Презентация на тему:"Теорема Виета"

Теорема Виета

Алгебра 8 класс

Основная цель – изучить теорему Виета и ей обратную, уметь применять при решении квадратных уравнений

Девиз урока:

«Вся математика – это,

собственно, одно большое

уравнение для других наук»

Новалис

Устная работа

• x² + 4 x - 6 = 0

• 2 x² + 6 x = 6
• 7 x² - 14 x = 0

• x² + 5 x - 1 = 0

• 3 x² - 5 x + 19 = 0

• x² - 13 x = 0

Исследуем связь между корнями и коэффициентами квадратного уравнения

Уравнение

1

x² + 5x + 6 = 0

p

2

q

x² - 5x + 6 = 0

3

x² - 7x + 6 = 0

x₁

4

x² + 7x + 6 = 0

x₂

5

x² - 8x + 6 = 0

x₁ + x₂

6

x₁ ∙ x₂

x² - x - 6 = 0

-5

-3

-2

6

5

6

2

6

6

5

3

-5

6

1

7

6

6

-7

6

6

7

-1

-6

-7

6

- 8

6

4-

4+

8

6

-1

-2

3

1

- 6

ФРАНСУА ВИЕТ (Вьета)

1540-1603

Знаменитая теорема, устанавливающая

связь коэффициентов многочлена с его

корнями, была обнародована в 1591 г.

Теперь она носит имя Виета

Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Дано: х₁ и х₂ - корни уравнения

Доказать:

План доказательства:

• Записать формулы для нахождения x₁ и x₂ ;

• Найти сумму корней: x₁ + x₂ ;

• Найти произведение корней: x₁ · x₂ .

Доказательство:

х ² + p х + q = 0

, D = p² -4q .

, х₂ =

1. х₁ =

2 . x₁+x₂ =

+

=

=

=

= - p

=

∙

3. x₁ ∙ x₂ =

=

=

= q

=

=

1.Определите, верно ли сформулирована теорема: Сумма корней квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену

2. Для всех ли приведенных уравнений x₁ + x₂ = -p

x₁· x₂ = q

3. Сформулируйте теорему со словами «Если…, то…»

• Что позволяет находить доказанная теорема?
• Что должно быть известно до применения теоремы?

• Можно ли найти сумму и произведение корней следующих уравнений

• х² + 3х + 6 = 0
• х² + 5 = 0
• 2х² – 7х + 5 = 0

x ² + px + q = 0 x ² - ( х₁ + х₂ )х + х₁ ∙ х₂ = 0

• Задание 1. Выберите уравнение сумма корней которого равна -6, а произведение равно -11

• х² - 6х + 11 = 0

• х² + 6х - 11 = 0
• х² + 6х + 11 = 0
• х² - 11х - 6 = 0
• х² + 11х - 6 = 0

• Задание 2. Если х₁ = -5 и х₂ = -1 - корни уравнения х² + px +q = 0 , то

1) p = -6, q = -5

2) p = 5, q = 6

3) p = 6, q = 5

4) p = -5, q = -6

5) p = 5, q = -6

6) p = -6, q = -5

• Задание 3. Найдите сумму и произведение корней уравнения х² - 3х - 5 = 0 . Выберите правильный ответ.

• х₁ + х ₂= -3, х₁ ∙ х₂ = -5
• х₁ + х ₂= -5, х₁ ∙ х₂ = -3
• х₁ + х ₂= 3, х₁ ∙ х₂ = -5
• х₁ + х ₂= 5, х₁ ∙ х₂ = -3

0 p = 0, q = - 19 х₁ + х ₂= 0 , х₁ ∙ х₂ = - 19 д ) 2x² – 9x – 10 = 0 х² – 4,5х – 2 = 0, D 0 p = - 4,5 , q = - 2 х₁ + х ₂= 4,5, х₁ ∙ х₂ = -2 Найти сумму и произведение корней уравнения :2 № 573 а) в) у доски г) д) самостоятельно с последующей проверкой А) х² - 37х+27 = 0 Д = (-37)² - 4∙27 = 1369 – 108 = 1261 0 " width="640"

Решение:

б) y² – 19 =0 , D 0

p = 0, q = - 19

х₁ + х ₂= 0 , х₁ ∙ х₂ = - 19

д ) 2x² – 9x – 10 = 0

х² – 4,5х – 2 = 0,

D 0

p = - 4,5 , q = - 2

х₁ + х ₂= 4,5, х₁ ∙ х₂ = -2

Найти сумму и произведение корней уравнения

:2

№ 573

а) в) у доски

г) д) самостоятельно с последующей проверкой

А) х² - 37х+27 = 0 Д = (-37)² - 4∙27 = 1369 – 108 = 1261 0

0, p = -2, q = -8 x₁ + x₂ = 2 x₁ ∙ x₂ = -8 2 ∙ (-4) -2 ∙ 4 1 ∙ (-8) -1 ∙ 8 x₁ = -2 x₂ = 4 2 . х² + 7х + 12 = 0 Для каждого уравнения попытайтесь подобрать два числа х₁ и х₂ так, чтобы выполнялись получившиеся равенства. D 0, p = 7, q = 12 x₁ + x₂ = -7 x₁ ∙ x₂ = 12 x ₁ = - 3 x ₂ = - 4 3. y² – 8y – 9 = 0 D 0, p = -8, q = -9 y₁ + y₂ = 8 y₁ ∙ y₂ = -9 y₁ = -1 y₂ = 9 Проверьте, будут ли полученные числа корнями данного уравнения " width="640"

• х² – 2х – 8 = 0

Для каждого уравнения укажите, если это возможно сумму и произведение корней

D 0, p = -2, q = -8

x₁ + x₂ = 2

x₁ ∙ x₂ = -8

2 ∙ (-4)

-2 ∙ 4

1 ∙ (-8)

-1 ∙ 8

x₁ = -2

x₂ = 4

2 . х² + 7х + 12 = 0

Для каждого уравнения попытайтесь подобрать два числа х₁ и х₂ так, чтобы выполнялись получившиеся равенства.

D 0, p = 7, q = 12

x₁ + x₂ = -7

x₁ ∙ x₂ = 12

x ₁ = - 3

x ₂ = - 4

3. y² – 8y – 9 = 0

D 0, p = -8, q = -9

y₁ + y₂ = 8

y₁ ∙ y₂ = -9

y₁ = -1

y₂ = 9

Проверьте, будут ли полученные числа корнями данного уравнения

Прямая теорема:

Обратная теорема:

Если х₁ и х₂ - корни уравнения

х² + px + q = 0 .

Тогда числа х₁, х₂ и p , q связаны равенствами

Тогда х₁ и х₂ - корни уравнения

х² + px + q = 0 .

Числа х₁ и х₂ являются корнями приведенного квадратного уравнения х² + px +q = 0 тогда и только тогда, когда

x ₁ +х₂ = - p, x₁ ∙ x₂ = q

Применение теоремы

• Проверяем, правильно ли найдены корни уравнения
• Определяем знаки корней уравнения не решая его
• Устно находим корни приведенного квадратного уравнения
• Составляем квадратное уравнение с заданными корнями

Теорема Виета

По праву достойна в стихах быть воспета

О свойствах корней теорема Виета.

Что лучше, скажи, постоянства такого:

Умножишь ты корни — и дробь уж готова?

В числителе с , в знаменателе а

А сумма корней тоже дроби равна.

Хоть с минусом дробь, что за беда!

В числителе в , в знаменателе а .

Числа х₁ и х₂ являются корнями квадратного уравнения х² + вх + с =0

тогда и только тогда, когда

х₁ + х₂ =

х₁ ∙ х₂ =

Домашнее задание:

п. 23 (знать теорему Виета),

дифференцированное задание

(листок с домашней работой)