Презентация по теме "Сфера и шар"

Сфера и шар

• Слово «сфера» произошло от греческого слова «сфайра», которое переводится  

на  русский язык как «мяч».

ШАР-символ будущего.

• Символ шара-глобальность шара Земли. Символ будущего, он отличается от креста тем, что последний олицетворяет собой страдание и человеческую смерть.

• В Древнем Египте впервые пришли к заключению, что земля шарообразна. Это предположение послужило основой для многочисленных размышлений о бессмертии земли и возможности бессмертия населяющих ее живых организмах.

Не случайно подобными

скульптурами украшены некоторые

вокзалы Западной Европы,

например в Хельсинки:

здесь запечатлены тяготы,

выпадающие на плечи

путешественника.

Человек, держащий шар

в руках,

символизирует субъекта,

несущего тяготы мира

• Таким образом, шар и глобус — это знаки промысла, проведения, вечности, власти и могущество коронованных особ

• Каменное полушарие сферы воплощается в религиозных храмах - куполах православных церквей в России; ступах, связанных с местом пребывания бодхисаттв в Индии. В Индонезии ступы приобрели форму колокола с каменным шпилем наверху и называются дагобы .

• В греко-римской мифологии  шар 

символизировал удачу, судьбу, ассоциируясь с Тихэ (Фортуной), стоящей на  шаре  . Знаменитая картина Пикассо «Девочка на шаре» - танцующая Фортуна.

• Многие ягоды имеют форму шара.

Планеты имеют форму шара.

Некоторые деревья имеют сферическую форму.

• Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии от данной точки

• Сфера –это поверхность, полученная вращением полуокружности вокруг диаметра

• Данная точка (О) называется центром сферы.
• Любой отрезок, соединяющий центр и какую-нибудь точку сферы, называется радиусом сферы ( R -радиус сферы).
• Отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через её центр, называется диаметром сферы. Очевидно, что диаметр сферы равен 2 R .

Определение шара

• Шар – это тело, которое состоит из всех точек пространства, находящихся на расстоянии, не большем данного, от данной точки (или фигура, ограниченная сферой).

Тело, ограниченное сферой, называется шаром.

• Центр, радиус и диаметр сферы называются также центром, радиусом и диаметром шара.

Шар

АВ = h

Шаровым сегментом называется часть шара, отсекаемая от него какой - нибудь плоскостью.

Шаровой слой

Шаровым слоем называется часть шара, заключенная между двумя параллельными секущими плоскостями.

Шаровым сектором называется тело, полученное вращением кругового сектора с углом, меньшим 90 0 , вокруг прямой, содержащей один из ограничивающих круговой сектор радиусов.

Шаровой сектор

• Плоскость,проходящая через центр шара,называется диаметральной плоскостью.

• Сечение шара диаметральной плоскостью называется большим кругом,а сечение сферы - большой окружностью.

Уравнение сферы в прямоугольной системе координат

• M(x;y;z)-произвольная точка, принадлежащая сфере.

• /MC/= √( x-x 0 ) 2 +(y-y 0 ) 2 +(z-z 0 ) 2

• т.к. MC=R, то

( x-x 0 ) 2 +(y-y 0 ) 2 +(z-z 0 ) 2 =R 2

1.Найдите координаты центра и радиуса сферы, заданной уравнением:

x ²+y²+z²=49

( X-3 ) ²+ ( y+2 ) ²+z²=2

2. Напишите уравнение сферы радиуса R с центром А, если

A ( 2 ; -4 ; 7 ) R=3

A (0;0;0) R=√2

A (2;0;0) R=4

3. Решите задачу №577(а)

Взаимное расположение сферы и плоскости

• Обозначим радиус сферы буквой R , а расстояние от ее центра до плоскости α -буквой d .
• Введем систему координат так, чтобы плоскость Oxy совпадала с плоскостью α , а центр С сферы лежал на положительной полуоси Oz .

В этой системе координат точка C (о;о; d ),

поэтому сфера имеет уравнение

x 2 +y 2 +(z-d) 2 =R ²

Плоскость совпадает с координатной плоскостью Oxy , и поэтому ее уравнение имеет вид z=0

• Таким образом вопрос о взаимном расположении сферы и плоскости сводится к исследованию системы уравнений.
• Подставив z=0 во второе уравнение, получим x ²+y²=R²-d²
• Возможны 3 случая:

R , то сфера и плоскость не имеют общих точек. " width="640"

x ²+y²=R²-d²

Если dR , то сфера и плоскость не имеют общих точек.

x ²+y²=R²-d²

Если d = R , то сфера и плоскость именуют только одну общую точку. В этом случае α называют касательной плоскостью к сфере

x ²+y²=R²-d²

Если d

Такой круг называется большим кругом шара.

Касательная плоскость к сфере

• Плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, называется касательной плоскостью к сфере ,
• а их общая точка называется точкой касания А плоскости и сферы.

Теорема: Радиус сферы, проведённый в точку касания сферы и плоскости, перпендикулярен к касательной плоскости.

Доказательство:

Рассмотрим плоскость α , касающуюся сферы с центром О в точке А. Докажем, что ОА перпендикулярен α .

Предположим, что это не так. Тогда радиус ОА является наклонной к плоскости α , и, следовательно расстояние от центра сферы до плоскости меньше радиуса сферы. Поэтому сфера и плоскость пересекаются по окружности. Это противоречит тому, что-касательная, т.е. сфера и плоскость имеют только одну общую точку.

Полученное противоречие доказывает, что ОА перпендикулярен α .

• Обратная теорема: Если радиус сферы перпендикулярен к плоскости, проходящей через его конец, лежащий на сфере, то эта плоскость является касательной к сфере.

Площадь сферы

Описанным многогранником

Сфера вписанной

S = 4 π R 2

Задание: Площадь сечения сферы, проходящего через её центр, равна 9м 2 . Найдите площадь сферы.

Решение:

Сечение, проходящее через центр сферы есть окружность.

S сеч = π r 2 ,

9= π R 2 ,

R =√ 9/ π .

S сферы =4 π r 2 ,

S сферы =4 π · 9/ π =36 м 2