Презентация к лекции на тему "Комбинаторика. Треугольник Паскаля. Бином Ньютона"

Основные понятия комбинаторики. Формула бинома Ньютона. Свойства биноминальных коэффициентов.

Треугольник Паскаля.

Подготовила преподаватель математики Абибуллаева А.С.

План :

06/05/2024

• Что такое комбинаторика? Правило суммы. Правило произведения. Перестановки
• Что такое комбинаторика? Правило суммы. Правило произведения. Перестановки
• Что такое комбинаторика?
• Правило суммы.
• Правило произведения.
• Перестановки

• Размещения Сочетания Треугольник Паскаля. Формула бинома Ньютона.
• Размещения Сочетания Треугольник Паскаля. Формула бинома Ньютона.
• Размещения
• Сочетания
• Треугольник Паскаля.
• Формула бинома Ньютона.

Что такое комбинаторика?

• Комбинаторика – радел математики, в котором рассматриваются задачи о подсчёте числа комбинаций составленных по определённым правилам.

Обычный вопрос в комбинаторных задачах: сколькими способами...

К комбинаторным задачам также относятся задачи построения математических квадратов, задач расшифровки и кодирования.

Основные правила комбинаторики – это правила суммы и произведения.

Рождение комбинаторики как раздела математики связано с трудами великих французских математиков 17 века

Пьера Ферма

(1601-1665)

Блеза Паскаля

(1623-1662)

по теории азартных игр

Правило суммы

Если некоторый элемент А можно выбрать m способами, а элемент В - n способами, то выбор «либо А, либо В» можно сделать m+n способами.

Запись в тетради:

А - m способов;

В - n способов;

А или В - (m+n) способов.

Например: если на тарелке лежат 5 яблок и 6 груш, то один плод можно выбрать 5+6=11 способами.

Обратите внимание на то, что выбирается не просто яблоко или груша, а один конкретный плод это яблоко или эта груша.

Правило произведения.

Если элемент А можно выбрать m способами, элемент В можно выбрать n способами, то пару А и В можно выбрать m*n способами.

Запись в тетради .

А — m способов;

В - n способов;

(А и В) - (m*n) способов.

Например:

если есть 2 разных конверта, 3 разные марки, то выбрать то выбрать конверт и марку можно 2*3=6 способами. Обратите внимание - выбирается пара конверт и марка. Правило произведения верно и в том случае, когда рассматриваются элементы нескольких множеств.

Например:

если есть 2 разных конверта и 3 разные марки и 4 разные открытки, то выбрать конверт, марку и открытку можно 2*3*4=24 способами.

Задача 1

• Сколько существует вариантов покупки одной розы,

если продают 3 алые, 2 белые и 4 желтые розы?

Решение:

• Выбирается 1 роза. Правило суммы 3+2+4=9 (способов).

ЗАДАЧА 2.

В столовой есть 4 первых блюда и 7 вторых. Сколько различных вариантов обеда из 2 блюд можно заказать?

Решение:

Выбирается 2 блюда. Правило произведения 4 . 7=28 (вариантов).

Задача 3.

На блюде лежат 7 яблок 3 груши и 4 апельсина

• а) сколькими способами можно взять с блюда 1 плод;
• б) сколькими способами можно взять: (яблоко с грушей); (яблоко с апельсином); (грушу с апельсином);
• в) сколькими способами можно взять 2 фрукта с разными названиями.

Решение:

• а) выбирается 1 плод. Правило суммы 7+3+4=14;
• б) выбирается 2 плода. Правило произведения: (7 . 3=21 способ ), (7 . 4=28 способов ), (3 . 4=12 способов );
• в) применяются оба правила. Сначала - правило произведения (выбирается пара) и затем – правило суммы (эта пара рассматривается как единое целое) 7 . 3+7 . 4+3 . 4=21+28+12=61 (способ ).

Факториал

Определение.

Факториалом натурального числа n называется произведение всех натуральных чисел от 1 до n .

Пример:

Обозначение n!

Запомни:

Таблица факториалов:

n

0

n!

1

1

2

1

3

2

6

4

5

24

6

120

7

720

5 040

8

9

40 320

10

362 880

3 628 800

На примерах учимся

Найдите значение выражения

Перестановки

Пример

Пусть имеются три кубика с буквами А, В и С.

Составьте всевозможные комбинации из этих букв.

ABC АСВ

ВСА ВАС

CAB CBA

Эти комбинации отличаются друг от друга только расположением букв (перестановка букв).

В

С

А

Перестановки

Определение.

Перестановкой из n элементов называется каждое расположение (без повторений) этих элементов в определенном порядке.

Число перестановок из n элементов обозначают

Читают «P из n».

Число всевозможных перестановок из n элементов вычисляется по формуле :

P n = n!

16

3 объекта

Р n =n!

Р 3 =3!=1 ∙2∙3=6

количество перестановок 6

Задача 1. В турнире участвуют семь команд. Сколько вариантов распределения мест между ними возможно? 

Р 7 =7!=1*2*3*4*5*6*7=5040

Ответ: 5040

Задача 2. Сколькими способами могут разместиться за круглым столом 10 человек? 

Р 10  =10! = = 1*2*3*4*5*6*7*8*9*10 = 3628800 

Ответ: 3628800

Задача 3. В среду в 9 классе 6 уроков: алгебра, русский язык, черчение, биология, химия, обществознание. Сколько вариантов расписания можно составить на среду?

Размещения

3 объекта

n =3 - всего объектов (различных фигур)

m = 2 – выбор и перестановка объектов

Размещение по 2 фигуры

Размещения

Пусть имеется n различных объектов. Будем выбирать из них m объектов и переставлять всеми возможными способами между собой .

Получившиеся комбинации называются размещениями из n объектов по m .

Определение

Комбинации, составленные из m элементов, взятых из n элементов, и отличающиеся друг от друга либо составом, либо порядком расположения элементов, называются размещениями из n элементов по m ( 0 ≤n ).

Формула размещения:

! При размещениях меняется и состав выбранных объектов,

и их порядок.

Задача 1. Сколькими способами можно расставить 5 томов на книжной полке, если выбирать их из имеющихся в наличии семи книг?

Ответ: 2520 способов

Задача 2. Найти количество трехзначных чисел с неповторяющимися цифрами, которые можно составить из цифр: 1, 2, 3, 4, 5.

Ответ: 60 чисел

Задача 3. В группе 20 студентов. Сколькими способами можно выбрать старосту и его заместителя?.

Вычислить:

Сочетания

3 объекта

Пусть имеется n различных объектов. Будем выбирать из них m объектов все возможными способами

Получившиеся комбинации называются сочетаниями из n объектов по m ,

! В сочетаниях меняется состав выбранных объектов,

но порядок не важен

06/05/2024

Сочетания

Определение

• Сочетанием из п элементов по m называют любое множество, составленное из m элементов, выбранных из п элементов

! В отличии от размещений в сочетаниях не имеет значение порядок элементов . Два сочетания отличаются друг от друга хотя бы одним элементом.

16

16

Задача 1. Сколькими способами можно распределить три путевки в один санаторий между пятью желающими? 

Так как путевки предоставлены в один санаторий, то варианты распределения отличаются друг от друга хотя бы одним желающим. Поэтому число способов распределения

Ответ: 10 способов.

Задача 2.

Группу из 20 студентов следует рассадить в аудитории по 2 человека за каждой партой. Порядок их размещения не имеет значения. Определить количество возможных вариантов сочетаний.

Ответ: 190

Задача 3. В цехе работают 12 человек: 5 женщин и 7 мужчин. Сколькими способами можно сформировать бригаду из 7 человек, чтобы в ней было 3 женщины? 

Из пяти женщин необходимо выбирать по три, поэтому число способов отбора      .

Так как требуется отобрать четырех мужчин из семи,

то число способов отбора мужчин      

Ответ: 350

Определение

Ответим на вопросы

• Что изучает комбинаторика ?
• Кем был введен в математический обиход термин « комбинаторика» ?
• Какие способы решения комбинаторных задач рассмотрели на уроке?
• Что означает запись n! ?
• Найдите значение выражения
• Что называется перестановкой из n элементов?

Закончи предложение:

• Сегодня на уроке я запомнила……………..
• Я научилась……………………………………
• Я поняла……………………………………......
• У меня не получилось………………………
• Мне бы хотелось…………………………….
• Я справлюсь с домашней работой………...