Презентация по теме _Операции над множествами_

Тема №2.

Операции над множествами

18.02.25

Лицей ИГУ, liguirk.ru

Лавлинский М.В. , [email protected]

I. Изображение числовых множеств кругами Эйлера

N

Z

Q

R

II . Операции над множествами

1) Объединение

A  B={ x | x  A или x  B }

А

B

# А = {3, 9, 12} , В = {1, 3, 5, 7, 9, 11}, A  B= ?

А  В = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 12}

Задача №1.

1. А = {2, 3, 8}, В = {2, 3, 8, 11}, С = {5, 11}.

Найдите:

• А  В
• А  С
• С  В

2. А = { a , b , c , d }, B = { c , d , e , f }, C = { c , e , g , k }.

Найдите:

• А  В
• А  С
• С  В

{2, 3, 8, 11}

{2, 3, 5, 8, 11}

{2, 3, 5, 8, 11}

{ a , b , c , d, e, f }

{ a , b , c , d , e, g, k }

{ c , d , e , f , g, k }

2 ) Пересечение

A  B={ x | x  A и x  B }

А

B

#1. А = {3 , 9 , 12}, В = {1 , 3 , 5 , 7 , 9 , 11} .

А  В =

#2. А = {10 , 20 , … , 100}, В = {6 , 12 , 18 , …} .

А  В =

#3. А = { 1, 2, 3 }, В = { 4, 5, 6 } .

А  В =

{3 , 9}

{3 0, 60, 90 }



Задача №3 .

1. А = {2 , 3 , 8}, В = {2 , 3 , 8 , 11}, С = {5 , 11}.

Найдите:

1) А  В

2) А  С

3) С  В

2. А – множества всех натуральных чисел, кратных 10,

В = {1, 2, 3, …, 41}.

А  В =

3. А = { a , b , c , d }, B = { c , d , e , f }, C = { c , e , g , k }.

Найдите :

1) А  В

2) А  С

3) С  В

{2 , 3 , 8}

{  }

{ 11 }

{ 10, 20, 30, 40 }

{ c, d }

{ c }

{ c, e }

5

3) Разность

A\B={ x | x  A и x  B }

А

B

# А = {2, 4, 6, 8, 10}, В = {5, 10, 15, 20},

А\В=

{2, 4, 6, 8}

4 ) Симметрическая разность

А

B

A  B=(A\B)  (B\A)

A  B=(A  B) \ (A  B)

#1. А = {3 , 9 , 12}, В = {1 , 3 , 5 , 7 , 9 , 11} .

А  В =

# 2 . А = { 1, 2, 3 }, В = { 4, 5, 6 } .

А  В =

{1 , 5, 7, 11, 12}

{1 , 2 , 3, 4, 5, 6}

4 ) Дополнение

Ā В

• Дополнение множества А (А ⊆ В) до множества В:

Ā В = В\А

= { x | x  В и x  A }

B

А

# А = {2, 5, 9}, В = {1, 2, 5, 7, 9}

Ā В =

{1, 7}

Дополнение до универсального множества ( УМ ):

УМ – универсум – U

Множество, содержащее все элементы, рассматриваемые в данной задаче .

Ā = U\A

• Дополнение множества А до УМ

U

Универсальное множество - неоднозначно

А

U 1 - множество домашних животных

U 2 - множество млекопитающих

U 3 - множество четвероногих

# А - множество кошек,

В - множество собак,

С - множество коров

Назовите УМ для множеств A, B, C.

III . Порядок выполнения операций

• ()
• Дополнение
• Пересечение
• Объединение и разность (одинаковый приоритет)

#

А={3; 4; 5}, В={5; 6; 7; 8}, С={2; 4; 8}, К={1; 3; 5; 7}.

Найдите:

А  К  В \C

1

2

3

• K  B = { 5 , 7 }
• A  K  B = { 3 , 4, 5, 7 }
• A  K  B\C = { 3, 5, 7 }

Ответ: { 3, 5, 7 }

IV . Решение задач

Задача №3.

Найти множество, являющееся пересечением множеств А = {1, 2, 5, 7, 10} и В = {2, 3, 5, 6, 7, 9}, и мощность найденного множества. Построить диаграммы Эйлера-Венна.

Решение

1) С = А  В = {2, 5, 7}

2) m (C) = 3

А

B

3

2

1

7

6

5

10

9

Задача №4.

Найти множество, являющееся объединением множеств

А = {1, 2, 5, 7, 10} и В = {2, 3, 5, 6, 7, 9}, и мощность найденного множества. Найти универсальное множество для множеств А и В. Построить диаграммы Эйлера-Венна.

Решение

• С = А  В = {1, 2, 3, 5, 6, 7, 9, 10}
• m (C) = 8
• U - множество, объединяющее множества А и В

U = {х | х  10, где х  N }.

А

B

1

3

2

6

5

7

10

9

Задача №5.

Найти множество, являющееся разностью множеств А = {1, 2, 5, 7, 10} и В = {2, 3, 5, 6, 7, 9}, и мощность найденного множества. Построить диаграммы Эйлера-Венна.

Решение

1) С = А \ В = {1, 10}

2) m (C) = 2

А

B

3

2

1

7

6

5

10

9

Задача №6.

Даны множества R = {х | х - учитель химии}, E = {y | y - учитель биологии}. Найти R  E, R  E, R\E, E\R, U - универсальное множество для множеств R и E.

Решение

1) R  E = {z | z - учитель химии и биологии} - учителя химии и биологии одновременно.

2) R  E = {w | w -учитель химии или биологии} - все учителя химии, биологии и учителя одновременно химии и биологии.

3) R\E = {y | y - учитель химии} - только учителя химии.

4) E\R = {t | t - учитель биологии} - только учителя биологии.

5) U = {u | u - учитель} - все учителя

Задача №7.

Даны множества А = {a, e, f, d, k , l}, В = {b, c, e, d, k, m}. В результате какой операции над А и В получены множества C = {a, b, c, d, e, f, к, l, m}, D = {все буквы латинского алфавита}, E = {b, c, m}, F = {e, d, к}, G = {a, f, l }?

Решение

• С = А  В
• D - универсальное множество для А и В
• Е = В\А
• F = А  В
• G = A\B

Домашнее задание

18.02.25

• О.В.Кузьмин . Перечислительная комбинаторика
• § 1.1. Конечные множества и операции над ними (до законов де Моргана)
• Задачи: 1.4, 1.5, 1.6
• “ 2_ДЗ-1_Операции над множествами .doc”
• Подготовиться к СР

V . Свойства операций над множествами

1. Коммутативность

A  B=B  A

A  B=B  A

2. Ассоциативность

( A  B )  С = A  ( B  С)

( A  B )  С = A  ( B  С)

3. Дистрибутивность

A  ( B  С) = ( A  B )  ( A  С)

A  ( B  С) = ( A  B )  ( A  С)

Доказательство:

1) x  A  ( B  С) 

x  A и одновременно x  ( B  С)

(по опр. пересечения) 

x  A и одновременно или x  B , или x  С (по опр. объединения) 

x  A и одновременно x  B , либо x  A и одновременно x  С 

x  ( A  B )  ( A  С)



A  ( B  С)  ( A  B )  ( A  С)

3. Дистрибутивность

A  ( B  С) = ( A  B )  ( A  С)

A  ( B  С) = ( A  B )  ( A  С)

Доказательство:

1) …

2) x  ( A  B )  ( A  С) 

x  A и одновременно x  B , либо x  A и одновременно x  С 

x  A и одновременно или x  B , или x  С 

x  A и одновременно x  ( B  С) 

x  A  ( B  С) 

( A  B )  ( A  С)  A  ( B  С)

1)

2)

ДЗ: провести аналогичное доказательство



A  ( B  С) = ( A  B )  ( A  С)

3. Дистрибутивность

A  ( B  С) = ( A  B )  ( A  С)

A  ( B  С) = ( A  B )  ( A  С)

Иллюстрация кругами Эйлера:

ДЗ: иллюстрация кругами Эйлера

A  ( B  С)

( A  B )  ( A  С)

А

B

А

B

C

C

4 . Законы де Моргана

A  В = A  B

A  В = A  B

Доказательство:

1) x  A  B 

x  A  B

(по опр. дополнения) 

x  A и x  B

(по опр. объединения) 

x  A и x  B 

x  A  B 

A  В  A  B

4 . Законы де Моргана

A  В = A  B

A  В = A  B

Доказательство:

1) …

2) x  A  B 

x  A и x  B 

x  A и x  B 

x  A  B 

x  A  B 

A  B  A  В

4 . Законы де Моргана

A  В = A  B

A  В = A  B

Иллюстрация кругами Эйлера:

ДЗ:

1) Провести аналогичное доказательство

2) Проиллюстрировать его кругами Эйлера

A  В

A  B

U

U

A

A

B

B

VI . Проведите доказательство при помощи кругов Эйлера

А\ (В∩С) = (А\ В)∪(А\С)

2

2

3

1

1

А\ (В∩С)

(А\ В)∪(А\С)

1

1

2

2

3

Домашнее задание

18.02.25

• О.В.Кузьмин . Перечислительная комбинаторика [1]
• §1.1
• После §1.1 : №1.7 (доказать с помощью кругов Эйлера)
• 2-ой закон дистрибутивности, 2-ой закон де Моргана
• Подготовиться к СР

Лицей ИГУ, liguirk.ru