Презентация "Десять способов решения квадратных уравнений"

10 способов решения квадратных уравнений Работу выполнил ученик 9Б класса Каданцев Денис Николаевич

Способ 1: разложение левой части уравнения на множители.

Решим уравнение

х 2 + 10х - 24 = 0.

Разложим левую часть на множители:

х 2 + 10х - 24 = х 2 + 12х - 2х - 24 = х(х + 12) - 2(х + 12) = (х + 12)(х - 2).

Следовательно, уравнение можно переписать так:

(х + 12)(х - 2) = 0

Так как произведение равно нулю, то, по крайней мере, один из его множителей равен нулю. Поэтому левая часть уравнения обращается нуль при х = 2, а также при х = - 12. Это означает, что число 2 и - 12 являются корнями уравнения х 2 + 10х - 24 = 0.

Способ 2: метод выделения полного квадрата.

Решим уравнение х 2 + 6х - 7 = 0.

Выделим в левой части полный квадрат.

Для этого запишем выражение х 2 + 6х в следующем виде:

х 2 + 6х = х 2 + 2• х • 3.

В полученном выражении первое слагаемое - квадрат числа х, а второе - удвоенное произведение х на 3. По этому чтобы получить полный квадрат, нужно прибавить 3 2 , так как

х 2 + 2• х • 3 + 3 2 = (х + 3) 2 .

Преобразуем теперь левую часть уравнения

х 2 + 6х - 7 = 0,

прибавляя к ней и вычитая 3 2 . Имеем:

х 2 + 6х - 7 = х 2 + 2• х • 3 + 3 2 - 3 2 - 7 = (х + 3) 2 - 9 - 7 = (х + 3) 2 - 16.

Таким образом, данное уравнение можно записать так:

(х + 3) 2 - 16 =0, (х + 3) 2 = 16.

Следовательно, х + 3 - 4 = 0, х 1 = 1, или х + 3 = -4, х 2 = -7.

Способ 3: Решение квадратных уравнений по формуле.

Умножим обе части уравнения

ах 2 + bх + с = 0, а ≠ 0

на 4а и последовательно имеем:

4а 2 х 2 + 4аbх + 4ас = 0,

((2ах) 2 + 2ах • b + b 2 ) - b 2 + 4ac = 0,

(2ax + b) 2 = b 2 - 4ac,

2ax + b = ± √ b 2 - 4ac,

2ax = - b ± √ b 2 - 4ac,

Способ 4 : Решение уравнений с использованием теоремы Виета.

Как известно, приведенное квадратное уравнение имеет вид

х 2 + px + c = 0. (1)

Его корни удовлетворяют теореме Виета, которая при а =1 имеет вид

x 1 x 2 = q,

x 1 + x 2 = - p

Отсюда можно сделать следующие выводы (по коэффициентам p и q можно предсказать знаки корней).

0), то уравнение имеет два одинаковых по знаку корня и это зависти от второго коэффициента p. Если р   Например, x 2 – 3x + 2 = 0; x 1 = 2 и x 2 = 1, так как q = 2 0 и p = - 3 x 2 + 8x + 7 = 0; x 1 = - 7 и x 2 = - 1, так как q = 7 0 и p= 8 0.   б) Если свободный член q приведенного уравнения (1) отрицателен (q 0 .   Например, x 2 + 4x – 5 = 0; x 1 = - 5 и x 2 = 1, так как q= - 5 0; x 2 – 8x – 9 = 0; x 1 = 9 и x 2 = - 1, так как q = - 9 " width="640"

а) Если сводный член q приведенного уравнения (1) положителен (q 0), то уравнение имеет два одинаковых по знаку корня и это зависти от второго коэффициента p. Если р

Например,

x 2 – 3x + 2 = 0; x 1 = 2 и x 2 = 1, так как q = 2 0 и p = - 3

x 2 + 8x + 7 = 0; x 1 = - 7 и x 2 = - 1, так как q = 7 0 и p= 8 0.

б) Если свободный член q приведенного уравнения (1) отрицателен (q 0 .

Например,

x 2 + 4x – 5 = 0; x 1 = - 5 и x 2 = 1, так как q= - 5 0;

x 2 – 8x – 9 = 0; x 1 = 9 и x 2 = - 1, так как q = - 9

Способ 5: Решение уравнений способом «переброски».

Рассмотрим квадратное уравнение

 

ах 2 + bх + с = 0, где а ≠ 0.

 

Умножая обе его части на а, получаем уравнение

 

а 2 х 2 + аbх + ас = 0.

 

Пусть ах = у , откуда х = у/а ; тогда приходим к уравнению

 

у 2 + by + ас = 0,

равносильно данному. Его корни у 1 и у 2 найдем с помощью теоремы Виета.

Окончательно получаем

 

х 1 = у 1 /а и х 1 = у 2 /а .

При этом способе коэффициент а умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его называют способом «переброски». Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат.

Пример.

Решим уравнение 2х 2 – 11х + 15 = 0.

Решение. «Перебросим» коэффициент 2 к свободному члену, в результате получим уравнение

у 2 – 11у + 30 = 0.

Согласно теореме Виета

 

у 1 = 5 х 1 = 5/2 x 1 = 2,5

у 2 = 6 x 2 = 6/2 x 2 = 3.

Ответ: 2,5; 3.

Способ 6: Свойства коэффициентов квадратного уравнения.

Пусть дано квадратное уравнение

 

ах 2 + bх + с = 0, где а ≠ 0.

 

Если, а+ b + с = 0 (т.е. сумма коэффициентов равна нулю), то х 1 = 1,

х 2 = с/а.

Доказательство. Разделим обе части уравнения на а ≠ 0, получим приведенное квадратное уравнение

 

x 2 + b/a • x + c/a = 0.

 

Согласно теореме Виета

x 1 + x 2 = - b/a,

x 1 x 2 = 1• c/a.

 

По условию а – b + с = 0, откуда b = а + с. Таким образом,

 

x 1 + x 2 = - а + b/a= -1 – c/a,

x 1 x 2 = - 1• ( - c/a),

т.е. х 1 = -1 и х 2 = c/a, что и требовалось доказать.

Примеры.

Решим уравнение 345х 2 – 137х – 208 = 0.

Решение. Так как а + b + с = 0 (345 – 137 – 208 = 0), то

х 1 = 1, х 2 = c/a = -208/345.

Ответ: 1; -208/345.

 

2)Решим уравнение 132х 2 – 247х + 115 = 0.

Решение. Так как а + b + с = 0 (132 – 247 + 115 = 0), то

х 1 = 1, х 2 = c/a = 115/132.

Ответ: 1; 115/132.

Способ 7:Графическое решение квадратного уравнения.

Если в уравнении

 

х 2 + px + q = 0

 

перенести второй и третий члены в правую часть, то получим

 

х 2 = - px - q.

 

Построим графики зависимости у = х 2 и у = - px - q.

График первой зависимости - парабола, проходящая через начало координат. График второй зависимости -

прямая .

.Возможны следующие случаи:

• прямая и парабола могут пересекаться в двух точках, абсциссы точек пересечения являются корнями квадратного уравнения;

- прямая и парабола могут касаться ( только одна общая точка), т.е. уравнение имеет одно решение;

- прямая и парабола не имеют общих точек, т.е. квадратное уравнение не имеет корней.