Презентация "Квадратные уравнения. Все ли известные способы их решения изучаются в школьной программе?"

Подготовил : Самовилов Сергей ученик 9 – Г класса Руководитель : Богомолова Наталья Николаевна

Найденные древние вавилонские глиняные таблички, которым около 2 тысяч лет до н.э., являются самыми ранними свидетельствами об изучении квадратных уравнений.

Формулы решения квадратных уравнений в Европе были впервые изложены в 1202 г. в «Книге абака»

итальянским математиком Леонардом Фибоначчи.

Страница

из Книги абака

Общее правило решения квадратных уравнений вида: х 2 + bx = с, при всевозможных комбинациях знаков коэффи ц иентов b, с было сформулировано в 1544 г. немецким математиком М. Штифелем.

Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета, однако Виет признавал только положительные корни.

Николай

Тарталья

(1501 – 1559)

Рафаэль Бомбелли (1526   – 1572)

Кардано

Джироламо

(1501 – 1576)

Итальянские математики Тарталья, Кардано, Бомбелли среди первых в XVI в. учитывают, помимо положительных и отрицательные корни.

Жирар

Альберт

(1595 – 1633)

Рене

Декарт

(1596 – 1650)

Исаак

Ньютон

(1642 – 1727)

В XVII в. благодаря трудам Жиррара, Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принял современный вид.

Способ решения квадратных уравнений,

вытекающий из

геометрического метода нахождения квадратных корней

І . Пусть надо решить уравнение

x 2 + 10x + 9 = 0.

Выполним следующее построение.

• По катету и гипотенузе

построим прямоугольный треугольник. Причем,

2. Радиусом, равным проведем окружность с

центром в точке А.

B

•

•

•

•

•

D

C

A

E

3. Отрезок DC составлен из и ,

т. е. DC = 9 = х 1 .

Отрезок СЕ – разность отрезков

и , т. е. отрезок СЕ = 1 = х 2 .

B

•

•

•

•

•

D

A

C

E

0. 2. Строим прямоугольный треугольник по двум отрезкам – гипотенузе и катету . 2.1. Отложим катет, равный (это получится всегда). 2.2. Раствором циркуля, равным из точки В проведем дугу окружности, чтобы получить точку А ( это получится далеко не всегда): Если катет больше гипотенузы треугольник не построить . Т.е., если , то – дискриминант квадратного уравнения, отрицателен – уравнение решений не имеет. " width="640"

Имеем следующий алгоритм

1. Пусть есть уравнение вида

x 2 + px + q =0 , причем q 0.

2. Строим прямоугольный треугольник по двум отрезкам –

гипотенузе и катету .

2.1. Отложим катет, равный (это получится всегда).

2.2. Раствором циркуля, равным из точки В проведем дугу

окружности, чтобы получить точку А ( это получится далеко не всегда):

Если катет больше гипотенузы треугольник не построить .

Т.е., если , то –

дискриминант квадратного уравнения, отрицателен – уравнение решений не имеет.

0 , р 0 → оба корня отрицательны , если q 0, р оба корня положительны . B • • • • • D C A E " width="640"

2.3. х 1 = DC = ,

х 2 = СЕ = ,

причем, если q 0 , р 0 → оба корня отрицательны ,

если q 0, р оба корня положительны .

B

•

•

•

•

•

D

C

A

E

І I . Пусть надо решить уравнение

х 2 + 8х - 9 = 0.

Произведем следующие построения.

1. Построим прямоугольный АВС с катетами

и

2. Найдем гипотенузу по теореме Пифагора

В

А

С

0. В D А E С " width="640"

3. Радиусом проведем окружность с центром в точке А.

4. Отрезки DB и E B соответственно равны:

Задачу можно рассматривать и для р

Уравнение имеет два различных по знаку корня:

• больший по модулю корень положителен,

если p

• больший по модулю корень отрицателен,

если p 0.

В

D

А

E

С

Решение квадратных уравнений с помощью номограммы

Номограмма позволяет, не решая квадратного уравнения, по его коэффициентам определить корни уравнения.

Для уравнения

z 2 – 8 z + 4 = 0

Номограмма дает корни

z 1 =7,5 и z 2 = 0,55

Номограмма дает значения положительных корней уравнения

z 2 + pz + q = 0.

Если уравнение имеет корни разных знаков , то найдя по номограмме положительный корень, отрицательный находят вычитая положительный из - р.

Когда оба корня отрицательные принимают z = -  t и находят по номограмме два положительных корня t 1 и t 2 уравнения t 2 + pt + q = 0 , а затем z 1 =-t 1 и z 2 = -t 2

Если коэффициенты p и q выходят за пределы шкал , выполняют подстановку z=rt и решают посредством номограммы уравнение

где r берется с таким расчетом, чтобы имели место неравенства

Геометрический способ

решения

квадратных

уравнений

Пример, ставший знаменитым, из «Алгебры» ал - Хорезми:

х 2 + 10х = 39 .

Задача – «Квадрат и десять корней равны 39».

Использование различных способов решения квадратных уравнений является важным звеном в изучении математики, и позволяет развивать внимание и сообразительность.

На наш взгляд данная тема достаточно актуальна, так как она может пригодиться не только во время обучения в школе, а в последующем и в ВУЗе, но и на протяжении всей жизни.