Презентация к уроку алгебры и начал математического анализа на тему "Сочетания и их свойства" (11 класс)

11 класс

Алгебра и начала математического анализа

Сочетания и их свойства

Автор презентации: Попов Дмитрий Сергеевич

Алгоритм работы с презентацией:

• Слайд 3 – ознакомьтесь с целями урока.
• Слайды 4–5 – повторите материл предыдущих уроков.
• Слайды 6–9 – выполните самостоятельную работу.
• Слайды 10–20 – изучите новый материал и рассмотрите решение некоторых заданий.
• Слайд 21 – выполните домашнее задание.

Цели урока:

• Повторить, что такое размещения, перестановки и сочетания.
• Вывести формулу для подсчёта числа сочетаний.
• Изучить свойства сочетаний.

Повторите:

Перестановки из n элементов называются соединения, которые состоят из n элементов и отличаются одно от другого только порядком их расположения.

Число перестановок из n элементов обозначают: Р n Р n = n ∙ ( n – 1) ∙ ( n – 2) ∙ … ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 Произведение первых n натуральных чисел обозначают n! (читается «эн факториал»).

Р n = n! – число перестановок из n различных элементов.

Повторите:

Перед изучением нового материала выполните самостоятельную работу:

№ 1

Вычислите

А) 5040

В) 6

Б) 151200

Г) 14

№ 2

Решите уравнение

А) 9

В) 45

Б) 1

Г) 10

№ 3

Сколькими способами из 40 учеников можно выделить актив в следующем составе: староста, ответственный за дежурство, физорг?

А) 10000

В) 37

Б) 59280

Г) 400

Рассмотрите решение задачи:

Из пяти спортсменов для участия в соревнованиях надо выбрать двоих. Сколькими способами можно это сделать?

Решение:

– число всевозможным пар, которые можно составить из пяти спортсменов.

Рассмотрите решение задачи:

Из пяти спортсменов для участия в соревнованиях надо выбрать двоих. Сколькими способами можно это сделать?

Решение:

– число всевозможным пар, которые можно составить из пяти спортсменов.

Но из этих пар надо выбрать только те, которые различаются только составом участников.

Рассмотрите решение задачи:

Из пяти спортсменов для участия в соревнованиях надо выбрать двоих. Сколькими способами можно это сделать?

Решение:

– число всевозможным пар, которые можно составить из пяти спортсменов.

Пар, которые различаются лишь составом участников, в 2 раза меньше.

Ответ: 10 способами .

Сочетаниями из m элементов по n элементов в каждом называются соединения, каждое из которых содержит n элементов, взятых из данных m разных элементов, и которые отличаются одно от другого по крайней мере одним элементом.

Число всевозможных сочетаний из m различных элементов по n элементов обозначают .

Сочетания

Выведем формулу для подсчёта числа сочетаний из m различных элементов по n элементов в каждом .

Число всех соединений, содержащих n элементов, выбранных из данных m различных элементов, без учёта порядка их расположения равно .

Из каждого полученного соединения перестановками его элементов можно образовать соединений, которые отличаются одно от другого только порядком расположения элементов.

Тем самым получаются размещения m элементов по n , число которых равно .

По правилу произведения число таких соединений равно

Если m = n , то

Сочетания

Выведем формулу для подсчёта числа сочетаний из m различных элементов по n элементов в каждом .

Сочетания

Вычислите самостоятельно:

Решим задачу:

Сколькими способами из 25 учащихся класса можно выбрать на конференцию двух делегатов?

Решим задачу:

Сколькими способами из 25 учащихся класса можно выбрать на конференцию двух делегатов?

Решение:

Выбранные из класса два ученика без учёта порядка их расположения в наборе являются сочетаниями из 25 по 2.

Ответ: 300 способами.

СВОЙСТВА СОЧЕТАНИЙ

Свойство 1:

Свойство 2 (рекуррентное):

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ:

Задание 1

Вычислите:

Задание 2

Решите задачу: В помещении 20 ламп. Сколько существует разных вариантов освещения, при котором должны светиться 18 ламп?

Задание 3

Найдите значение выражений:

Успехов в выполнении домашнего задания!