Презентация к уроку "Показательная функция и её применение в жизни, науке и технике"

Определение

Если снять кипящий чайник с огня, то сначала он быстро остывает, а потом остывание идет гораздо медленнее, это явление описывается формулой T =( T 1 - T 0 ) e - kt + T 1

Применение показательной функции в жизни, науке и технике.

При падении тел в безвоздушном пространстве скорость их непрерывно возрастает. При падении тел в воздухе скорость падения тоже увеличивается, но не может превзойти определенной величины. Если считать, что сила сопротивления воздуха пропорциональна скорости падения парашютиста, т.е. что F=kv , то через t секунд скорость падения будет равна: v=mg/k(1-e -kt/m ), где m - масса парашютиста.

Много трудных математических задач приходится решать в теории межпланетных путешествий . Одной из них является задача об определении массы топлива, необходимого для того, чтобы придать ракете нужную скорость v. Эта масса М зависит от массы m самой ракеты (без топлива) и от скорости v 0 , с которой продукты горения вытекают из ракетного двигателя. Если не учитывать сопротивление воздуха и притяжение Земли, то масса топлива определиться формулой: M=m(e v/v0 -1) (формула К.Э.Циалковского). Например, для того чтобы ракете с массой 1,5 т придать скорость 8000 м/с, надо при скорости истечения газов 2000 м/с взять примерно 80 т топлива.

Если при колебаниях маятника , гири, качающейся на пружине, не пренебрегать сопротивлением воздуха, то амплитуда колебаний становится все меньше, колебания затухают. Это явление можно объяснить формулой: s=Ae -kt sin(ωt+ω).

Рост народонаселения.  Изменение

числа людей в стране на небольшом

отрезке времени описывается

формулой   , где  N0  - число

людей  в момент времени t=0,

N -число людей в момент

времени t,  a-константа.

Закон органического размножения: при

благоприятных условиях (отсутствие

врагов, большое количество пищи)

живые организмы размножались бы по

закону показательной функции. 

Например: одна комнатная муха может за

лето произвести 8   10 14  особей

потомства. Их вес составил бы несколько

миллионов тонн (а вес потомство пары

мух превысил бы вес нашей планеты), они бы

заняли огромное пространство, а если

выстроить их в цепочку, то её длинна будет

больше, чем расстояние от Земли до Солнца.

Но так как, кроме мух существует множество

других животных и растений, многие из

которых являются естественными врагами мух

их количество не достигает вышеуказанных

значений.

По такому же принципу распространились завезённые в Австралию кролики, которые стали экологической катастрофой для этого уникального региона. Рост различных видов микроорганизмов и бактерий, дрожжей, ферментов все эти процессы подчиняются одному закону:  N = N 0 e kt  

Исследуя расположение планет солнечной системы вокруг Солнца, немецкий астроном И.Э. Боде в 1772 составил следующую таблицу:

Как известно, между Марсом и Юпитером планеты не существует, но если следовать таблице Боде, на данной орбите должно находиться какое - либо космическое тело. И действительно, после некоторых исследований учёными был открыт пояс астероидов . Это было воистину торжеством науки и триумфом математики!

№

Планета

1

Расстояние ( L ) до солнца (в астрономических единицах)

Меркурий

2

0,4

Венера

3

Земля

4

0,7

1

Марс

5

1,5

6

Юпитер

7

5,2

Сатурн

9,5

К тому времени было открыто только шесть планет,

поэтому все вычисления останавливаются на Сатурне.

Эти вычисления произвел И.Э. по следующей формуле:

Данная формула особенно точна для Венеры, Земли и Юпитера.