Презентация "Исследование свойств арифметической прогрессии и применение их при решении задач"

«Высшее назначение математики состоит в том,

чтобы находить скрытый порядок в хаосе, который нас окружает»

Винер Н.

Исследование свойств арифметической прогрессии и применение их при решении задач.

Автор проекта:

ученик 10 класса МБОУ Лицей N50

г. Ростов-на-Дону

Сорокин Владимир

Руководитель:

учитель математики

Г.И.Ерашова

Актуальность темы

• На уроках алгебры изучается тема «Арифметическая прогрессия».  Важность этой темы школьного курса заключается в ее чрезвычайно широких областях применения, в частности она применяется в заданиях экзамена ОГЭ и ЕГЭ, в задачах банковского содержания.

05/28/2023

Исследование свойств арифметической прогрессии и применение их при решении задач.

• Цель проекта : установить картину возникновения арифметической прогрессии и выявить примеры ее применения.

Задачи проекта :

*достичь более глубоких знаний по теме «Арифметическая прогрессия»;

*изучить наличие задач на арифметическую прогрессию с практическим содержанием;

*активизировать интерес к предмету алгебра через поиск и решение как стандартных, так и занимательных задач;

*формировать умения видеть связь математики с жизнью;

*найти примеры применения арифметической прогрессий.

• Объект исследования : арифметическая прогрессия.
• Предмет исследования: исследование свойств арифметической прогрессии и ее практическое применение.

05/28/2023

Гипотеза

на уроках математики мы много раз слышали о том, что математика – наука очень древняя и возникла она из практических нужд человека. Видимо, и арифметическая прогрессия имеет такие же практические корни, определенное практическое значение.

05/28/2023

О числовых последовательностях  

• 1, 2, 3, 4, 5, … - последовательность натуральных чисел.
• 2, 4, 6, 8, 10,… - последовательность чётных чисел.
• 1, 3, 5, 7, 9,… - последовательность нечётных чисел.

• Слово прогрессия латинского происхождения ( progressio) , буквально означает «движение вперёд».
• 1+2+3+…+n = ,
• 2+4+6+…+2n = n(n+1),
• 1+3+5+…+(2n-1) = n 2  .

• 1 2  + 2 2  +3 2  + ... + n 2  = n(n+1)(2n+1)

05/28/2023

Арифметические прогрессии в древности

Задача:   «У 10 братьев 1   - мины серебра. Брат над братом поднимается, на сколько поднимается - неизвестно. Доля восьмого 6 шекелей. На сколько выше брат над братом?»

Решение: Итак, 1 мины (мина равна 60 шекелям) серебра, требуется разделить между 10 братьями так, чтобы доли братьев составляли арифметическую прогрессию. Требуется найти разность прогрессии, зная, что восьмой брат получает 6 шекелей.

Найдем среднюю для всех долю: 100 : 10= 10 (шекелей). Удвоенная средняя доля (т.е. 20 шекелей) – это сумма долей третьего и восьмого братьев (имея в виду, что первого от третьего, как и восьмого от десятого отделяют 2 ступени, две разности). Если у восьмого брата 6 шекелей, то у третьего 20 – 6 = 14 (шекелей). Разность между их долями составляет 14 – 6 = 8 (шекелей). Третьего брата от восьмого отделяют 5 ступеней, значит, одна ступень равна шекеля.

05/28/2023

Арифметические прогрессии в древности

Египетская задача из папируса Ахмеса

Задача:  «Пусть тебе сказано: раздели 10 мер ячменя между 10 человеками, разность же между каждым человеком и его соседом равна меры».

=

=

05/28/2023

Арифметическая прогрессия : основные определения

Арифметическая прогрессия – это числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго равен предыдущему сложенному с одним и тем же числом.

d - разность арифметической прогрессии (число)

Последовательность ( - арифметическая прогрессия , если разность а n+1 — а n есть величина постоянная (не зависящая от n).

Арифметическая прогрессия

d =

разность арифметической прогрессии

Если  d , то арифметическая прогрессия  (a n ) – возрастающая .

Если  d , то арифметическая прогрессия  (a n ) - убывающая.

Если  d , то арифметическая прогрессия  (a n ) - постоянная .

Формула n-го члена арифметической прогрессии

(а n ) — арифметическая прогрессия с разностью d .

а n+1 = а n + d ( n = 1, 2,...).

а 2 = а 1 + d,

а 3 = а 2 + d = (а 1 + d) + d = а 1 + 2d,

а 4 = а 3 + d = (а 1 + 2d) + d = а 1 + 3d,

а 5 = а 4 + d = (а 1 + 3d) + d = а 1 + 4d,

а n = а 1 + (n — 1)d.

Арифметическая прогрессия

Например.

Дано: (a n )- арифметическая прогрессия, ( a n ) =

Найти: формулу n -го члена арифметической прогрессии  a n .

Доказать:  (a n ) - возрастающая.

Дать: геометрическую иллюстрацию.

Решение. a 1 = 1, a 2 = 3, d = a 2 – a 1 = 3 – 1 = 2.

а n = а 1 + (n — 1)d ,

a n =1 + (n — 1)*2 = 1 + 2n – 2 = 2n –1,   т.е.  a n = 2n –1.

d = 2 0  ⇒ (a n ) - возрастающая.

Чтобы дать геометрическую иллюстрацию данной арифметической прогрессии, нужно построить график линейной функции y = 2x - 1 и отметить точки с абсциссами, равными 1,2,3,4,…

Свойство и признак арифметической прогрессии

Свойство: к аждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому двух соседних с ним членов.

Признак: Если для всех n 2 выполнено

равенство ,

то последовательность ( а п ) является

арифметической прогрессией .

Характеризация арифметической прогрессии

Три числа а, b, с образуют арифметиче­скую прогрессию тогда и только тогда, когда 2b = а + с .

Задача. (МГУ, экономич. ф-т, 2007 ) Три числа 8x, 3—x 2 и —4 в указанном порядке образуют убывающую арифметическую прогрессию. Найдите x и укажите разность этой прогрессии.

Решение. По свойству арифметической прогрессии имеем:

2(3 — x 2 ) = 8x — 4

2x 2 + 8x — 10 = 0

x 2 + 4x — 5 = 0

x =1, x = —5.

Если x = 1 , то получается убывающая прогрессия 8, 2, —4 с разностью —6. Если x = —5 , то получается возрастающая прогрессия —40, —22, —4; этот случай не годится.

Ответ: x =1, разность равна —6.

Сумма первых n первых членов арифметической прогрессии

Моментально нашел сумму всех натуральных чисел от 1 до 100, будучи еще учеником начальной школы.

Идея маленького Гаусса была такова:

S =1 + 2 + 3 + ... + 98 + 99 + 100.

Запишем данную сумму в обратном порядке:

S = 100 + 99 + 98 + ... + 3 + 2 + 1.

КАРЛ ГАУСС (1777 – 1855)

Сложим две этих формулы:

2S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + ... + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1),

2S = 101 * 100 = 10100,

S = 5050.

Эта идея использовалась для вывода формулы суммы первых n членов

арифметической прогрессии

=

Задачи с практическим содержанием на применение арифметической прогрессии

Задача 1. В соревновании по стрельбе за каждый промах в серии из 25 выстрелов стрелок получал штрафные очки: за первый промах — одно штрафное очко, за каждый последующий — на 0,5 очка больше, чем за предыдущий. Сколько раз попал в цель стрелок, получивший 7 штрафных очков?

Решение: Система штрафных очков составляет арифметическую прогрессию, первый член которой равен 1, а разность – 0,5.Сумма первых n членов (количество промахов) – 7. Найдем число промахов:

=1, , = 7, - ?

= 7,

(1,5+ 0,5n)*n = 14,

n 2 + 3n – 28 = 0,

n 1 = - 7, n 2 = 4,

n n = 4 Т.о., число промахов 4, в цель стрелок попал 25 – 4 = 21 раз.

Ответ.  Число промахов 4, в цель стрелок попал 21 раз.

Задачи с практическим содержанием на применение арифметической прогрессии

Задача 2. Больной принимает лекарство по следующей схеме: в первый день он принимает 5 капель, а в каждый следующий день — на 5 капель больше, чем в предыдущий. Приняв 40 капель, он 3 дня пьет по 40 капель лекарства, а потом ежедневно уменьшает прием на 5 капель, доведя его до 5 капель. Сколько пузырьков лекарства нужно купить больному, если в каждом содержится 20 мл лекарства (что составляет 250 капель)?

Решение: Составим математическую модель задачи: 

5, 10, 15,…,40, 40, 40, 35, 30,…,5 

, 40 = 5+ (n-1)*5, n=8;

= ,

S 8  = =180, 180 капель больной принимал по схеме в первый период и столько же по второй период. Всего он принял 180+40+180=400(капель), всего больной выпьет 400:250=1,6 (пузырька). Значит, надо купить 2 пузырька лекарства.

Ответ: 2.

Задачи с практическим содержанием на применение арифметической прогрессии

Задача 3. Улитка ползет по дереву. За первую минуту она проползла 30 см, а за каждую следующую минуту — на 5 см больше, чем за предыдущую. За какое время достигнет улитка вершины дерева длиной 5,25 м, если считать, что движение начато от его основания?

Решение:

5,25 м= 525 см a 1  =30,  d=5,  S n = 525,  n0.

;

525= n,

1050= (60+ 5 (n-1))n;

1050= 55 n + 5n 2 ; n 2  +11 n -210=0,

n 1 =-21, n 2 =10 (n0). Улика достигнет вершины за 10 дней.

Ответ: за10 дней.

Арифметическая прогрессия и банковские расчеты

Представьте себе, что вы открыли в банке вклад в сумме  а  рублей под p%  годовых на  t  лет. Вы хотите в конце каждого года хранения вклада снимать проценты по вкладу, т.е. полученную прибыль в размере p%  . Какой доход вы получите?

При  t =  1 вы получите ( а +*a ) р.,

при t = 2  ваша итоговая сумма составит ( а + *a) р., и т. д.

Математическая модель ситуации — конечная арифметическая

прогрессия 

а ,  а +*a, а + *a, …, а + *a.

Итак, за  t  лет вы получите

a (1 + ) — это так называемая  формула простых процентов.

Арифметическая прогрессия в литературе

... Не мог он ямба от хорея,

Как мы не бились отличить...

    Ямб - это стихотворный размер с ударением на четных слогах 2; 4; 6; 8... Номера ударных слогов образуют арифметическую прогрессию с первым членом 2 и разностью прогрессии 2.

    Хорей - это стихотворный размер с ударением на нечетных слогах стиха. Номера ударных слогов образуют арифметическую прогрессию 1; 3; 5; 7...

Примеры.

Ямб : «Мой дЯдя сАмых чЕстных прАвил…»\ Маяковский ,

арифметическая прогрессия 2; 4; 6; 8;…

Хорей:   «Я пропАл, как звЕрь в загОне»\ Б.Л.Пастернак , «БУря  мглОю  нЕбо  крОет»\ А.С. Пушкин , прогрессия 1; 3; 5;7;

Выводы

05/28/2023

Вывод

• В ходе выполнения данного исследования я установил, что сами по себе прогрессии известны так давно, что нельзя говорить о том, кто их открыл. Убедился в том, что задачи на прогрессии, дошедшие до нас из древности, также как и многие другие знания по математике, были связаны с запросами хозяйственной жизни: распределение продуктов, деление наследства и др. Выяснил, что в развитие теории о прогрессиях большой вклад внесли: Архимед, Пифагор и его ученики, французский математик Леонард Фибоначчи. Нашел много задач на арифметическую прогрессию в старых и в современных учебниках по математике. Сделав анализ задач на прогрессии с практическим содержанием, увидел, что арифметическая прогрессия встречается в банковских расчетах

05/28/2023

Спасибо за внимание

05/28/2023