Презентация к публикации "Методы решения задач на оптимальный выбор"

МЕТОДы РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НА ОПТИМАЛЬНЫЙ ВЫБОР

ФЕДОТОВ ВЛАДИМИР АЛЕКСАНДРОВИЧ,

ГРИЩЕНКО АЛЕКСАНДРА ЮРЬЕВНА,

ТЮТЮНОВ МИХАИЛ ЮРЬЕВИЧ

Россия, Курск, МБОУ «Средняя школа № 42 »

Научный руководитель: Натарова М.Г., учитель МБОУ СШ №42

Цель работы

Рассмотреть нестандартные подходы к решению вопросов, связанных с нахождением наибольшего или наименьшего значений некоторой величины на примере задач на оптимальный выбор профильного уровня единого государственного экзамена по математике, проследить возможности их использования и сравнить с традиционным подходом.

Задача №1

В области есть 160 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 5 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. Для добычи х кг алюминия в день требуется человеко-часов труда, а для добычи у кг никеля в день требуется человеко-часов труда. Для нужд промышленности можно использовать или алюминий, или никель, причём 1 кг алюминия можно заменить 1 кг никеля. Какую наибольшую массу металлов можно за сутки суммарно добыть в этой области?

Решение с помощью производной

1 способ

Задача сводится к исследованию функции

на наибольшее значение на ,

х – масса алюминия (в кг), добываемого в области за сутки.

В этом случае стационарная точка ищется из равенства

Находим:

Решение с помощью производной

2 способ

1) Задача сводится к исследованию функции на наибольшее значение на [0; 160] , где х – число человек, занятых на добыче алюминия в области за сутки.

Тогда , откуда

откуда

2) Целесообразнее рассмотреть функцию и исследовать ее на наибольшее значение на [0; 800] ,

где x – число человеко-часов, затрачиваемых на добычу алюминия в области за сутки.

Тогда ,

откуда

Сложности использования метода

Как видим, изложенный подход может вызвать сложности и требует

– четкого знания алгоритма исследования функции на наибольшее и наименьшее значения на отрезке,

– умения находить множество значений некоторой переменной для определения отрезка [a; b],

– навыка вычислять производную сложной функции (при рассмотрении 1 способа решения),

– умения решать иррациональные уравнения.

Ошибка, сделанная учеником хотя бы на одном из этапов исследования, приведет к неверному ответу.

Графический метод решения задачи

Задача №1

В области есть 160 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 5 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. Для добычи х кг алюминия в день требуется человеко-часов труда, а для добычи у кг никеля в день требуется человеко-часов труда. Для нужд промышленности можно использовать или алюминий, или никель, причём 1 кг алюминия можно заменить 1 кг никеля. Какую наибольшую массу металлов можно за сутки суммарно добыть в этой области?

Решение:

Пусть х кг – масса добываемого алюминия, и у кг – масса добываемого никеля. Тогда Требуется найти наибольшее значение величины S, где

Графический метод решения задачи

Уравнение задает окружность с центром в точке (0; 0) и радиуса

Уравнение равносильно уравнению и задает прямую на плоскости, пересекающую ось ординат в точке (0; S ).

y

S

у=S – x

x 2 + y 2 =800

O

x

Требуется найти наибольшее значение S, при котором имеет решение система:

Из графических соображений заключаем, что наибольшее значение S достигается в случае, если система имеет единственное решение.

В этом случае единственное решение имеет уравнение:

Следовательно,

С учетом того, что выбираем наибольшее значение S , заключаем

S = 40.

Как видим, указанный метод решения, основанный на построении графиков функций, вполне доступен не только для школьников старших классов, но и для тех, кто еще не изучил дифференциальное исчисление.

Он позволяет сразу найти наибольшее значение искомой величины, в отличие от предыдущего метода, при котором сначала находят значения независимой переменной, в которых возможно достижение наибольшего значения исследуемой функции.

Однако, возникает вопрос, как быть, если одно из условий задачи приводит к необходимости рассмотрения не окружности, а другой линии на плоскости, например, эллипса.

Задача №2

В области есть 24 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 5 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. Для добычи х кг алюминия в день требуется человеко-часов труда, а для добычи у кг никеля в день требуется человеко-часов труда. Для нужд промышленности можно использовать или алюминий, или никель, причём 1 кг алюминия можно заменить 1 кг никеля. Какую наибольшую массу металлов можно за сутки суммарно добыть в двух областях?

Решение задачи №2

Рассуждения, аналогичные данным выше в задаче №1, приводят к системе:

Первое уравнение задает эллипс, но переход к новым координатам позволяет вновь выйти на уравнение окружности и свести задачу к предыдущей: Тогда имеем:

Далее не сложно получить, что S = 40.

Несмотря на отмеченные плюсы графического метода решения задач на оптимальный выбор, в ряде случаев обойтись без средств дифференциального исчисления оказывается не возможным или очень сложным.

Изучение производной и ее приложений является неотъемлемой частью математической подготовки.

Тригонометрический метод решения задачи

,

Рассмотрим систему, составленную по условию задачи 1

Из первого уравнения имеем:

Пусть

Подставим х и у во второе уравнение системы:

Тригонометрический метод решения задачи

,

Оценим наибольшее возможное значение S.

Воспользуемся формулой дополнительного угла, тогда:

Так как

то искомое наибольшее значение

S=40 .

ВЫВОД

В работе рассмотрены 3 подхода к решению задач на оптимальный выбор:

• с помощью производной,
• графический,
• тригонометрический;

проанализированы преимущества и недостатки каждого из них.