Презентация: "Размещения" (Вероятность событий)

Упорядоченные выборки. Размещения и перестановки

• Размещения с повторениями
• Размещения без повторений
• Перестановки с повторениями
• Перестановки без повторений

• Пусть дано множество из n элементов: X={x 1 ,x 2 ,…,x n } .
• Выборкой из n элементов по k ( k ≤ n ) называется набор из k элементов {x i 1 , x i 2 ,…, x i k } множества X.
• Выборка называется упорядоченной (или размещением), если порядок элементов в ней задан ; в противном случае выборка называется неупорядоченной (сочетанием).
• Выборки могут быть с повторениями и без повторений.

• Упорядоченная выборка (или кортеж длины k ), составленная из k элементов n- мерного множества Х, называется размещением с повторениями из n элементов по k .
• Число этих размещений обозначают
• Буква A от французского слова arrangement – размещение. Черта указывает возможность повторения элементов.

• Пусть дано множество Х= {a,b,c} . Сколько различных размещений с повторениями из 3 по 2 можно составить? Перечислите их.

• Вычислим по формуле

• Упорядоченное множество длины k , составленное из элементов n- элементного множества X , называют размещениями без повторений из n элементов множества X по k .

• Найдем число размещений без повторений из n элементов по k .

• Первой компонентой размещения может стать любой из элементов множества X . Так как их число равно n , то получаем n возможностей выбора. Если первый элемент x 1 уже выбран, второй элемент можно выбрать лишь ( n- 1) способами (повторение x 1 не допускается). Аналогично устанавливаем, что при выбранных элементах х 1 и х 2 элемент х 3 можно выбрать ( n - 2 ) способами и т.д. вплоть до элемента x k , которым можно выбрать n-(k-1) , т.е. n-k+1 способами (до него выбраны k-1 элементов: x 1 ,x 2 ,…,x k-1 , ни один из которых не должен повторяться).
• По правилу произведения получим, что число размещений без повторений из n элементов по k выражается формулой:

( a1, a2, …ak)

• Эту формулу можно записать иначе, если воспользоваться обозначением n! для произведения натуральных чисел от 1 до n ,

n!=1 ·2· ... ·n

Если умножить обе части равенства на

( n-k ) ! =(n-k)· … · 1,

то получим:

• Пусть дано множество Х= {a,b,c} . Сколько различных размещений без повторений из 3 по 2 можно составить? Перечислите их.

• Вычислим по формуле

• Перестановкой с повторениями состава (k 1 ,k 2 ,…,k n ) из букв ( а 1 , а 2 ,…, а n ) называют любой кортеж длины k=k 1 +k 2 +…+k n , в которой буква а 1 входит k 1 раз, …, буква а n – k n раз.
• Число таких перестановок обозначают P(k 1 ,k 2 ,…,k m ).

• Сколько различных трехзначных чисел можно получить, переставляя цифры в числе 112? Перечислите их.

• Вычислим по формуле

• Перестановкой без повторений из n элементов называют размещение без повторений из этих элементов по n .
• Число перестановок из n элементов обозначают P n . (От французского слова permutation – перестановка). Так как P n =A n n , то получаем, что
• Итак, P n =n!

• Сколько различных трехзначных чисел можно получить, переставляя цифры в числе 123? Перечислите их.

• Вычислим по формуле P n =n!
• n=3
• P 3 =3!=6