Практические задачи по исследованию устойчивости движения твёрдого тела в сопротивляющейся среде

А.А. Илюхин

доктор физико-математических наук, профессор

ТИ им.А.П. Чехова (филиал РГЭУ «РИНХ»)

г. Таганрог

М.А. Клюева

студентка 2 курса магистратуры факультета физики, математики,информатики

ТИ им.А.П. Чехова (филиал РГЭУ «РИНХ»)

г. Таганрог

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ПО ИССЛЕДОВАНИЮ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ ТВЁРДОГО ТЕЛА В СОПРОТИВЛЯЮЩЕЙСЯ СРЕДЕ

Понятие устойчивости достаточно широко используется и по-разному понимается. Эти различия имеют свои исторические корни. Дадим краткий исторический обзор формирования понятия устойчивости.

Наиболее общую и достаточно строгую постановку задачи, а так же некоторые методы решения этой задачи впервые предложил наш соотечественник А. М. Ляпунов. Он рассматривал устойчивость движения с точки зрения поведения соседних траекторий, располагающихся в ее окрестности. Следует заметить, что А.М. Ляпунов не первый кто рассматривал вопрос об устойчивости. Задолго до работ А. М. Ляпунова французский механик и математик С.Д. Пуассон говорил, если траектория многократно возвращается в малую окрестность начальной точки, то можно говорить об устойчивости. Другой французский математик и механик Ж.Л. Лагранж в своем определении устойчивости ограничивался выделением области фазового пространства, не выходящая за пределы которого система будет устойчива.

Наглядная иллюстрация устойчивости орбитальная, по Лагранжу, Пуассону и Ляпунову приводится на рисунке.

Системы, в которых энергия упорядоченного движения с течением времени убывает за счёт диссипации, переходя в другие виды энергии, например в теплоту или излучение, называются диссипативными. Для учёта процессов диссипации энергии в таких системах при определённых условиях может быть введена диссипативная функция. В работе изучено влияние диссипации на устойчивость.

Задача 1. Тело эллиптического сечения с помощью стержня
OA закреплено цилиндрическим шарниром в точке О, находящейся
на продолжении наибольшей оси сечения (рис. 2.), и помещено в поток жидкой или газообразной среды, движущейся с постоянной скоростью V.

Очевидно, что существуют, по крайней мере, два положения равновесия тела .

Исследовать устойчивость этих равновесий.

Решение. В рассматриваемом случае = 0 и для 0.

Уравнение изменения момента количества движения тела относительно точки О имеет вид

(1)

Учитывая, что

,

убеждаемся, что уравнение (1) допускает частные решения . Несложные рассуждения позволяют установить, что других постоянных решений нет.

Проведя линеаризацию правой части уравнения (4.4.2)по , , получим

. (2)

Сила, действующая на тело, представляет собой сумму потенциальной и диссипативной силы . На основании теоремы Кельвина — Четаева о влиянии диссипативных сил заключаем, что положение равновесия = 0 асимптотически устойчиво. Поскольку асимптотическая устойчивость установлена уже но пер­вому приближению, то она сохранится и в силу полного уравнения (1).

Введя отклонение и линеаризуя уравнение (1) по у, , имеем

. (3)

В этом случае силовая функция имеет минимум, определяемый квадратичной частью. Положение у = 0 устойчиво под действием как од­ной потенциальной силы, так и при добавлении диссипативной силы .

Таким образом, рассматриваемое тело имеет лишь одно положение асимптотиче­ски устойчивого равновесия = 0.

Задача 2. Тело эллиптического сечения с помощью стержня OA закрепле­но цилиндрическим шарниром в точке О, находящейся на продолжении наименьшей оси сечении (рис.3), и помещено в поток среды, движущейся с постоянной скоростью F.

Найти положения равновесия тела и исследовать их устойчивость.

Решение. В рассматриваемой задаче можно счи­тать либо , либо при 0. Принял второе, запишем уравнение движения

. (4)

В состоянии покоя V_a = —V 0 для определения поло­жения равновесия имеем уравнение

, или . (5)

Уравнение (5) допускает довольно простое графиче­ское исследование. Для тела эллиптического сечения (в силу его симметрии) , т. е. функцию k() можно изобразить в виде кривых Ι или ΙΙ (рис. 4.4.5), Построим на этом же рисунке график функции tg. Очевидно, что построенные кривые всегда пересекаются при = 0; л. Если k'(0) 1 (как на кривой ΙΙ), то других точек пересечения нет, и, следователь­но, уравнение (4.4.6) имеет только решения .

Если же k'(0) 1 (для кривой II), то неизбежно существование еще двух решений (рис. 4).

Исследуем вопрос об устойчивости положения равновесия, которому отвечает значение = 0. Очевидно, при этом и = 0. Линеаризуя уравнение (4.4.5) в окрестности точки , получаем

. (6)

Если 0, то положение равновесия = 0 асимп­тотически устойчиво. Нетрудно видеть, что 0, если ' = 0 неустойчиво.

Для положения равновесия = , или, что то же, = имеем после замены уравнение

. (7)

При 0 правая часть уравнения (7) представляет собой сумму диссипативиой силы и потенциаль­ной, производной от силовой функции , при­чем последняя имеет при у = 0 минимум.

При U которой имеет в точке у = 0 макси­мум, и ускоряющей силы.

В обоих случаях ( О и = неустойчиво.

Задача3

Тяжелый самолет совершает полет в вертикальной плоскости с выключенным двигателем. Управление рулями высоты осуществляется таким обра­зом, что ось самолета направлена всегда по мгновенной скорости его центра масс, а угол атаки па крыле посто­янен . Найти установившиеся режимы движе­ния самолета и исследовать их устойчивость.

Решение. Так как угол атаки постоянен, то посто­янны и коэффициенты s, р силы сопротивления и подъ­емной силы. Введем обозначения: v — скорость центра масс самолета; — угол между горизонталью и векто­ром v; g — ускорение силы тяжести; т — масса самолета.

Уравнения движения

(8)

допускают лишь одно стационарное решение, для кото­рого . При этом

(3)

Для исследования устойчивости указанного решения проведем в (8) замену переменных v, х,у, вводя, отклонения х = v — v₀, у = — . Разложим правую часть системы (8) по степеням х и у с точностью до членов первого порядка малости . Получили систему линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

, Характеристическое уравнение этой системы

имеет корни

действительные части которых отрицательны при s.

Следовательно, по теореме Ляпунова об устойчивости по первому приближению устанавливаем, что решение (9) устойчиво в силу полных уравнений (8) по отношению к переменным v, , если s.

Разберем теперь случай s=0 (отсутствие лобового сопротивления или компенсация его тягой самолета). В установившемся режиме движения имеем

= 0.

Уравнения (4.4.9) допускают при s = 0 первый интеграл

. (10)

Проведя указанную выше замену и, v, х,у,, предста­вим (10) и виде

Здесь многоточием обозначены члены третьего и бо­лее высокого порядков малости по х, у. Приняв V в ка­честве функции Ляпунова, устанавливаем, что частное решение (2) при s = 0 устойчиво.