Презентация по теме замкнутые ломонные

ЗАМКНУТЫЕ ЛОМАНЫЕ

Автор:

Шамрук Евгений 11класс

ГУО”Лазовичский учебно-педагогический комплекс детский сад –средняя школа Клецкого района “

Добрый день, я Шамрук Евгений ученик 11 класса Лазовичского УПК.

Работая над задачей № 3 Замкнутые ломаные ХХI Республиканского турнира юных математиков принял решение: провести исследования, предложенные автором этой задачи, усилить ряд утверждений и рассмотреть свои направления исследования.

Были определены:

Объект исследования - решение математических задач

Предмет исследования – замкнутые ломаные

Я поставил Цель - рассмотреть различные самопересекающиеся ломаные и пути их построения.

Были определены Задачи:

1.Решить исходную задачу

2.Обобщить постановку исходной задачи

3.Рассмотреть различные способы построения замкнутых ломаных

Возникла Гипотеза : верно, что для любого натурального k при всяком n найдется (n, k) ломаная.

Пусть задана совокупность из  n  точек. Перенумеруем их каким-либо образом с помощью первых  n  натуральных чисел и запишем в порядке возрастания номеров ( A 1,  A 2, ... ,  An ). Такую совокупность будем называть упорядоченной. Точки, номера которых отличаются на единицу,назовем соседними.  Ломаной   A 1 A 2...  An  называется фигура, которая состоит из упорядоченной совокупности точек и отрезков, соединяющих соседние среди них. Точки  A 1,  A 2, ... ,  An  называются  вершинами , а отрезки A 1 A 2,  A 2 A 3, ... ,  An  – 1 An  –  звеньями  ломаной. Звенья, имеющие общий конец, назовем  смежными , а точки  A 1 и  An  –  концами ломаной . Ломаная называется  простой , если несмежные ее звенья не имеют общих точек. Ломаная называется  замкнутой , если ее концы соединены отрезком. На рис. (а) показана простая ломаная, а на рис. (б) – замкнутая ломаная , (в) – ломаная с самопересечением.

В задаче будем рассматривать замкнутые ломаные на плоскости с самопересечениями вне узлов (вершин) ломаной. Такую n -звенную ломаную (то есть ломаную из n отрезков (звеньев)) будем называть ( n, k )- ломаной ( n, k  N, k n ), если каждое её звено пересекается вне узлов с ровно k другими звеньями.

Перед вами пример ломаной(7;2). Видно ,что каждое звено пересекается ровно 2 раза.

Сразу возникает вопрос о существовании ломаных(6;1), (6;2) и (7,1)

Пример(6,1) легко строится. Достаточно вспомнить, что в отношении 2:1 делятся медианы. А звенья ломаной должны разбиваться на пары пересекающихся. Вот и составим ломаную из пар медиан. Чтобы концы ломаной соединялись, треугольники должны соприкасаться равными « боковыми» сторонами. Смотри рисунок. Внутри произвольного треугольника АВС отметим произвольную точку О. Точки К, L, М - середины отрезков ОА, ОВ и ОС соответственно. Тогда пересекающиеся отрезки – это медианы одного треугольника (например, АL и ВК – медианы треугольника АОВ).Значит ломаная АLСКВМ- искомая. Рисунок1

Ломаная (6,2) не существует. Это невозможно, так как у шестизвённой ломанной по крайней мере одно звено имеет 3 точки пересечения или не одного. Это хорошо видно на рисунках

В своих исследованиях я не один раз вернусь к данной ломаной

Найдем все натуральные n, для которых существует (n, 1)-ломаная. Предложим способ построения таких ломаных.

6 существует замкнутая ломаная из n звеньев, пересекающая каждое своё звено ровно один раз. Пример для n = 6 показан на рисунке 1. Для n 8 на рисунке 2 показана конструкция части ломаной (правило построения остальной части ясно). Еще один способ построения ломаных вида ( n,  1). Убираем два нижних ребра, ставим нужное количество точек и соединяем их через одну. Так называемые гармошки. Перед вами ломаные (10;1),(12;1) и (14,1) " width="640"

Для любого чётного n 6 существует замкнутая ломаная из n звеньев, пересекающая каждое своё звено ровно один раз. Пример для n = 6 показан на рисунке 1. Для n 8 на рисунке 2 показана конструкция части ломаной (правило построения остальной части ясно).

Еще один способ построения ломаных вида ( n,  1).

Убираем два нижних ребра, ставим нужное количество точек и соединяем их через одну. Так называемые гармошки. Перед вами ломаные (10;1),(12;1) и (14,1)

Пусть n = 7, предположим, что удалось построить такую ломаную. Рассмотрим какую-нибудь точку её самопересечения. В ней пересекаются два звена, причём больше ни с какими другими звеньями они не пересекаются. Поэтому все звенья ломаной можно разбить на пары, соответствующие её точкам самопересечения. Значит, звеньев – чётное число и их не может быть семь. Это рассуждение показывает, что вообще не существует ломаной с нечётным числом звеньев, пересекающей каждое своё звено ровно один раз.

1, можно проделать операцию  разбивки , т.е. вставления на каждом ребре новых вершин, разбивающих его на части, равные по количеству приходящихся на них пересечений. Так из ломаной (n,mk) может быть получена ломаная (mn,k). В частности, из ломаной (5,2) - пятиконечной звезды - получается одна из ломаных вида (10,2). " width="640"

Рассмотрим несколько общих свойств ломаных вида (n,k):

1. Произведение n∙k - четно, поскольку звенья пересекаются попарно. В частности, ломаные вида (n,1) существуют только при четном n.

2. Очевидно, звено не пересекается с самим собой и со своими соседями. Поэтому k

3. Ломаные с одинаковыми k можно попарно  складывать  путем объединения одной из их вершин. При этом из ломаных (n,k) и (l,k) получается ломаная (n+l,k).

4. Для каждой ломаной допустима операция  обведения , при которой каждое ребро превращается в пучок из (2m+1) ребер, а каждая вершина - в такое же число близко расположенных вершин. В результате из ломаной (n,k) получается ломаная ((2m+1)n,(2m+1)k).См.рисунок 4.

5. С каждой ломаной, у которой k1, можно проделать операцию  разбивки , т.е. вставления на каждом ребре новых вершин, разбивающих его на части, равные по количеству приходящихся на них пересечений. Так из ломаной (n,mk) может быть получена ломаная (mn,k). В частности, из ломаной (5,2) - пятиконечной звезды - получается одна из ломаных вида (10,2).

Ломаная (5,2) и (10,2)(один из способов построения ломаных вида( n, 2))

6. Eщё одна важная операция -  вставка креста .(См.пример гармошки).

Ломаная (8,2)

Список ломаных (n, 2)  - пока весьма неполный .

(5, 2) - Звезда Пятиконечная; (7, 2) - Звезда Семиконечная; (8, 2) - Двойная рыба;  (9, 2) - Звезда Девятиконечная ; (10, 2) - Спаренные звездочки

Исследуем вопрос для маленьких k, например k = 3, 4. Начнем с небольших значений n.

Решение. Согласно свойству 1 ломаных вида (n,k) существуют, когда произведение n∙k – четно. Рассмотрим случаи, когда n- нечётно,а k- чётно и наоборот.

Ломаная вида (7,4) на рис.3 и ломаная (18,3) на рис.4

Рис.3

Рис.4

Согласно свойству 1 ломаные вида (n,k) существуют, когда произведение n∙k – чётно. Следовательно ломаные, когда n,k - чётные существуют. Пример на рисунке 5. Ломаная (10,4 )

Рис.5

  Существует ли 2019-звенная ломаная, пересекающая каждое свое звено ровно 3 раза?

    Предположим противное - такая ломаная существует. Тогда суммарное число ее пересечений со своими звеньями равно 3∙2019. С другой стороны, каждой паре пересекающихся звеньев соответствуют ровно 2 пересечения ломаной своих звеньев (если звенья a и b пересекаются, то в точке пересечения этих звеньев ломаная по одному разу пересекает как звено a, так и b). Таким образом, суммарное число пересечений ломаной своих звеньев должно быть четным. Тем самым, получено противоречие, поскольку 3∙2019 - нечётное число.

Результат исследования. Не существует ломаных вида (n, k), где n, k- нечётные .

Ломаные- гармошки, гарантирует существование ломаных для каждого четного n, превосходящего 6.

Общие свойства ломаных 1-6 и приведенные примеры дают ответ на вопрос , что для любого натурального k при некоторым n найдется (n,k) ломаная

Покажу как можно применить функцию Эйлера при построении определенным способом ломаных с любым количеcтвом вершин.

Покажу возможные формы и способы построения самопересекающихся ломаных в форме звезды.

Граф – это набор точек, некоторые из которых соединены линиями.

Леонард Эйлер (1707–1783)  показал, что граф можно обойти, пройдя по каждому ребру только один раз.

Если фигуру можно нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги и не проводя одну и ту же линию дважды, такая фигура называется уникурсальной. Уникурсальные пути в графе (не обязательно весь граф, может быть только его часть) называются Эйлеровыми путями.

Мы займемся звездами – фигурами, полученными последовательным соединением точек, количеством более двух, расположенных в определенном порядке, например, на окружности.

Простой пример – пятиконечная звезда.

Так как форма звезды, очевидно, зависит от нумерации вершин, будем нумеровать вершины, начиная с нуля. Пятиконечная звезда имеет вершины 0, 1, 2, 3 и 4. При этом они соединены в определенном порядке. Порядок соединения определяет форму звезды. Пятиконечную звезду, изображенную на рисунке можно записать (0, 2, 4, 1, 3, 0). Начинать следует всегда с вершины 0. Номер вершины, следующей за нулевой, назовем шагом. В этих терминах звезда (0, 2, 4, 1, 3, 0) получает обозначение  [5 с ш.2.] А это и есть наша самопересекающаяся ломаная (5,2), которая каждое своё звено пересекает два раза.

Если звезду с n вершинами можно получить шагом h, то ее можно получить и с шагом n-h . Геометрически такие звезды   совпадают.

Утверждение 1. Шаг должен быть взаимно простым с числом вершин n .

Пример 1. Для звезды с 6 вершинами существует единственная вырожденная форма[6 с ш.1.] , поскольку числа 2 и 3 не могут быть шагами – они не взаимно просты с 6.

Поэтому нет ломаной (6,2)

Пример 2. Для звезды с 8 вершинами имеются формы [8 с ш.1.], [8 с ш.3.] , которые соответственно совпадают с [8 с ш.7.] и[8 с ш.5.] При этом нельзя построить звезды с [8 с ш.2.], [8 с ш.4.] , [8 с ш.6.] Отметим, что [8 с ш.6.] совпадала бы с .[8 с ш.2.]

Поэтому нет ломаной (8,2) в форме звезды.

(0,5,3,1,6,4,2,0)

(0,2,4,6,1,3,5,0)

Функция Эйлера для подсчета количества форм звезд

Сколько существует различных звезд? Шаг построения h определяет одну звезду, значит, число различных звезд зависит от количества различных шагов. Наша задача определить такие шаги, тем самым найдя количество форм звезд и самопересекающихся ломаных вида(n,k) Для этих целей можно применить функцию Эйлера, так как шаг должен быть взаимно простым с числом вершин n.

Рассмотрим множество натуральных чисел, взаимно простых с n и не превосходящих n. Количество этих чисел обозначается φ(n) и называется функцией Эйлера.

Функция Эйлера  φ(n) определяет количество натуральных чисел, меньших n  и взаимно простых с ним и принимает вид:

2 , то существует ровно (p-1)/2 геометрически различных звёзд (форм такой звезды) " width="640"

При этом полагают, что число 1 взаимно просто со всеми натуральными числами и φ(n) = 1 

Если количество вершин n - составное число, то его можно разложить на простые в соответствии с основной теоремой арифметики:

Общий ответ: всего существует  звезд φ(n)/ 2 с n вершинами.

Если количество вершин простое n = p2 , то

существует ровно (p-1)/2 геометрически различных звёзд (форм такой звезды)

Пример. Для n = 11  существует  пять различных звезд .

Рис.6 Звезда [11 с ш.1.]

Рис.7 Звезда[11 с ш.2.] ломаная (11,2)

Рис.10 Звезда [11 с ш.5.] ломаная (11,8)

Рис.8 Звезда[8 с ш.3.] ломаная (11,4)

Рис.9 Звезда [11 с ш.4.] ломаная (11,6)

Алгоритм построения

Для примера построим звезду  [18 с ш.5.]

Выпишем последовательность из 18 чисел, начиная с нуля и с шагом 5. Получаем:

(0,5,10,15,20,25,30,35,40,45,50,55,60,65,70,75,80,85 ) 

Заменим каждое число остатком от деления на 18:

(0,5,10,15,2,7,12,17,4,9,14,1,6,11,16,3,8,13)

Получаем последовательность. Соединяем вершины в указанной последовательности

Получим ломаную (18,8 )

Основные результаты

Анализируя выполнение поставленных задач, можно сказать следующее:

Были проведены исследования по всем пунктам предложенным автором задачи.

Найдены различные самопересекающиеся ломаные и пути их построения.

Доказано существование и не существование ломаных вида (n,1) и (n,2).

Обобщены вопросы а) и б) задачи и сформулированы, благодаря им, свойства ломаных.

Усилена формулировка вопроса о существовании ломаной вида (6,2). Рассмотрены разные доказательства не существования такой ломаной.

Предложены свои направления и решения этой задачи

В ходе исследования гипотеза: верно, что для любого натурального k при всяком n найдется (n, k) ломаная − опровергнута.

Практическая значимость

1. Данное исследование в определенной мере служит основой для дальнейших аналогичных работ (теоретического и практического характера) по другим учебным дисциплинам образовательного учреждения.

2. Теоретические положения и результаты исследования могут быть использованы учителями математики как на классных, так и внеклассных занятиях.

3. Данную задачу можно предлагать ученикам любого класса и уровня развития для привития навыков исследовательской деятельности так необходимых в современных условиях развития общества

4.Данная задача - хорошая гимнастика для ума

Дальнейшие планы развития исследования

Рассмотреть еще одно направление исследования .

Рассмотрим следующие величины: f ( n ) – число различных k , для которых существует ( n, k )‑ломаная, g ( n ) – число различных k , что найдётся ( m,k )‑ломаная, где m  n .

Исследовать данные функции, а именно вычислить их значения для небольших значений аргумента, предложить оценки снизу и сверху, проверить достижимость этих оценок и т.д