Презентация к открытому уроку в 9 классе "Теорема синусов"

Открытый урок

Предмет: геометрия

Класс: 9

Учебник и УМК: Геометрия 7 – 9. Учебник для общеобразовательных учреждений. Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, Э.Г. Позняк, И.И. Юдина. /М.: Просвещение, 2017г.

Тема урока: «Теорема синусов».

Тип урока: урок изучения нового материала

Цели и задачи урока:

Цель урока:- организация продуктивной деятельности обучающихся, направленной на достижение ими следующих результатов:

- предметных:

- умение формулировать теорему синусов, умение объяснить её смысл на самостоятельно подобранных примерах, приобрести опыт применения аналитического аппарата (алгебраические уравнения, элементы тригонометрии) для нахождения неизвестных элементов произвольных треугольников и вычисления площади треугольника различными способами; создать условия для развития умений обучающихся применять вновь полученные знания к решению практических задач

- метапредметных:

- умение проводить обобщения и делать выводы, аргументируя свою собственную точку зрения, умение вступать в речевое общение, признавать право на иное мнение, объективно оценивать свои учебные достижения, осознавать причины возникших трудностей, приобрести опыт их устранения.

Универсальные учебные действия:

Познавательные: -работа с текстом, выбор наиболее эффективных способов решения задач, перевод литературного текста на язык математики, представление информации в различных формах.

Регулятивные: - постановка учебной задачи, выдвижение гипотезы, составление плана и последовательности действий, прогнозирование результата, контроль.

Коммуникативные: – представление информации, работа в паре, умение слушать и высказывать своё мнение Побудить учащихся к активной работе на уроке, проявлению интереса к проблеме, постановке целей, рефлексии, самоанализу, само и взаимопроверке.

Личностные: - осмысленное обучение за счет связи ранее полученных знаний с новыми знаниями, освоение различных социальных ролей.

Формы работы учащихся: фронтальная работа при ответах на вопросы, совместная деятельность учащихся, самостоятельная работа и индивидуальная работа при решении задач.

Оборудование: интерактивная доска, компьютер, презентация, карточки для проведения рефлексии, карты результативности учащихся.

Эпиграф:

«Геометрия есть познание всего сущего, поскольку приближает разум к истине».

Платон.

Ход урока

I. Организационный момент.

- Здравствуйте, садитесь. Рада всех приветствовать на открытом уроке.

Притча: Жил мудрец, который знал все. Один человек захотел доказать, что мудрец знает не все. Зажав в ладонях бабочку, он спросил: “Скажи, мудрец, какая бабочка у меня в руках: мертвая или живая?” А сам думает: “Скажет живая – я ее умерщвлю, скажет мертвая – выпущу”. Мудрец, подумав, ответил: “Все в твоих руках”

Хочу пожелать всем интересного и плодотворного занятия. Сегодня на уроке мы продолжим работать с треугольником и расширим свои знания.

Давайте начнем.

II. Актуализация знаний.

1) а) дать определение sin, cos, tg острых углов прямоугольного треугольника.

б) Чему равна сумма углов треугольника?

в) Какая из сторон треугольника  ABC (рис.1) наибольшая, а какая - наименьшая?

рис.1

г). Какой из углов треугольника  ABC  (рис.2) наибольший, а какой- наименьший?

рис.2

г) какие формулы площади треугольника вы знаете?

д) какие формулы площади параллелограмма вы знаете?

:

S= ah

2)Устные упражнения:

а) Найдите площадь треугольника АВС через 2 стороны. (18)

б).Найдите площадь параллелограмма АВСD через 2 стороны и угол. (25)

3)Каждому выражению из левого столбца поставьте в соответствие выражение из правого столбца:

sin (180 – a) =                        sin a

sin (90 – a) =                          sin a

cos (180 – a) =                       cos a

cos (90 – a) =                       - cos a

III. Проблемная ситуация

- Я хочу предложить вам такую задачу: 

Найти расстояние от точки A до недоступной точки B, если

АС = 50 м,  ∠ CAB  = 80 ° и  ∠ ACB  = 72 °  (рис.3)

рис.3

- Переведем условие задачи на язык математики.

Классу предлагаются наводящие вопросы:

- При построении какая получается фигура? (треугольник)

- Какие элементы известны в этом треугольнике? Два угла и одна сторона)

- Какая сторона не известна? (АВ)

- Как найти?

- Возникла проблема?! Как ее разрешить? (Класс обдумывает возникшую ситуацию, предлагаются варианты решения, но…)

- Тех знаний о треугольнике, которые мы имеем, не хватает. Последнюю задачу решить не можем.

- Сформулируйте то, что мы должны знать, чтоб решить эту задачу? (Зная два угла и одну из сторон треугольника, найти другую сторону)

- Это и будет цель нашего урока.

IV. Сообщение темы и целей урока.

- Цель нашего урока как раз и заключается в том, чтобы:

находить неизвестную сторону треугольника, если даны два угла и сторона треугольника;

находить неизвестный угол треугольника, если известны две стороны и угол, прилежащий к одной из них;

находить радиус окружности, описанной около треугольника и т.д.

- Помочь выйти из данной ситуации, расширить свои знания нам поможет одна из важных теорем геометрии- теорема синусов. Она является в дальнейшем основой решения множества геометрических задач.

- Запишите в тетради число и тему урока.

- Эпиграфом к нашему уроку послужат слова Платона: «Геометрия есть познание всего сущего, поскольку приближает разум к истине».

V. Практическая работа исследовательского характера:

Найдите отношения сторон ВС, АВ, АС к синусам противоположных углов.

Учащиеся в группах по 4 человека работают, по окончании работы представители от групп выходят к доске и демонстрируют полученные результаты – отношения равны.

План реализации практической работы:

1. Выразите площадь треугольника через синус угла В, затем угла С, затем угла А.

Пронумеровать равенства (1), (2), (3).

2. Приравняйте 1 и 2 равенства, разделите полученное равенство на (½ВС).

3. Запишите полученное равенство и составьте пропорцию: равенство отношений сторон треугольника к синусам противолежащих углов.

4. Аналогично, приравняйте 2 и 3 равенства и проделайте аналогичные шаги.

5. Сделайте вывод.

Следствия:

1) В треугольнике против большего угла лежит

большая сторона, против большей стороны

лежит больший угол.

2) Отношение стороны треугольника к синусу

противолежащего угла равно диаметру

описанной окружности.

VII. Физкультминутка.

Рисуй глазами треугольник.

Теперь его переверни

Вершиной вниз.

И вновь глазами

ты по периметру веди.

Рисуй восьмерку вертикально.

Ты головою не крути,

А лишь глазами осторожно

Ты вдоль по линиям води.

И на бочок ее клади.

Теперь следи горизонтально,

И в центре ты остановись.

Зажмурься крепко, не ленись.

Глаза открываем мы, наконец.

Зарядка окончилась.

Ты – молодец!

VIII. Закрепление. 

1 Задание. Вернёмся теперь к задаче, которую мы не смогли решить в начале урока.

Найти расстояние от точки A до недоступной точки B, если

АС = 50 м,  ∠ CAB  = 80 ° и  ∠ ACB  = 72 °  (рис.3)

рис.3

Дано: ΔABC

АС = 50 м, 

∠ CAB = 80° 

∠ ACB = 72° 

Найти AB.

Решение.

∠ CBA = 180⁰ –(∠ CAB +∠ ACB )

∠ CBA = 180⁰ –(80° + 72° )= 28⁰

АВ = АС

Sin C Sin В

АВ = 50

Sin 72⁰ Sin 28⁰

АВ= 50 * Sin 15⁰ =50* 0,95 = 103,26(м)

Sin 28⁰ 0,46

Ответ: АВ=103,26 м.

2 задание. Основание треугольника равно 10 см, один из углов при основании равен , а противолежащий основанию угол равен . Найдите сторону, противолежащую углу в 

Решение.

 Пусть искомая сторона -  см. Тогда по теореме синусов имеем:

  (см)

Ответ.    см

Пример

3 задание. В треугольнике   , , Найти  .

Дано: ΔABC

ВС = ,

∠ B = 45°

∠ C = 15°

Найти AС.

Решение.

 Согласно теореме о сумме углов треугольника

Сторону  найдем по теореме синусов:

Ответ: 12.

4 задание.  Задача из ОГЭ:

Угол С треугольника АВС, вписанного в окружность радиуса 12, равен 30⁰ градусов. Найдите сторону АВ этого треугольника.

Решение

По теореме синусов АВ/sinC= 2R,

AB = 2R·sinC = 2·12·sin 30° = 12 (см)

Ответ: АВ= 12 см

IX. Проверочная работа (работа в группах).

1 группа.

Дано: ΔABC

 , 

, 

Найти: АС.

Решение.

По теореме синусов имеем 

Ответ: .

2 группа.

Дано: ΔABC

Найти: АС.

Решение.

По теореме синусов имеем , 

Ответ: АС=5,6см

3 группа.

Дано: ΔСМD

Найти: СM

Решение.

По теореме синусов имеем , 

Ответ: .

4 группа

Дано: 

Найти: KD

Решение.

По теореме синусов имеем , 

Ответ: 

X.  Подведение итогов урока:

Вопросы.

1. Какие типы задач позволяет решить теорема синусов?

-находить сторону треугольника, если даны два угла и сторона треугольника;

-находить угол треугольника, если известны две стороны и угол, прилежащий к одной из них;

- находить радиус окружности, описанной около треугольника и т.д.

2. Можно ли используя теорему синусов определить вид треугольника (остроугольным или тупоугольным является данный треугольник)?

XI. Домашнее задание: № 1025(а, в); № 1026

XII. Карточка для этапа рефлексии

Оцените урок и результат своей деятельности.

Выберите один из вариантов:

На уроке я работал активно/ пассивно.

Своей работой на уроке я доволен /недоволен.

Урок для меня показался коротким /длинным

За урок я устал/ не устал

Материал урока мне был понятен/ не понятен

интересен/ скучен

За урок я оставлю себе оценку -----------------------------