Предел функции. Основные теоремы о пределах. Замечательные пределы

Практическая работа

«Вычисление пределов. Раскрытие неопределенностей»

Цель работы: научиться вычислять пределы, раскрывать неопределенности.

Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практической работы

Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки а, кроме, быть может, самой точки а. Число В называется пределом функции f(x) в точке а (или при х, стремящемся к а), если для любой последовательности значений аргумента х_nа, сходящейся к а, последовательность соответствующих значений функции f(x_n), nN сходится к числу В.

В этом случае пишут:

Свойства пределов сформулируем в виде теорем:

Теорема 1: Функция не может иметь двух разных пределов в точке.

Теорема 2: Предел суммы (разности) функций равен сумме (разности) их пределов, если последние существуют:

.

Теорема 3: Предел произведения функций равен произведению их пределов, если последние существуют:

.

Следствие: Постоянный множитель можно выносить за знак предела, т.е.

.

Теорема 4: Предел отношения двух функций равен отношению их пределов, если последние существуют и предел делителя отличен от нуля:

.

Дадим определение предела функции f(x) на бесконечности, т.е. х+ и при х-.

Пусть функция f(x) определена на всей числовой прямой. Число В называется пределом функции f(x) при х+, если для любой последовательности (x_n) такой, что . В этом случае пишут . Аналогично, , если для любой последовательности (x_n) такой, что В ряде случаев поведение функции f(x) разное при х+ и при х-. Например, для функции , определенной для всех х  1, имеем:

, .

Поэтому при исследовании свойств функций рассматривают как , так и .

Сформулируем определение бесконечного предела функции:

Если для любой последовательности значений аргумента (x_n) такой, что x_n  а имеет место , то говорят, что предел функции f(x) в точке а есть бесконечность, и пишут .

3) Применение замечательных пределов и

^{Здесь мы воспользовались известным пределом} .

Примеры по выполнению практической работы

Пример 1. Пусть требуется вычислить

Решение: f (x) = x³ – 2x – 3 и g (x) = x² + 3x + 3. Так как g (3) = 3² + 3 ∙ 3 + 3 = 21 ≠ 0. то имеем:

Пример 2. Вычислить .

Решение: здесь ƒ (2) = 2² - 5∙2 + 6 = 0, g (2) = 2² - 6∙2 + 8 = 0. Так как x ≠ 2, имеем

.

Пример 3. Вычислить .

Решение:

.

Пример 4. Вычислить .

.

Пример 5. Вычислить .

Решение: .

Пример 6. Вычислить .

Пример 7. Найти предел .

= = = =0

Пример 8. Вычислить

^{Решение: , заменяя 3x = y и учитывая, что y → 0 при}

^{x → 0, получаем:} .

Пример 9. Вычислить .

^{Решение:}

Пример 10. Вычислить

^{Решение:}

Задания для практического занятия:

Вариант 1

1. Вычислить пределы функций в точке:

а) ; б) ; в) ; г) ;

2. Вычислить пределы функций на бесконечности:

а) ; б) ; в) ; г) - домножить на сопряжённое выражение и разделить числитель и знаменатель дроби на х!

3. Вычислить, используя замечательные пределы:

а) ; б) ; в) ; г)

Контрольные вопросы

1.Что называется пределом функции в точке? На бесконечности?

2.Какие свойства пределов функций вы знаете?

3.Как раскрывать неопределенности?

4.Какие замечательные пределы вы знаете?

Практическая работа

«Вычисление пределов. Раскрытие неопределенностей»

Цель работы: научиться вычислять пределы, раскрывать неопределенности.

Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практической работы

Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки а, кроме, быть может, самой точки а. Число В называется пределом функции f(x) в точке а (или при х, стремящемся к а), если для любой последовательности значений аргумента х_nа, сходящейся к а, последовательность соответствующих значений функции f(x_n), nN сходится к числу В.

В этом случае пишут:

Свойства пределов сформулируем в виде теорем:

Теорема 1: Функция не может иметь двух разных пределов в точке.

Теорема 2: Предел суммы (разности) функций равен сумме (разности) их пределов, если последние существуют:

.

Теорема 3: Предел произведения функций равен произведению их пределов, если последние существуют:

.

Следствие: Постоянный множитель можно выносить за знак предела, т.е.

.

Теорема 4: Предел отношения двух функций равен отношению их пределов, если последние существуют и предел делителя отличен от нуля:

.

Дадим определение предела функции f(x) на бесконечности, т.е. х+ и при х-.

Пусть функция f(x) определена на всей числовой прямой. Число В называется пределом функции f(x) при х+, если для любой последовательности (x_n) такой, что . В этом случае пишут . Аналогично, , если для любой последовательности (x_n) такой, что В ряде случаев поведение функции f(x) разное при х+ и при х-. Например, для функции , определенной для всех х  1, имеем:

, .

Поэтому при исследовании свойств функций рассматривают как , так и .

Сформулируем определение бесконечного предела функции:

Если для любой последовательности значений аргумента (x_n) такой, что x_n  а имеет место , то говорят, что предел функции f(x) в точке а есть бесконечность, и пишут .

3) Применение замечательных пределов и

^{Здесь мы воспользовались известным пределом} .

Примеры по выполнению практической работы

Пример 1. Пусть требуется вычислить

Решение: f (x) = x³ – 2x – 3 и g (x) = x² + 3x + 3. Так как g (3) = 3² + 3 ∙ 3 + 3 = 21 ≠ 0. то имеем:

Пример 2. Вычислить .

Решение: здесь ƒ (2) = 2² - 5∙2 + 6 = 0, g (2) = 2² - 6∙2 + 8 = 0. Так как x ≠ 2, имеем

.

Пример 3. Вычислить .

Решение:

.

Пример 4. Вычислить .

.

Пример 5. Вычислить .

Решение: .

Пример 6. Вычислить .

Пример 7. Найти предел .

= = = =0

Пример 8. Вычислить

^{Решение: , заменяя 3x = y и учитывая, что y → 0 при}

^{x → 0, получаем:} .

Пример 9. Вычислить .

^{Решение:}

Пример 10. Вычислить

^{Решение:}

Задания для практического занятия:

Вариант 2

1. Вычислить пределы функций в точке:

а) ; б) ; в) ; г) ;

2. Вычислить пределы функций на бесконечности:

а) ; б) ; в) ; г) - домножить на сопряжённое выражение и разделить числитель и знаменатель дроби на х!

3. Вычислить, используя замечательные пределы:

а) ; б) ; в ) ; г) ;

Контрольные вопросы

1.Что называется пределом функции в точке? На бесконечности?

2.Какие свойства пределов функций вы знаете?

3.Как раскрывать неопределенности?

4.Какие замечательные пределы вы знаете?

Практическая работа

«Вычисление пределов. Раскрытие неопределенностей»

Цель работы: научиться вычислять пределы, раскрывать неопределенности.

Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практической работы

Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки а, кроме, быть может, самой точки а. Число В называется пределом функции f(x) в точке а (или при х, стремящемся к а), если для любой последовательности значений аргумента х_nа, сходящейся к а, последовательность соответствующих значений функции f(x_n), nN сходится к числу В.

В этом случае пишут:

Свойства пределов сформулируем в виде теорем:

Теорема 1: Функция не может иметь двух разных пределов в точке.

Теорема 2: Предел суммы (разности) функций равен сумме (разности) их пределов, если последние существуют:

.

Теорема 3: Предел произведения функций равен произведению их пределов, если последние существуют:

.

Следствие: Постоянный множитель можно выносить за знак предела, т.е.

.

Теорема 4: Предел отношения двух функций равен отношению их пределов, если последние существуют и предел делителя отличен от нуля:

.

Дадим определение предела функции f(x) на бесконечности, т.е. х+ и при х-.

Пусть функция f(x) определена на всей числовой прямой. Число В называется пределом функции f(x) при х+, если для любой последовательности (x_n) такой, что . В этом случае пишут . Аналогично, , если для любой последовательности (x_n) такой, что В ряде случаев поведение функции f(x) разное при х+ и при х-. Например, для функции , определенной для всех х  1, имеем:

, .

Поэтому при исследовании свойств функций рассматривают как , так и .

Сформулируем определение бесконечного предела функции:

Если для любой последовательности значений аргумента (x_n) такой, что x_n  а имеет место , то говорят, что предел функции f(x) в точке а есть бесконечность, и пишут .

3) Применение замечательных пределов и

^{Здесь мы воспользовались известным пределом} .

Примеры по выполнению практической работы

Пример 1. Пусть требуется вычислить

Решение: f (x) = x³ – 2x – 3 и g (x) = x² + 3x + 3. Так как g (3) = 3² + 3 ∙ 3 + 3 = 21 ≠ 0. то имеем:

Пример 2. Вычислить .

Решение: здесь ƒ (2) = 2² - 5∙2 + 6 = 0, g (2) = 2² - 6∙2 + 8 = 0. Так как x ≠ 2, имеем

.

Пример 3. Вычислить .

Решение:

.

Пример 4. Вычислить .

.

Пример 5. Вычислить .

Решение: .

Пример 6. Вычислить .

Пример 7. Найти предел .

= = = =0

Пример 8. Вычислить

^{Решение: , заменяя 3x = y и учитывая, что y → 0 при}

^{x → 0, получаем:} .

Пример 9. Вычислить .

^{Решение:}

Пример 10. Вычислить

^{Решение:}

Задания для практического занятия:

Вариант 3

1. Вычислить пределы функций в точке:

а) ; б) ; в) ; г) ;

2. Вычислить пределы функций на бесконечности:

а) ; б) ; в) ; г) - домножить на сопряжённое выражение и разделить числитель и знаменатель дроби на х!

3. Вычислить, используя замечательные пределы:

а) ; б) ; в) ; г) ;

Контрольные вопросы

1.Что называется пределом функции в точке? На бесконечности?

2.Какие свойства пределов функций вы знаете?

3.Как раскрывать неопределенности?

4.Какие замечательные пределы вы знаете?

Практическая работа

«Вычисление пределов. Раскрытие неопределенностей»

Цель работы: научиться вычислять пределы, раскрывать неопределенности.

Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практической работы

Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки а, кроме, быть может, самой точки а. Число В называется пределом функции f(x) в точке а (или при х, стремящемся к а), если для любой последовательности значений аргумента х_nа, сходящейся к а, последовательность соответствующих значений функции f(x_n), nN сходится к числу В.

В этом случае пишут:

Свойства пределов сформулируем в виде теорем:

Теорема 1: Функция не может иметь двух разных пределов в точке.

Теорема 2: Предел суммы (разности) функций равен сумме (разности) их пределов, если последние существуют:

.

Теорема 3: Предел произведения функций равен произведению их пределов, если последние существуют:

.

Следствие: Постоянный множитель можно выносить за знак предела, т.е.

.

Теорема 4: Предел отношения двух функций равен отношению их пределов, если последние существуют и предел делителя отличен от нуля:

.

Дадим определение предела функции f(x) на бесконечности, т.е. х+ и при х-.

Пусть функция f(x) определена на всей числовой прямой. Число В называется пределом функции f(x) при х+, если для любой последовательности (x_n) такой, что . В этом случае пишут . Аналогично, , если для любой последовательности (x_n) такой, что В ряде случаев поведение функции f(x) разное при х+ и при х-. Например, для функции , определенной для всех х  1, имеем:

, .

Поэтому при исследовании свойств функций рассматривают как , так и .

Сформулируем определение бесконечного предела функции:

Если для любой последовательности значений аргумента (x_n) такой, что x_n  а имеет место , то говорят, что предел функции f(x) в точке а есть бесконечность, и пишут .

3) Применение замечательных пределов и

^{Здесь мы воспользовались известным пределом} .

Примеры по выполнению практической работы

Пример 1. Пусть требуется вычислить

Решение: f (x) = x³ – 2x – 3 и g (x) = x² + 3x + 3. Так как g (3) = 3² + 3 ∙ 3 + 3 = 21 ≠ 0. то имеем:

Пример 2. Вычислить .

Решение: здесь ƒ (2) = 2² - 5∙2 + 6 = 0, g (2) = 2² - 6∙2 + 8 = 0. Так как x ≠ 2, имеем

.

Пример 3. Вычислить .

Решение:

.

Пример 4. Вычислить .

.

Пример 5. Вычислить .

Решение: .

Пример 6. Вычислить .

Пример 7. Найти предел .

= = = =0

Пример 8. Вычислить

^{Решение: , заменяя 3x = y и учитывая, что y → 0 при}

^{x → 0, получаем:} .

Пример 9. Вычислить .

^{Решение:}

Пример 10. Вычислить

^{Решение:}

Задания для практического занятия:

Вариант 4

1. Вычислить пределы функций в точке:

а) ; б) ; в) ; г) ;

2. Вычислить пределы функций на бесконечности:

а) ; б) ; в) ; г) - домножить на сопряжённое выражение и разделить числитель и знаменатель дроби на х!

3. Вычислить, используя замечательные пределы:

а) ; б) ; в) ; г) ;

Контрольные вопросы

1.Что называется пределом функции в точке? На бесконечности?

2.Какие свойства пределов функций вы знаете?

3.Как раскрывать неопределенности?

4.Какие замечательные пределы вы знаете?