Презентация урока на тему "углы в пространстве"

• Углы в пространстве

РАЗРАБОТАЛ: Белова Ольга Валерьевна, преподаватель математики НТПТ-ф ГБПОУ РО «ШРКТЭ».

В стереометрических задачах на вычисление величины угла предлагается найти:

• угол между пересекающимися прямыми;
• угол между скрещивающимися прямыми;
• угол между прямой и плоскостью;
• двугранный угол;
• угол между плоскостями.

Основными способами решения задач на вычисление величины угла в пространстве являются следующие :

• геометрический;
• векторный;
• векторно-координатный.

Угол между прямыми

Задача №1. К диагонали А 1 С куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 провели перпендикуляры из середин ребер AB и AD. Найдите угол между перпендикулярами.

В 1

C 1

?

D 1

A 1

H 1

H 2

B

С

M

D

А

N

В 1

C 1

D 1

A 1

B

С

M

А

D

N

Рассмотрим А 1 МС

АА 1 М = ВМС

В 1

C 1

D 1

A 1

B

С

M

А

D

N

Рассмотрим А 1 NС

АА 1 N = NCD

A 1 N = NC

В 1

C 1

D 1

A 1

B

С

M

А

D

N

В 1

C 1

D 1

A 1

H 1 =H 2

B

С

M

А

D

N

и равные равнобедренные треугольники с

общей стороной А 1 С

Проводим

MH 1 = NH 2 - медианы, H 1 =H 2

В 1

C 1

D 1

A 1

H 1 =H 2

B

С

M

А

D

N

Ответ:

Угол между скрещивающимися прямыми

Угол между скрещивающимися прямыми

Задача №2. К диагонали A 1 C куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1

провели перпендикуляры из вершин А и В. Найдите угол между этими перпендикулярами.

D 1

C 1

B 1

A 1

M

N

С

D

В

А

D 1

C 1

B 1

A 1

M

N

С

D

В

А

A 1 M = MN = NC = A 1 C

A 1 BC: A 1 BC = 90 , BC = 1, A 1 B = , A 1 C =

BC = NC A 1 C, NC = ,

Аналогично, ( A 1 AC: )

Тогда .

D 1

C 1

ONB - искомый

B 1

A 1

M

N

С

D

O

В

А

В плоскости АА 1 С проводим через точку N прямую, параллельную АМ, т.к. MN=NC, то по теореме Фалеса прямая совпадет с прямой NO, где О – точка пересечения диагоналей квадрата ABCD. NO – средняя линия AMC.

D 1

C 1

B 1

A 1

M

N

С

D

O

В

А

т.к. , то NOB – прямоугольный NOB = 90

Двугранный угол

Задача №3. Диагональ А 1 С куба АВСDA 1 B 1 C 1 D 1

служит ребром двугранного угла, грани которого

проходят через вершины А и В. Найдите величину

этого угла.

D 1

C 1

А 1

B 1

D

С

А

В

D 1

C 1

B 1

A 1

N

С

D

O

В

А

Проводим BN A 1 C в грани АА 1 С

BD АА 1 С

ON – проекция наклонной BN на плоскость АА 1 С

т.к. A 1 C BN, то A 1 C ON

- линейный угол двугранного угла АА 1 СВ.

Угол между скрещивающимися прямыми

Задача №4. В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1 , все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми AB 1 и BC 1 .

С 1

А 1

В 1

С

А

В

Достроим призму до прямого параллелепипеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 , как показано на рисунке.

D 1

С 1

AD 1 || BC 1

D 1 AB 1 - искомый

В 1

A 1

D

С

В

А

AB 1 = AD 1 =

По теореме косинусов из

A 1 B 1 D 1 , где B 1 A 1 D 1 =120 ,

найдем B 1 D 1 =

По теореме косинусов из

AD 1 B 1 найдем

С 1

D 1

1

В 1

A 1

1

D

С

1

А

В

1

Угол между прямой и плоскостью

Задача №5. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямой AB и плоскостью SAD.

S

C

D

O

B

A

S

D

C

M

N

O

B

A

Проведем через точку О прямую MN || AB.

Угол между прямой AB и плоскостью SAD равен углу между прямой MN и плоскостью SAD.

S

K

D

C

M

N

O

B

A

Проведем перпендикуляр из любой точки прямой МN, например, из точки О на плоскость SAD, то есть высоту треугольника SON.

S

К

D

C

M

N

O

A

B

Проводим ОК SN

Докажем ОК SAD.

AD ON (?), т.к. AD AB, AB || MN

AD SN (?), по теореме о 3-ех перпендикулярах.

AD SAD (?), по признаку перпендикулярности прямой и плоскости.

AD OK (?), т.к. AD SON, OK SON.

OK SAD (?), т.к. OK SN, OK AD.

S

К

C

D

M

N

O

A

B

Угол между прямой MN и плоскостью SAD - SNO.

SON:

Ответ:

Угол между плоскостями

Задача №6. Дан куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1. Найдите угол между плоскостями AB 1 C 1 и A 1 B 1 C.

Ключ к решению:

Угол между плоскостями равен углу между двумя прямыми, перпендикулярными этим плоскостям.

Плоскость АВ 1 С 1

C 1

B 1

D 1

A 1

С

B

D

А

Плоскость АВ 1 С 1

C 1

B 1

D 1

A 1

С

B

D

А

Прямая перпендикулярная плоскости AB 1 C 1 - CD 1 ,

т.к. CD 1 ┴ DC 1 , как диагонали квадрата

CD 1 ┴ AD (AD ┴ DD 1 C 1 )

Плоскость А 1 В 1 С

C 1

B 1

D 1

A 1

С

B

D

А

Плоскость А 1 В 1 С

C 1

B 1

D 1

A 1

С

B

D

А

Прямая перпендикулярная плоскости A 1 B 1 C: AD 1

AD 1 ┴ A 1 D, как диагонали квадрата AA 1 D 1 D

AD 1 ┴ DC (DC ┴ AA 1 D 1 )

Угол между плоскостями AB 1 C 1 и A 1 B 1 C – угол между прямыми, перпендикулярными этим плоскостям D 1 C и AD 1

∆ AD 1 C:

AD 1 =D 1 C=AC=AB √2

∕ AD 1 C = 60 ˚

AB 1 C 1 ;A 1 B 1 C = 60 ˚

Ответ: 60 ˚

C 1

B 1

D 1

A 1

С

B

D

А

Дан куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1. Найдите угол между плоскостями AB 1 C 1 и A 1 B 1 C.

B 1

C 1

Угол между плоскостями

АВ 1 С 1 и А 1 В 1 С угол между

прямыми D 1 C и AD 1

перпендикулярными этим

плоскостям.

D 1

A 1

С

B

D

А

т.к. как диагонали квадрата

т.к.

как диагонали квадрата

Угол между плоскостями

Задача №7. Основание прямой прямоугольной призмы ABCDA 1 B 1 C 1 D 1. -прямоугольник ABCD, в котором AB=5, АD= .Найдите тангенс угла между плоскостью грани АA 1 D 1 D призмы и плоскостью, проходящей через середину ребра СD перпендикулярно прямой B 1 D, если расстояние между прямымиA 1 C 1 и BD равно

Ключ к решению:

Угол между плоскостями равен углу между двумя прямыми, перпендикулярными этим плоскостям.

Угол между плоскостью грани АA 1 D 1 D призмы и плоскостью, проходящей через середину ребра СD перпендикулярно прямой B 1 D.

В 1

C 1

?

D 1

A 1

B

С

M

D

А

Угол между плоскостями

Угол между плоскостью грани АA 1 D 1 D призмы и плоскостью, проходящей через середину ребра СD перпендикулярно прямой B 1 D.

В 1

C 1

?

D 1

A 1

B

С

D

А

Угол между плоскостями

Задача №8,9. В кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 точки М и N –середины рёбер A 1 B 1 и A 1 D 1 Найдите тангенс угла между плоскостями АМN и DD 1 C 1

АМN и ВDD 1

В 1

C 1

M

?

N

D 1

A 1

B

С

D

А

Нахождение угла между плоскостями

может быть связано с использованием фoрмулы S пр = S ф ·cosφ, где

• S ф - площадь фигуры, лежащей в одной плоскости;
• S пр - площадь ортогональной проекции фигуры на другую плоскость;
• φ- угол между этими плоскостями.

Угол между плоскостями

В прямой призме: S осн = S сеч ·cosφ

сечение- проектируемый многоугольник;

основание- его ортогональная проекция

В наклонной призме: S сеч = S осн ·cosφ

основание- проектируемый многоугольник;

перпендикулярное сечение - ортогональная проекция многоугольника.