Презентация "А площадь у Вас какая?" (предмет математика)

«А площадь у Вас какая?»

На фигуру посмотри И в альбоме начерти Три угла. Три стороны Меж собой соедини. Получился не угольник, А красивый треугольник.

ДРЕВНИЙ ЕГИПЕТ

Название «геометрия» (землемерие) связывают с измерением площадей. Эта наука возникла в Древнем Египте, где после каждого разлива Нила приходилось заново производить разметку участков.

Определение площадей геометрических фигур – одна из древнейших практических задач.

Древние землемеры выполняли геометрические построения, измеряли длины и площади; астрологии рассчитывали расположение небесных светил – всё это требовало весьма обширных познаний о свойствах плоских и пространственных фигур, и в первую очередь о треугольнике.

Цель исследования:

• Рассмотреть способы нахождения площади треугольников разного вида.
• Понять, какой способ нахождения площади треугольника самый удобный.
• Доказать, что геометрия - прообраз красоты.

Ма́ттерхорн.Треугольник

Кислица. Треугольник.

Актуальность данной работы определяется тем, что знания и умения по нахождению площадей треугольников имеют огромное практическое значение, а также применяются для решения задач государственной итоговой аттестации.

Гипотеза

Существует множество формул вычисления площади треугольника

Ход исследования:

• Изучить теоретический материал учебника и дополнительных источников информации.
• Узнать, какие способы нахождения площади треугольника имеются.
• Выяснить, какой способ самый удобный и научиться решать задачи с его использованием.
• Оформить результаты.
• Сделать выводы.

Определение слова «треугольник» в толковых словарях русского языка

Значение слова

Пример

Толковый словарь Ожегова С.И.

Геометрическая фигура — многоугольник с тремя углами, а также всякий предмет, устройство такой формы. 

Прямоугольный треугольник, деревянный треугольник, солдатский треугольник.

Название сержантского и старшинского знака различия такой формы на петлицах в Красной Армии (с 1919 по 1943 г.)

В советском учреждении, на предприятии: совместно действующие три руководящих лица — администратор, секретарь партийной организации и председатель профсоюзного комитета

Треугольник цеха

Толковый словарь Ушакова Д.Н.

  Геометрическая фигура, ограниченная тремя взаимно пересекающимися прямыми, образующими три внутренних угла (мат.).

Всякий предмет, устройство, имеющие форму такой фигуры.

Тупоугольный треугольник.

Железный треугольник

Значение слова

Пример

Ударный музыкальный инструмент из согнутого в форме такой фигуры стального прута, по которому ударяют металлической палочкой (муз)

В учреждении, предприятии или их отделах - общее название для трех руководящих лиц: руководителя по административной линии и руководителей по линии партийной и профсоюзной работы.

Треугольник завода

Словарь Ефремовой Т.Ф.

Геометрическая фигура на плоскости, ограниченная тремя пересекающимися прямыми, образующими три внутренних угла.

Остроугольный треугольник

Три человека (двое мужчин и одна женщина или две женщины и один мужчина), связанные любовными отношениями

Любовный треугольник

В учреждении, предприятии или их отделах - общее название для трех руководящих лиц: руководителя по административной линии и руководителей по линии партийной и профсоюзной работы.

Треугольник завода

Площадь равнобедренного треугольника

Площадь равностороннего треугольника

Площадь прямоугольного треугольника

Площадь всех типов треугольников

Результаты исследования:

Задача 1. Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен 150  . Боковая сторона треугольника равна 2. Найдите площадь этого треугольника.

Решение: площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон, умноженного на синус угла между ними.

Ответ: 1

Задача 2. Две стороны равнобедренного треугольника равны 8 и 5 , а две его высоты равны 4,8 и 3. Найдите площадь треугольника.

Решение: 1 способ. По формуле Герона:

2 способ: проведем высоту к основанию. Т.к. треугольник равнобедренный, то

высота является медианой, тогда из прямоугольного треугольника по т. Пифагора

высота равна и

Ответ:12

Результаты исследования:

Задача 3. Найдите площадь треугольника, изображенного на рисунке.

Получаем: Ответ: 126.

Задача 4. Чему равна площадь равностороннего треугольника, если радиус описанной окружности равен 5?

Решение: найдем площадь треугольника по формуле

Ответ:

Решение: найдем площадь треугольника по формуле , где h =BH, a = AC=AH+HC. Треугольники ABH и CBH- прямоугольные.

C

А H В

Результаты исследования:

Задача 5. Чему равна площадь равностороннего треугольника, если радиус вписанной окружности равен 2?

Решение: найдем площадь треугольника по формуле

Ответ:

Задача 6. Высота равностороннего треугольника равна найдите его площадь.

Решение: найдем площадь треугольника по формуле

Ответ:

Задача 7. Сторона равностороннего треугольника равна 6см, найдите его площадь.

Решение: найдем площадь треугольника по формуле

Ответ:

Результаты исследования:

Задача 8. Известно, что стороны треугольника 5 см, 6 см и 8 см, а радиус описанной около треугольника окружности равен 4 см. Найдите его площадь.

Решение: по условию a = 5 см, b = 6 см, с = 8см, R = 4см,

найдем площадь треугольника по формуле

Ответ: 15.

Задача 9. Периметр треугольника равен 48, одна из сторон равна 18, а радиус вписанной в него окружности равен 3. Найдите площадь этого треугольника.

Решение: площадь треугольника можно найти по формуле: S=1\2Pr, где

P = 48 (периметр треугольника), r = 3 – радиус вписанной окружности.

Получаем: S = 1/2*48*3 = 72 Ответ: 72.

Результаты исследования:

Задача 10. Сторона равностороннего треугольника равна 20. Найдите его площадь, деленную на

Решение: площадь треугольника находится по формуле: , где а – основание треугольника, h – высота, проведенная к этому

основанию. Длина основания нам известна по условию – 10.

Осталось найти высоту. Рассмотрим прямоугольный

треугольник ABD (см. рис.), BD – высота. Известно, что в

равностороннем треугольнике высота является и

биссектрисой, и медианой, значит AD = DC = 5. Воспользуемся

теоремой Пифагора и найдем сторону BD:

Ответ: 25.

В

А

D

C

Теперь найдем площадь равностороннего треугольника

Разделим площадь на , получим

Результаты исследования:

Задача 11. Высота равностороннего треугольника равна 15. Найдите его площадь, делённую на .

Решение: , где а - сторона, h – высота, и в то же время ,

следовательно , , . А так как надо

найти S, деленную на , получаем (100√3):(√3/3) = 300.

Ответ: 300.

  Задача 12. Внутри параллелограмма ABCD выбрана произвольная точка   и проведены отрезки PA, PB, PC. Площади трех из образовавшихся треугольников равны 1, 2 и 3. Какие значения может принимать площадь четвертого треугольника?

Решение: сделаем рисунок и обозначим площади, например, так:

Тогда

Необходимо, чтобы

Ответ: 4

Результат исследования

Задача 14. На клетчатой бумаге с клетками размером 1см×1см изображён треугольник. Найдите его S.

Решение: найдем площадь треугольника по формуле Пика:

, где M – количество узлов на границе

треугольника, N – количество

узлов внутри треугольника

(«узлы» - точки

пересечения линий)

1cм

M = 15 (красные точки),

N = 8 (зеленые точки)

.

Последовательность действий на слайде:

• Нажимаем кнопку «Алгоритм»
• Нажимаем на появившийся прямоугольник (анимированная сорбонка) – 3 раза (можно два – в зависимости от целей демонстрации)
• Нажимаем кнопку «Алгоритм»
• Нажимаем на второй появившийся прямоугольник (анимированныя сорбонка) – количество определяете в зависимости от целей демонстрации
• Нажимаем кнопку «Алгоритм»
• Нажимаем на третий появившийся прямоугольник (анимированныя сорбонка) – для визуализации решений
• Нажимаем кнопку «Ответ». При этом не забываем выполнить условие задачи.

Ответ: 19

вывод

• Существует множество способов нахождения площади треугольника. При решении задач мы пользуемся наиболее удобным способом.
• Формулы вычисления площади треугольника используются почти во всех сферах деятельности человека и с их помощью можно показать, что геометрия - прообраз красоты.
• Умения применять различные способы для вычислений и расчетов необходимы каждому человеку, так как с треугольниками мы сталкиваемся в повседневной жизни постоянно.
• Уметь грамотно проводить элементарные вычисления площадей треугольников должен каждый современный учащийся.