Практикум по теме "Кодирование чисел. Системы счисления. ЕГЭ - 2020, задание 16"

ЕГЭ – 16. Кодирование чисел. Системы счисления (повышенный

уровень, примерное время решения – 2 минуты).

Для решения данного задания следует повторить теорию, изложенную в «Методических рекомендациях по изучению темы» или презентацию к ним, обратив при этом особое внимание на закономерности, позволяющие быстро и наиболее безошибочно решить поставленную задачу.

И помним, что системы счисления – для нас это всего лишь способ записи чисел, значит, что все правила и закономерности работают во всех системах счисления одинаково.

Заметим также, что 2^N + 2^N = 2 * 2^N = 2^N+1. Тогда 2^N = 2^N+1 - 2^N, а -2^N = -2^N+1 - 2^N.

Проверить правильность этих формул легко, достаточно подставить вместо N любые числа. Проверьте их так же в других системах счисления и сделайте выводы!

Рассмотрим различные задачи, которые встречаются в данном задании, и способы их решения. Начнем с самых простых задач, которые вряд ли будут на ЕГЭ, но решение которых научит нас быстро и просто решать самые сложные задачи.

Задача 1. Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 20 оканчивается на 4.

Решение. Заметим, что в результате перевода числа 23 в систему счисления с основанием N в нем имеется цифра «4», то есть N ≥ 5.

Вспомним, что последняя цифра числа – это первый остаток от деления числа на основание системы счисления, в которой это число записано.

Тогда 4 – это остаток от деления числа 20 на N – основания систем счисления, которые требуется найти.

Так как значность числа, получаемого после перевода в другую систему счисления, не определена, то условие задачи можно записать как k * N + 4 = 20.

Значит, N = .

Тогда при k = 1 получаем N = 20 - 4 = 16, и это максимально возможное основание системы. Остается определить все возможные N ≥ 5. которые будут делителями числа 16.

Тогда N = 8,16.

Для проверки поделите 20 на N и сравните остаток с заданным в условии задачи.

Ответ: 8, 16

Задача 2. Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 75 оканчивается на 23.

Решение. Заметим, что в результате перевода числа 75 в систему счисления с основанием N в нем имеется цифра «3», то есть N ≥ 4.

Здесь 3 – это остаток от деления числа 75 на N, а 23 - это остаток от деления числа 75 на N², где N - основания систем счисления, которые требуется найти.

Будем считать, что запись числа 75 в системе с основанием состоит из трех цифр (оставим желающим математикам возможность доказать, что при большем количестве разрядов эта формула также верна), причем две младшие (23) нам даны, а одну (обозначим ее через ) нужно найти:

75 = k * N² + 2 * N + 3

Тогда k = ,

Здесь есть две неизвестные переменные k и N, но будем учитывать, что это – натуральные числа и выразим k через N. Тогда задача сводится к тому, чтобы найти и отобрать только те из N, при которых k – целое число, то есть N² – 2 * N и 4 ≤ N ≤ 7.