Презентация к занятию по теме: "Комплексные числа"

14 .09.20 20

Определение комплексного числа. Сложение, умножение, деление комплексных чисел.

Цель занятия:

Познакомится с понятием комплексного числа, с геометрической интерпретацией комплексных чисел. Научиться выполнять арифметические операции над комплексными числами.

Множество действительных чисел

Комплексное число.

z = a + bi

- общий вид комплексного числа

где

а и b - действительные числа, i – мнимая единица.

Число а называется действительной частью ( Re z) комплексного числа z ,

Число b называется мнимой частью ( Im z) комплексного числа z .

a + bi - единое число!!!

Геометрическая интерпретация:

Комплексные числа изображаются на комплексной плоскости :

Im z

С

мнимая ось

С – множество комплексных чисел.

2 i

действительная ось

Re z

- i

-2 i

Геометрическая интерпретация комплексного числа

Построим на комплексной плоскости следующие комплексные числа:

Сложение комплексных чисел

Пример 1

Сложить два комплексных числа

z 2 = 4 - 5 i

z 1 = 1 + 3 i

Для того чтобы сложить два комплексных числа нужно сложить их действительные и мнимые части.

z 1 + z 2 = 1 + 3 i + 4 - 5 i = 5 - 2 i

Сложение комплексных чисел

Сложить два комплексных числа:

z 2 = 3 + 4 i

z 1 = 2 + i

1.

z 2 = 1 - 7 i

z 1 = 2 + 5 i

2.

z 1 = 2  3 + 4 i

z 2 = 4 i - 17  3

3.

Вычитание комплексных чисел

Пример 2

Найти разности комплексных чисел

если

-

z 2 – z 1

z 1 = -2 + i

z 2 =  3 + 5 i

Действие аналогично сложению, только вычитаемое нужно взять в скобки, а затем – стандартно раскрыть эти скобки со сменой знака.

z 1 - z 2 = -2 + i –(  3 + 5 i )

= - 2 -  3 - 4 i

z 2 – z 1 = 2 +  3 + 4 i

Умножение комплексных чисел

Пример 3

Найти произведение комплексных чисел

z 1 = 1 - i

z 2 = 3 + 6 i

z 1  z 2 =(1 – i )(3 + 6 i )

Раскрыть скобки по правилу умножения многочленов

z 1  z 2 =(1 – i )(3 + 6 i )

= 1  3 – i  3 + 1  6 i – i  6 i

= 9 + 3 i

Выполнить операцию умножения комплексных чисел :

1 + 2 i

3 - i

и

1.

Ответ: 5 + 5 i

10 - i

13 - 2 i

и

2.

Ответ: 128 - 33 i

Деление комплексных чисел

Пример 4

Даны комплексные числа 

Найти частное

z 1 = 13 + i

z 2 = 7 - 6 i

Составим частное

Деление чисел осуществляется  методом умножения знаменателя и числителя на сопряженное знаменателю выражение .

= (a – b)  (a + b)

= 1 + i

Пример:

Даны комплексные числа 

Найти частное

z 1 = - 12 + 7 i

z 1 = - 7 - 12 i

Ответ: i

Примеры:

, 

.

Найти разность и частное комплексных чисел

Найти разность и частное комплексных чисел

Примеры:

Найти разность и частное комплексных чисел

Решение:

Найти произведение комплексных чисел   

, 

П усть z 1 = 7 + 2i   и z 2 = 3 –i.

Найдем сумму, произведение и частное этих комплексных чисел.

17.09.2020

Выполнение операций над комплексными числами.

Цель занятия:

Закрепить знания о комплексных числах.

, 

Проверка домашнего задания

.

Найти разность и частное комплексных чисел

Найти разность и частное комплексных чисел

Пример

Вычислить сумму и разность заданных комплексных чисел:

z 1=3+ i , z 2=5−2 i

Пример

Выполнить умножение и деление комплексных чисел:

z 1=4+2,5 i , z 2=5−12 i

Пример

Возвести комплексные числа  в квадрат:

• z =3+3 i
• z = 7-5 i
• z = 5 + 9 i

Изобразите геометрически комплексные числа:

z =3 + 3 i , z = - 3 i , z = 4,5, z =3 i – 5, z = 2 - 3 i

Решите квадратное уравнение:

x 2  − 8 x  + 12 = 0

x 2  − 6 x  + 9 = 0.

5 x 2  + 3 x  + 7 = 0

Например,

Вычислите:

Решить уравнение и изобразить, если это возможно, корни на плоскости.

x²+2x+5=0

x²+2x+26=0

x²-6x+13=0

Упростить выражение 

где

Изобразить полученное число на комплексной плоскости.