Презентация по математике на тему:" Свойства числовых функций"

Свойства числовых функций

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИИ

• Если каждому значению х из некоторого множества чисел поставлено в соответствие ЕДИНСТВЕННОЕ число у , то говорят, что на этом множестве задана функция у = f (х) .

• При этом х называют независимой переменной или аргументом ,
• а у – зависимой переменной или функцией

• f – правило, по которому ставится соответствие.

В зависимости от правила способы задания функции:

• аналитический (с помощью формулы);

• графический (с помощью графика);
• табличный (с помощью таблицы значений);
• словесный (правило задания функции описывается словами).

• аналитический
• графический
• табличный
• описательный

х

3

у

8

39

-2

0

-7

• Сила равна скорости изменения импульса

График функции

• Графиком функции называется множество всех точек координатной плоскости (х; у) , абсциссы которых равны значениям независимой переменной из области определения этой функции, а ординаты – соответствующим значениям функции.

СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ

Область определения и множество значений

• Область определения функции – все значения, которые принимает независимая переменная.

Обозначается : D ( f ).

• Пример . Функция задана формулой у =

• Данная формула имеет смысл при всех значениях
• х ≠ -3 , х ≠ 3, поэтому

• Область (множество) значений функции – все значения, которые принимает зависимая переменная.

Обозначается : E (f)

Пример . Функция задана формулой у =

Данная функция является квадратичной , график – парабола, вершина (0; 9), поэтому E( y )= [ 9 ; + ∞ )

Нули функции

Значения аргумента, при которых функция обращается в нуль, называют нулями функции .

Найти нули функции, заданной графически

Сколько нулей имеет данная функция?

Как найти нули функции, заданной формулой?

Пример

Интервалы знакопостоянства

• Нули функции разбивают область определения функции на промежутки

• В каждом из этих промежутков функция принимает либо только положительные значения, либо только отрицательные. Это промежутки знакопостоянства

2

3

-3

Четность, нечетность

Нечетная функция

Четная функция

Функция y = f(x) называется нечетной, если для любого х из области определения выполняется равенство

f (-x) = - f (x) . График нечетной функции симметричен относительно начала координат .

Функция y = f(x) называется четной, если для любого х из области определения выполняется равенство f (-x) = f (x) . График четной функция симметричен относительно оси ординат .

Периодичность

Исследование функций на монотонность

Функция возрастает, если большему (меньшему) значению аргумента соответствует большее (меньшее) значение функции.

у

y = f(x)

Функция убывает, если большему (меньшему) значению аргумента соответствует меньшее (большее) значение функции.

о

х

• если двигаться по графику слева направо, то ординаты точек графика всё время увеличиваются («поднимаемся в горку»);

говорят, что функция возрастает;

• если двигаться по графику слева направо, то ординаты точек графика всё время уменьшаются («спускаемся с горки»);

говорят, что функция убывает.

y

o

x

y=f(x)

f ( х 2 ). Определение Функция у = f ( х ) называют возрастающей на промежутке Х , если из неравенства х 1 х 2 , где х 1 и х 2 – любые две точки промежутка Х , следует неравенство f ( х 1 ) f ( х 2 ). у у f ( x 2 ) f ( x 1 ) f ( x 2 ) f (x 1 ) х 2 х 1 х 1 х 2 о о х х " width="640"

Определение 2.

Функция у = f ( х ) называют убывающей на промежутке Х , если из неравенства х 1 х 2 , где х 1 и х 2 – любые две точки промежутка Х , следует неравенство f ( х 1 ) f ( х 2 ).

Определение

Функция у = f ( х ) называют возрастающей на промежутке Х , если из неравенства х 1 х 2 , где х 1 и х 2 – любые две точки промежутка Х , следует неравенство f ( х 1 ) f ( х 2 ).

у

у

f ( x 2 )

f ( x 1 )

f ( x 2 )

f (x 1 )

х 2

х 1

х 1

х 2

о

о

х

х

Экстремумы

Асимптоты