АГРЕГАТОВ АВТОМОБИЛЕЙ)

Практическое занятие №8

Тема: «Решение систем линейных уравнений различными методами»

Цель: сформировать умение исследовать и использовать различные методы для решения систем линейных алгебраических уравнений

Теоретические сведения к практической работе

Алгоритм метода Гаусса. Цель рассуждений – путем элементарных преобразований свести исходную систему к равносильной, решение которой можно выписать непосредственно. Основными шагами метода Гаусса являются следующие.

I. Прямой ход. Выписать расширенную матрицу системы, путем элементарных преобразований свести ее к эквивалентной ступенчатой и определить ранги матрицы и расширенной матрицы системы. Если они различны, то исходная система несовместна, т.е. не имеет решений. Если , то переходим к следующему этапу.

II. Сравнить ранг системы и число неизвестных, сделать вывод о количестве решений, учитывая теорему 2.

III. Обратный ход. Ступенчатую матрицу преобразовать к эквивалентной ей приведенной. Определить, какие неизвестные являются ведущими, какие – свободными.

IV. Выписать по полученной матрице систему, записать ответ (выразив, в случае неопределенной системы, ведущие элементы через свободные для построения общего решения).

Теорема Крамера. Рассмотрим «квадратную» систему линейных уравнений (число неизвестных совпадает с числом уравнений) вида

. (*)

Если определитель матрицы системы (*) отличен от нуля ( ), то данная система имеет единственное решение, причем значения неизвестных находятся по формулам

, i=1,2,…,n

где - определитель матрицы, полученной из исходной матрицы системы путем замены i-го столбца на столбец свободных членов.

Содержание практической работы

Задание 1. По расширенной матрице выписать СЛАУ.

Задание 2. Решить системы уравнений методом Крамера и методом Гаусса.

Задание 3. Решить СЛАУ (в случае неопределенной системы выписывать общее и два любых частных решения).