Презентация "Рациональные уравнения"

В данной презентации достаточно полно

изложена теория решения различных видов

рациональных уравнений,

за исключением линейных и квадратных

уравнений, а также общей теории

решения уравнений 3-й и 4-й степеней.

Нет здесь и примеров, решаемых

с помощью теоремы Безу.

Каждый вид уравнения сопровождается

решением соответствующего примера.

Данные материалы могут быть использованы

частично на уроках алгебры

в обычных классах,

но в большей мере пригодятся

для изучения этой темы

в классах с углубленным изучением

математики.

Рациональные уравнения

Целые

Дробные

Способ подстановки

возвратные

распадающиеся

биквадратные

( x + a ) 4 + ( x + b ) 4 = c

симметричные

3-го и 4-го порядка

( x + a )( x + b )( x + c )( x + d ) = m

Однородное 2-го порядка

end

Рациональные уравнения

Дробные

Целые

Сумма двух и более дробей

end

Способ подстановки

• При решении некоторых целых рациональных уравнений есть смысл ввести новую переменную величину, обозначив некоторое рациональное выражение новой буквой.
• Например, в уравнении ,

где Р(х) – многочлен, удобно ввести новую

переменную y= Р(х) , решить полученное

квадратное уравнение

относительно y и, наконец, решить

уравнение Р(х)= y о , где y о – корень

уравнения

Обратно

в меню

Пример

Пример

• Решите уравнение
• Решение . Введем новую переменную. Пусть

Тогда получим уравнение

Находим корень у = 1 и делаем обратную подстановку.

Ответ: 2; 3.

Обратно

в меню

Распадающееся уравнение

• Рациональное уравнение называется распадающимся, если его можно привести к виду , где – рациональные выражения с переменной х.
• Для решения воспользуемся равносильным переходом
• Применяемые приемы разложения на множители:

- вынесение общего множителя за скобки;

- способ группировки;

-формулы сокращенного умножения.

Обратно

в меню

Пример

Пример

• Решите уравнение
• Решение . Разложим левую часть уравнения на множители:

Воспользуемся равносильным переходом:

Ответ:-2;0;1;2.

Обратно

в меню

Однородное уравнение 2-го порядка

• При решении уравнения надо проверить две ситуации:

1) т.е. корнями заданного уравнения

являются решения этой системы.

2) Если Q(x) ≠ 0 , то после деления заданного уравнения на Q 2 (x) получим уравнение

которое подстановкой сводится

к квадратному уравнению

В ответ включают числа, полученные

при рассмотрении обеих ситуаций.

Обратно

в меню

Пример

Пример

• Решить уравнение

( x 2 – 2 х ) 2 – ( x 2 – 2 х )( x 2 – х – 2 ) – 2( x 2 – х – 2 ) 2 = 0.

• Решение. Возможны две ситуации.
• Рассмотрим первую:

Найден первый корень уравнения х=2.

Обратно

в меню

Продолжение решения

• Рассмотрим вторую ситуацию: разделим почленно заданное уравнение на ( x 2 – х – 2) 2 при условии, что х ≠ -1 и х ≠ 2 . Уравнение принимает вид

Обозначим и решим квадратное

уравнение t 2 – t –2 = 0. Получаем t 1 = -1, t 2 = 2.

Обратная подстановка дает уравнения

откуда х = -0,5 и х = -2.

С учетом обеих ситуаций получаем

ответ : - 0,5; -2; 2.

Обратно

в меню

Биквадратное уравнение

• Уравнение имеет вид

a х 4 + b х 2 +c =0 .

• Сделаем подстановку x 2 = t . Значит, x 4 = t 2 .

Получаем квадратное уравнение

at 2 + bt+c =0.

Находим значения t и, сделав обратную подстановку, находим корни исходного уравнения.

Замечание.

При решении биквадратного уравнения можно

получить от 1 до 4-х корней или же это

уравнение может совсем не иметь корней.

Обратно

в меню

Пример

Пример

• Решите уравнение х 4 –3х 2 –4=0.
• Решение.

Сделаем подстановку x 2 = t . Получаем квадратное уравнение

t 2 –3 t –4=0,

корни которого t = -1 и t = 4.

Обратная замена дает два уравнения

x 2 = -1 и x 2 = 4, из которых первое уравнение не имеет корней, а корни второго уравнения -2 и 2.

Ответ: -2; 2.

Обратно

в меню

Симметричное уравнение 3-го порядка

• Уравнение имеет вид

ах 3 + b х 2 + b х+а=0.

• Сгруппируем слагаемые: а(х 3 +1)+ b х(х+1)=0.

Применим формулу суммы кубов

а(х+1)(х 2 –х+1)+ b х(х+1)=0

и выполним разложение на множители

(х+1)(ах 2 +( b - а)х+а)=0.

Получили распадающееся уравнение. Значит,

х+1=0 или ах 2 +( b - а)х+а=0.

Решив эти два уравнения, найдем корни

исходного уравнения.

Обратно

в меню

Пример

Пример

• Решите уравнение 2 х 3 –3х 2 – 3х +2=0.
• Решение. Сгруппируем слагаемые парами и в каждой паре вынесем общий множитель за скобки:

2(х 3 +1)–3х(х+1)=0.

Применим формулу суммы кубов и вынесем общий множитель (х+1):

2(х+1)(х 2 –х+1)– 3х(х+1)=0,

(х+1)(2х 2 –5х+2)=0.

Значит,

х+1=0 или 2х 2 –5х+2=0.

Решив эти два уравнения, найдем корни

исходного уравнения: -1; 0,5; 2.

Ответ: -1; 0,5; 2.

Обратно

в меню

Симметричное уравнение 4-го порядка

• Уравнение имеет вид

ах 4 + b х 3 +сх 2 + b х+а=0.

• Сгруппируем слагаемые и разделим обе части уравнения на х 2 . Получаем

Сделаем подстановку , тогда

Получаем квадратное уравнение

a(t 2 -2)+bt+c=0 .

Находим значения t и делаем обратную подстановку.

Обратно

в меню

Пример

Пример

• Решите уравнение
• Решение. Разделим обе части уравнения на x 2 ≠ 0 и, удобно группируя, получим равносильное уравнение:

Сделаем подстановку , тогда

Получаем квадратное уравнение , корни

которого 2 и -3,5.

Обратная подстановка дает два рациональных

уравнения и

откуда и находим корни исходного уравнения.

Ответ: 1;

Обратно

в меню

Возвратное уравнение

• Уравнение вида

ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e = 0 ,

где   a ≠ 0,   b ≠ 0 и ,

называется возвратным уравнением четвертого порядка.

Это уравнение сводится к квадратному с

помощью подстановки

Обратно

в меню

Пример

Пример

• Решить уравнение

x 4 + x 3 - 6 x 2 - 2 x + 4 = 0.

• Решение. Заметим, что и, следовательно, данное уравнение есть возвратное уравнение четвертого порядка.

Так как x = 0 не является решением уравнения, разделим на x 2 и получим равносильное уравнение

Обозначим , тогда

и уравнение примет вид t 2 + t - 2 = 0, корни которого t 1 = -2 и t 2 = 1.

Делаем обратную замену и после умножения на x ≠ 0

получаем два квадратных уравнения

x 2 + 2 x - 2 = 0, x 2 - x - 2 = 0,

откуда и получим корни исходного уравнения.

Ответ:

Обратно

в меню

Уравнения вида ( x + a )( x + b )( x + c )( x + d ) = m

• Если a + b = c + d , то это уравнение сводится к квадратному уравнению. Действительно,

( x + a )( x + b ) = x 2 + ( a + b ) x + ab

( x + c )( x + d ) = x 2 + ( c + d ) x + cd =

= x 2 + ( a + b ) x + cd

• Обозначив x 2 + ( a + b ) x = t, получим квадратное

уравнение

( t + ab )( t + cd ) = m

Из этого уравнения найдем значения t и,

сделав обратную подстановку, закончим

решение исходного уравнения.

Обратно

в меню

Пример

Пример

• Решить уравнение

( x - 2)( x + 1)( x + 4)( x + 7) = 19.

• Решение. Заметим, что -2 + 7 = 1 + 4. Удобно группируя, получим

[( x - 2)( x + 7)]·[( x + 1)( x + 4)] = 19

или

( x 2 + 5 x – 14 )( x 2 + 5 x + 4) = 19.

Обозначим t = x 2 + 5 x - 14, тогда x 2 + 5 x + 4 = t + 18.

Уравнение примет вид

t ( t + 18) = 19   или   t 2 + 18 t - 19 = 0,

откуда t = -19 и t = 1.

Сделав обратную подстановку, получим

x 2 + 5 x - 14 = -19 и x 2 + 5 x - 14 = 1.

Окончательный ответ :

Обратно

в меню

Уравнение вида ( x + a ) 4 + ( x + b ) 4 = c

• Используя подстановку , уравнение

можно свести к биквадратному уравнению относительно t .

Действительно, подставив в уравнение , получим

Обозначим и возведем

каждое слагаемое в 4-ю степень. После приведения

подобных получим биквадратное уравнение

Обратно

в меню

Пример

Пример

• Решить уравнение

( x + 3) 4 + ( x - 1) 4 = 82.

• Решение. Сделаем подстановку

Получим следующее уравнение относительно t :

( t + 2) 4 + ( t - 2) 4 = 82

или

t 4 + 8 t 3 + 24 t 2 + 32 t + 16 + t 4 - 8 t 3 + 24 t 2 - 32 t + 16 - 82 = 0.

Откуда получим биквадратное уравнение

t 4 + 24 t 2 - 25 = 0,

корни которого t = ± 1.

Следовательно, x + 1 = ± 1.

Значит, корни исходного уравнения

x = -2 и x = 0.

Ответ: -2;0.

Обратно

в меню

Уравнение вида

• Решить уравнение Р(х) = 0 .
• Для каждого корня уравнения Р(х) = 0

сделать проверку: удовлетворяет ли он

условию Q (х) ≠ 0 или нет. Если да, то

это — корень заданного уравнения,

а если нет, то этот корень является

посторонний для заданного уравнения

и в ответ его включать не следует.

Обратно

в меню

Пример

Пример

• Решите уравнение   

• Решение.

Приравняем числитель дроби к нулю и решим полученное уравнение:

Значение х = 2 не удовлетворяет условию

Следовательно, уравнение имеет один

корень х= 4.

Ответ: 4.

Обратно

в меню

Уравнение вида

• Подстановкой это уравнение

сводится к виду

• Умножим на и решим полученное квадратное

уравнение относительно t.

Остается сделать обратную подстановку

где t о - корень квадратного уравнения,

и решить полученное уравнение

относительно х.

Обратно

в меню

Пример

Уравнение вида

• Подстановкой это уравнение

сводится к виду

• Умножим на и решим полученное квадратное

уравнение относительно t.

Остается сделать обратную подстановку

где t о - корень квадратного уравнения,

и решить полученное уравнение

относительно х.

Обратно

в меню

Пример

Пример

• Решите уравнение   

• Решение.

Сделаем подстановку и решим полученное

уравнение относительно t :

Обратная подстановка приводит к уравнению

корень которого х = -1.

Ответ: -1.

Обратно

в меню

Уравнения, состоящие из суммы двух и более дробей

1-й способ

• Перенести все члены уравнения

в одну часть.

• Привести уравнение к виду и найти корни полученного уравнения.

2-й способ

• Определить О.Д.З. уравнения.
• Умножить обе части уравнения на общий знаменатель дробей и получить целое уравнение.
• Найти корни полученного уравнения и проверить их соответствие О.Д.З.

Обратно

в меню

Пример

Пример

• Решите уравнение   

• Решение. Найдём О.Д.З. Знаменатели дробей не могут обращаться в нуль . Значит, О.Д.З. уравнения: х ≠ 2 и х ≠ 0.

Перенесём члены из правой части уравнения в левую и приведём к общему знаменателю.

.

Приравняем числитель дроби к нулю: х 2 – 6х + 8 = 0.

Находим корни квадратного уравнения: х = 4 и х = 2.

Значение х = 2 не удовлетворяет О.Д.З.

Следовательно, уравнение имеет один корень х= 4.

Ответ: 4.

Обратно

в меню

Уравнения вида

Данное уравнение сводится к квадратному уравнению заменой переменной

Обратно

в меню

Пример

Пример

• Решить уравнение

• Решение. О.Д.З. уравнения есть множество

Поскольку x = 0 не является решением данного уравнения, перепишем уравнение в виде

(разделим числитель и знаменатель каждой дроби на x ).

Обозначим и уравнение примет вид

Обратно

в меню

Продолжение решения

О.Д.З. полученного уравнения t ≠ 5 и t ≠ -1.

Решая это уравнение, приходим к квадратному уравнению

  2 t 2 - 13 t + 11 = 0,

корни которого t 1 = 1 и t 2 = 11/2 удовлетворяют О.Д.З..

Делаем обратную подстановку и получаем два

рациональных уравнения

решив которые находим корни заданного

уравнения.

Ответ:

Обратно

в меню