Практикум по решению стереометрических задач " Вычисление элементов составных многогранников, площади их поверхности и объема."

Практикум по решению стереометрических задач на вычисление элементов

составных многогранников,

площади их поверхности и объема

Задача №1

Найдите расстояние между вершинами А  и С2   многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.

Решение.

Задача №2

Найдите квадрат расстояния между вершинами  D  и С2   многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.

Рассмотрим прямоуголь ­ ный треугольник   DD 2 C 2.    По теореме Пифагора

Решение.

Задача №3

Найдите расстояние между вершинами В1  и D 2   многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.

Треугольник   KD 2 B 1 = прямоуг. По теореме Пифагора :

Решение.

Задача №4

Найдите угол  CAD2  многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые. Ответ дайте в градусах.

Рассмотрим треугольник   CAD 2     где   AC=CD 2 =AD 2   т. к. являются диагоналями равных квадратов. Следовательно, треугольник   CAD 2  – равносторонний, поэтому все его углы равны   60 ° .    

Решение.

Задача №5

Найдите угол  АВ D  многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые. Ответ дайте в градусах.

ABCD квадрат со стороной 2, а   BD  — его диагональ. Значит, треугольник   ABD    — прямоугольный и равнобедренный,   AB=AD   . Угол     ABD     равен   45 °

Решение.

Найдите угол  D2EF  многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые. Ответ дайте в градусах.

D 2 E - диагональ квадрата со стороной 2, значит, треугольник   D 2 EF – прямоугольный и равнобедренный, угол   D 2 EF              равен   45 °   .

Найдите угол  EAD 2  многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые. Ответ дайте в градусах.

Рассмотрим треугольник   EAD 2 . В нем AE=ED 2 =D 2 A , т.к. это диагонали равных квадратов.

Таким образом, треугольник   EAD 2  — равносторонний, все его углы равны   60° .

Задача № 8

Найдите тангенс угла  В 2 А 2 С 2  многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.

Треугольник В 2 А 2 С 2 прямоугольный.

Значит

Решение.

Найдите тангенс угла  С 2 С 3 В 2  многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.

Найдите тангенс угла  АВВ 3  многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.

Опустим перпендикуляр   В 3 К   из точки   В 3   на отрезок   АВ . Угол   АВВ 3   равен углу   КВВ 3 . В прямоугольном треугольнике   В 3 КВ   имеем:

к

Задача № 11

Найдите квадрат расстояния между вершинами В2  и  D3  многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.

Решение.

Ответ: 11

Решение. " width="640"

Задача № 12

Найдите квадрат расстояния между вершинами В  и  D 2  многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.

Треугольник ВС1 D 2 прямоугольный =

Решение.

Задача № 13

Найдите квадрат расстояния между вершинами А  и С 3  многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.

Решение.

Задача №1 4

Найдите квадрат расстояния между вершинами  D  и С 2  многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.

Задача №15

Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Площадь поверхности заданного многогранника равна разности площади поверхности прямоугольного параллелепипеда с ребрами

2, 3, 1 и двух площадей прямоугольников со сторонами 2, 1 :

Задача №16

Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Разность площадей параллелепипеда с ребрами 3, 3, 5 и двух площадей квадратов со стороной 1:

Задача №17

Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Площадь поверхности заданного многогранника равна площади поверхности прямоугольного параллелепипеда с ребрами 3, 5, 5:

Задача №18

Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Площадь поверхности заданного многогранника равна площади поверхности прямоугольного параллелепипеда с ребрами 3, 5, 4:

Задача №19

Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Площадь поверхности заданного многогранника равна сумме площадей большого и маленького параллелепипедов с ребрами 1, 5, 7 и 1, 1, 2, уменьшенной на 4 площади прямоугольника со сторонами 1, 2  — передней грани маленького параллелепипеда, излишне учтенной при расчете площадей поверхности параллелепипедов :  

Задача №20

Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Площадь поверхности тела равна сумме поверхностей трех составляющих ее параллелепипедов с ребрами 2,5,6 ; 2,5,3  и 2,2,3 , уменьшенная на удвоенные площади прямоугольников со сторонами 5 ,3 и 2, 3:

Задача №21

Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Площадь поверхности данной детали - есть сумма площади поверхности двух многогранников: со сторонами 1,2,5 и 2,2,2 за вычетом 2 площадей прямоугольников со сторонами 2,2 (т. к. данная площадь учитывается два раза при сложении площадей многогранников, а как видно из рисунка, данных площадей в итоговой детали нет). Значит:

Задача №22

Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Площадь поверхности данной детали - есть площадь поверхности многогранника со сторонами 6,5,5 за вычетом площади двух "боковых прямоугольников" со сторонами 3,2 и прибавления 2 площадей "верхнего" и "нижнего прямоугольников" со сторонами 2,5. Получаем:                                                                                                  

Задача №23

Найдите площадь поверхности пространственного креста, изображенного на рисунке и составленного из единичных кубов .

Поверхности креста составлена из шести поверхностей кубов , у каждого из которых отсутствует одна грань . Тем самым, поверхность креста состоит из 30 единичных квадратов, поэтому ее площадь равна 30.

Задачи

для самостоятельного решения

Задача №1 Решите самостоятельно

1) Найдите расстояние между вершинами  D  и B 2   многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые. Ответ: 33.

Задача №1 Решите самостоятельно

2) Найдите расстояние между вершинами А  и С2   многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.

Задача №1 Решите самостоятельно

3) Найдите расстояние между вершинами  D  и B 2   многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.

Задача №2 Решите самостоятельно

Найдите квадрат расстояния между вершинами А  и В1   многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.

Ответ:37

Задача №5 Решите самостоятельно

Найдите угол  АВ D  многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 45

Задача №8 Решите самостоятельно

Найдите тангенс угла  D 1 А 1 С 2  многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.

Ответ: 1

Задача № 15 Решите самостоятельно

Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Ответ:

Задача № 20 Решите самостоятельно

Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Ответ:

Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Ответ: 162

Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Ответ:

Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Ответ: 124

Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Ответ: 84

Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Ответ: 48

Используемые ресурсы

• Шаблон п одготовила учитель русского языка и литературы Тихонова Надежда Андреевна

http://sch-53.ru/files/director/GIA/2016/%D0%95%D0%93%D0%AD%202016.jpg

«Решу ЕГЭ» Образовательный портал для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ. Режим доступа: http://mathb.reshuege.ru

http://lib2.znate.ru/pars_docs/refs/324/323424/323424_html_m22f8f945.gif

Автор и источник заимствования неизвестен